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2020版物理新增分大一轮江苏专用版讲义：第五章机械能第3讲
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第3讲 机械能守恒定律
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh.
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
自测1 关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
自测2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案 AB
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
自测3 (多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图1
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
答案 CD
自测4 (多选)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
图2
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
答案 AD
命题点一 机械能守恒的判断
1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等．
2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
4．除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒．
例1 (多选)(2018·苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不计)( )
A．抛出的篮球在空中运动
B．物体沿粗糙斜面匀速下滑
C．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动
D．系统只有重力或弹簧弹力做功的过程
答案 ACD
解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故A正确；物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故B错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C正确；系统只有重力或弹簧弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故D正确．
变式1 一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图3所示，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )
图3
A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变
B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变
C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒
D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒
答案 D
命题点二 单个物体的机械能守恒
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
例2 (2018·盐城市期中)如图4甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来．我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高h的弧形轨道下端与半径为R的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动．不计一切阻力，重力加速度为g.
图4
(1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；
(2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时h的取值范围．
答案 (1) (2)0＜h≤R或h≥R
解析 (1)对小球从静止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得：mgh＝
mv2，所以v＝，则角速度ω＝＝；
(2)小球在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度H＝2R或0＜H≤R；
当H＝2R时，设在最高点的速度为v′，则由牛顿第二定律可得：mg≤；对小球从静止到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得：mg(h－2R)＝mv′2≥mgR，所以h≥R；
当0＜H≤R时，设在最高点的速度为0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理可得：mg(h－H)＝0，所以h＝H，即0＜h≤R；
故小球在圆形轨道上运动而不脱离，h的取值范围为0＜h≤R或h≥R.
变式2 (多选)(2018·无锡市期中)物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )
答案 BD
解析 自由落体运动的速度v＝gt，则动能Ek＝mv2＝mg2t2，故Ek与t、v均成二次函数关系，物体的重力势能：Ep＝E－Ek＝E－mv2＝E－mg2t2，故Ep与t、v均成二次函数关系，开口的方向均向下，故A错误，B正确．因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以Ek＋Ep＝C(常量)，所以Ep＝C－Ek，Ep与Ek成一次函数关系，故C错误，由动能定理，Ek＝mgh，则Ep＝C－mgh，Ep与h成一次函数关系，D正确．
命题点三 连接体的机械能守恒
1．多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：判断是否只有动能与重力势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与．或判断：有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象．
2．绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系．
3．“链条”“液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度．
4．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
例3 (2018·江苏单科·14)如图5所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B.质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l.用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：
图5
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T.
答案 (1)Mg－mg (2)6∶5
(3)
解析 (1)对小球受力分析，如图所示，设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
在水平方向：F1sin 53°＝F2cos 53°①
在竖直方向：F＋mg＝F1cos 53°＋F2sin 53°②
且F1＝Mg③
由①②③式解得F＝Mg－mg④
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中
由几何关系得小球上升高度h1＝3lsin 53°⑤
物块下降高度h2＝2l⑥
物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律
mgh1＝Mgh2⑦
由⑤⑥⑦式解得＝⑧
(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T
对物块由牛顿第二定律得
Mg－T＝Ma⑨
根据牛顿第三定律，小球受AC的拉力
T′＝T⑩
对小球，在沿AC方向，由牛顿第二定律得
T′－mgcos 53°＝ma⑪
解得T＝(结合⑧式，也可得到T＝mg或T＝Mg)⑫
变式3 (多选)(2018·沛县中学调研)如图6所示，质量相等的两个物块A和B用跨过滑轮的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力，B物块套在光滑的竖直杆上，在B下落的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A．物块B减少的机械能等于物块A增加的机械能
B．物块B减少的重力势能等于物块A和B增加的动能之和
C．绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做的功
D．物块A和B的速度大小相等
答案 AC
解析 A、B两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则A增加的机械能与B减小的机械能相等，故A正确．因为系统机械能守恒，则A、B系统重力势能的减小量等于物块A、B增加的动能之和，故B错误．绳子拉力对A做的功等于A的机械能增加量，B克服绳子拉力做的功等于B机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做的功，故C正确．物块B速度在沿绳子方向的分速度等于A的速度，可知B的速度大于A的速度，故D错误．
命题点四 含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放)．
例4 (多选)(2018·南京市三模)如图7所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与可视为质点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平，将滑块从A点由静止释放，经B点到达位于O点正下方的C点，当滑块运动到B点时弹簧与斜面垂直，运动到C点时弹簧恰好处于原长，已知OC的距离为L，斜面倾角为θ＝30°，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g.则滑块由A运动到C的过程中( )
图7
A．滑块的加速度一直减小
B．滑块经过B点时的速度一定最大
C．滑块经过C点的速度大于
D．滑块的加速度大小等于的位置一共有三处
答案 CD
变式4 (多选)(2018·南通市等七市三模)如图8所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B点．一小物块紧靠弹簧放置，在外力作用下将弹簧压缩至A点．物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C，然后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止．则( )
图8
A．物块最终会停在A、B之间的某位置
B．物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同
C．整个运动过程中产生的内能小于弹簧的最大弹性势能
D．物块从A上滑到C过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变
答案 ACD
1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图9所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80 m，体重60 kg，参加学校运动会成功地越过了1.90 m的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( )
图9
A．500 J B．600 J C．800 J D．2 000 J
答案 C
2．(多选)(2018·南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图10所示，A、B为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用v、E、Ek、P分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图象中不正确的是( )
图10
答案 ABC
3．(多选)(2018·南通等六市一调)如图11所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到A点时速度最大，下降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙，从距O点高为h的C点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则上述过程中( )
图11
A．弹簧最大弹性势能为Mgh
B．乙的最大速度为
C．乙在B点加速度大小为2g
D．乙运动到O点下方处速度最大
答案 AD
解析 对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到B点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化即Mgh，物块乙也刚好将弹簧压缩到B点，所以弹簧最大弹性势能为Mgh，故A正确；当乙下落到O点时，根据动能定理：mgh＝mv2，解得：v＝，此时开始压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以乙的最大速度大于，故B错误；根据机械能守恒有Mgh＝mg·2h，则m＝M，在B点对M根据牛顿第二定律有：F－Mg＝Mg，对m根据牛顿第二定律有：F－mg＝ma，联立可得：a＝3g，故C错误；设弹簧劲度系数为k，在最低点有：kh＝2Mg＝4mg，即k＝mg，可得乙运动到O点下方处速度最大，故D正确．
4．(2018·扬州中学5月模拟)如图12所示，小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB滑下，从B端水平飞出，撞击到一个与地面呈θ＝37°的斜面上，撞击点为C.已知斜面上端与曲面末端B相连，A、B间的高度差为h，B、C间的高度差为H，不计空气阻力，则h与H的比值为( )
图12
A. B. C. D.
答案 D
5．(多选)(2018·苏锡常镇二模)如图13所示，用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与两根长为L的轻杆相连， B、C置于水平地面上．在轻杆竖直时，将A由静止释放，B、C在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此过程中( )
图13
A．球A的机械能一直减小
B．球A落地的瞬时速度为
C．球B对地面的压力始终等于mg
D．球B对地面的压力可小于mg
答案 BD
1．(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体做自由落体运动
C．跳伞运动员在空中匀速下降
D．木块沿光滑曲面自由下滑
答案 BD
解析 物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小的情况，因此机械能不守恒，A、C错误；物体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以B、D正确．
2.(2018·常熟市模拟)半径分别为r和R(r
图1
A．机械能均逐渐减小
B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
答案 C
3．(2018·阜宁中学调研)如图2所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，CD段为平滑的弯管．一小球从管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．则管口D距离地面的高度必须满足的条件是( )
图2
A．等于2R B．大于2R
C．大于2R且小于R D．大于R
答案 B
解析 细管轨道可以提供支持力，所以小球到达A点的速度大于零即可，即mgH－mg·2R>0，解得H>2R.故选B.
4．(多选)(2018·无锡市期中)如图3所示，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h.假设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0，则下列说法中正确的是( )
图3
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面弯成圆弧D，物体仍沿圆弧升高h
C．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
答案 CD
解析 若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h高处，故A错误；若把斜面弯成圆弧D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h高处，故B错误；若把斜面AB变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B点，故C正确；若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于h高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h，故D正确．
5．(2018·江苏百校12月大联考)一小球在空中从t＝0时刻开始做自由落体运动，如图4所示．以地面为参考平面，关于小球速率v、重力的瞬时功率P、小球的动能Ek和重力势能Ep随时间t变化的图象正确的是( )
图4
答案 B
6．(2018·宿迁市上学期期末)如图5所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
图5
A．2R B. C. D.
答案 C
解析 设B球质量为m，A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选C.
7．(多选)(2018·淮安市、宿迁市等期中)如图6所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，竖直轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接．初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止．现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B刚好离开地面．已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
图6
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D．A、B、C组成的系统的机械能先变小后变大
答案 BC
解析 C的速度最大时，加速度为零，因A的加速度等于C的加速度，则此时A的加速度也为零，选项B正确；设弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧压缩量为Δx1＝，因当C运动到最低点时，B刚好离开地面，此时弹簧伸长量为Δx2＝，根据对称性可知，当A的加速度为零时，弹簧处于原长状态，则此时弹簧弹性势能为零，设斜面倾角为θ，此时有mCgsin θ＝mg，则C的质量mC一定大于m，选项A错误，C正确；因只有重力和弹力做功，则A、B、C及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则A、B、C系统的机械能先变大后变小，选项D错误．
8．(多选)(2018·南京市、盐城市一模)如图7所示，光滑细杆上套有两个质量均为m的小球，两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为L，用长为2L的细线连接两球．现将质量为M的物块用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动．则物块( )
图7
A．运动到最低点时，小球的动能为零
B．速度最大时，弹簧的弹性势能最大
C．速度最大时，杆对两球的支持力为(M＋2m)g
D．运动到最低点时，杆对两球的支持力小于(M＋2m)g
答案 AC
解析 物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故A正确；根据系统机械能守恒可知，物块M减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的动能，当物块运动到最低点时，即速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故B错误；速度最大时，即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力(M＋2m)g和杆对两球的支持力二力平衡，故C正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球的支持力大于(M＋2m)g，故D错误．
9．(2018·扬州中学月考)如图8所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时(图中D处)，求：
图8
(1)小球下降的最大距离；
(2)小物块在D处的速度大小．
答案 见解析
解析 (1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知，Δh＝L－Lsin 60°＝L(1－)；
(2)设小物块下滑距离为L时的速度大小为v，此时小球的速度大小为v1，则v1＝vcos θ
对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有：
mgLsin θ＝mv＋mv2
解得v＝.
10．(2018·南京市三模)如图9所示，物块A、B、C的质量分别为2m、2m、m，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块A置于地面，物块B与C、C到地面的距离均是L，现将三个物块由静止释放．若C与地面、B与C相碰后速度立即减为零，A距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g.求：
图9
(1)刚释放时A的加速度大小及轻绳对A的拉力大小；
(2)物块A由最初位置上升的最大高度；
(3)若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地且物块B与C不相碰，则A的质量应满足的条件．
答案 见解析
解析 (1)设刚释放时A、B、C的加速度大小为a，绳子对A的拉力大小为F
由受力分析可知对于A有F－2mg＝2ma
对于B、C整体有3mg－F＝3ma
联立解得a＝，F＝mg＝2.4mg
(2)C下落L后落地，由v2＝2ax可知此时的速度
v＝
由h＝ 得h＝0.2L
则物块由最初位置上升的最大高度H＝2.2L
(3)若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地，则A的质量需满足mA<3m
同时使得B与C不相碰，即C落地后B减速下降到地面时速度为0，从释放到C落地的过程中运用系统机械能守恒定律得 3mgL－mAgL＝(3m＋mA)v2
解得v＝
从C落地到B减速到速度为0的过程中运用机械能守恒定律得2mgL＋(2m＋mA)v2＝mAgL
解得mA＝m
即A的质量满足m
图10
(1)拉力做的功W和拉力的大小F；
(2)撤去拉力F时小球的动能Ek；
(3)小球运动到最高点后向右倾倒，当杆与水平面夹角为α时小球的速度大小v1(正方体和小球未分开)．
答案 (1)mgL (2)(1－)mgL
(3)
解析 (1)根据动能定理得WF－mgL＝0，且有W＝··F
解得力F所做的功为：WF＝mgL，拉力的大小F＝
(2)根据动能定理有：WF－mgLsin θ＝Ek－0
解得：Ek＝(1－)mgL
(3)当杆与水平面夹角为α时，小球的速度为v1，正方体的速度为v2
v2＝v1sin α
对轻杆、小球和正方体组成的系统，根据机械能守恒有：
mg(L－Lsin α)＝mv＋Mv
联立解得：v1＝ .
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与该物体始、末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh.
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大．
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
自测1 关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案 D
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
自测2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案 AB
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
自测3 (多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图1
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
答案 CD
自测4 (多选)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
图2
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
答案 AD
命题点一 机械能守恒的判断
1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等．
2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
4．除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿固定斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒．
例1 (多选)(2018·苏州市期中)下列情形中物体或系统机械能守恒的是(空气阻力均不计)( )
A．抛出的篮球在空中运动
B．物体沿粗糙斜面匀速下滑
C．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动
D．系统只有重力或弹簧弹力做功的过程
答案 ACD
解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故A正确；物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，机械能不守恒，故B错误；细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C正确；系统只有重力或弹簧弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，机械能一定守恒，故D正确．
变式1 一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图3所示，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是( )
图3
A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变
B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变
C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒
D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒
答案 D
命题点二 单个物体的机械能守恒
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
例2 (2018·盐城市期中)如图4甲所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆形轨道上运行，游客却不会掉落下来．我们把这种情景抽象为如图乙所示的模型：高h的弧形轨道下端与半径为R的竖直圆形轨道平滑相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端由静止滚下，小球进入圆形轨道下端后沿圆形轨道运动．不计一切阻力，重力加速度为g.
图4
(1)求小球运动到圆形轨道最低点时的角速度；
(2)求小球在圆形轨道上运动而不脱离时h的取值范围．
答案 (1) (2)0＜h≤R或h≥R
解析 (1)对小球从静止到运动至圆形轨道最低点的运动过程，由机械能守恒可得：mgh＝
mv2，所以v＝，则角速度ω＝＝；
(2)小球在圆形轨道上运动而不脱离，那么，小球运动的最高点高度H＝2R或0＜H≤R；
当H＝2R时，设在最高点的速度为v′，则由牛顿第二定律可得：mg≤；对小球从静止到运动到最高点的过程，由机械能守恒可得：mg(h－2R)＝mv′2≥mgR，所以h≥R；
当0＜H≤R时，设在最高点的速度为0，对小球从静止到运动到最高点的过程，由动能定理可得：mg(h－H)＝0，所以h＝H，即0＜h≤R；
故小球在圆形轨道上运动而不脱离，h的取值范围为0＜h≤R或h≥R.
变式2 (多选)(2018·无锡市期中)物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面．下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )
答案 BD
解析 自由落体运动的速度v＝gt，则动能Ek＝mv2＝mg2t2，故Ek与t、v均成二次函数关系，物体的重力势能：Ep＝E－Ek＝E－mv2＝E－mg2t2，故Ep与t、v均成二次函数关系，开口的方向均向下，故A错误，B正确．因为在整个运动的过程中，机械能守恒，所以Ek＋Ep＝C(常量)，所以Ep＝C－Ek，Ep与Ek成一次函数关系，故C错误，由动能定理，Ek＝mgh，则Ep＝C－mgh，Ep与h成一次函数关系，D正确．
命题点三 连接体的机械能守恒
1．多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：判断是否只有动能与重力势能(或弹性势能)之间的相互转化，有无其它形式的能量参与．或判断：有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象．
2．绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系．
3．“链条”“液柱”等不能看成质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度．
4．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
例3 (2018·江苏单科·14)如图5所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度．细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B.质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l.用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：
图5
(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T.
答案 (1)Mg－mg (2)6∶5
(3)
解析 (1)对小球受力分析，如图所示，设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2
在水平方向：F1sin 53°＝F2cos 53°①
在竖直方向：F＋mg＝F1cos 53°＋F2sin 53°②
且F1＝Mg③
由①②③式解得F＝Mg－mg④
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中
由几何关系得小球上升高度h1＝3lsin 53°⑤
物块下降高度h2＝2l⑥
物块和小球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律
mgh1＝Mgh2⑦
由⑤⑥⑦式解得＝⑧
(3)根据机械能守恒定律，小球回到起始点，设此时AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T
对物块由牛顿第二定律得
Mg－T＝Ma⑨
根据牛顿第三定律，小球受AC的拉力
T′＝T⑩
对小球，在沿AC方向，由牛顿第二定律得
T′－mgcos 53°＝ma⑪
解得T＝(结合⑧式，也可得到T＝mg或T＝Mg)⑫
变式3 (多选)(2018·沛县中学调研)如图6所示，质量相等的两个物块A和B用跨过滑轮的轻绳相连，不计摩擦、滑轮质量和空气阻力，B物块套在光滑的竖直杆上，在B下落的过程中，下列说法正确的是( )
图6
A．物块B减少的机械能等于物块A增加的机械能
B．物块B减少的重力势能等于物块A和B增加的动能之和
C．绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做的功
D．物块A和B的速度大小相等
答案 AC
解析 A、B两物块组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，则A增加的机械能与B减小的机械能相等，故A正确．因为系统机械能守恒，则A、B系统重力势能的减小量等于物块A、B增加的动能之和，故B错误．绳子拉力对A做的功等于A的机械能增加量，B克服绳子拉力做的功等于B机械能的减小量，因为机械能守恒，则绳拉力对A做的功等于B克服绳拉力做的功，故C正确．物块B速度在沿绳子方向的分速度等于A的速度，可知B的速度大于A的速度，故D错误．
命题点四 含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧发生形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放)．
例4 (多选)(2018·南京市三模)如图7所示，轻弹簧一端固定于O点，另一端与可视为质点的小滑块连接，把滑块放在光滑斜面上的A点，此时弹簧恰好水平，将滑块从A点由静止释放，经B点到达位于O点正下方的C点，当滑块运动到B点时弹簧与斜面垂直，运动到C点时弹簧恰好处于原长，已知OC的距离为L，斜面倾角为θ＝30°，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g.则滑块由A运动到C的过程中( )
图7
A．滑块的加速度一直减小
B．滑块经过B点时的速度一定最大
C．滑块经过C点的速度大于
D．滑块的加速度大小等于的位置一共有三处
答案 CD
变式4 (多选)(2018·南通市等七市三模)如图8所示，斜面体静置在水平面上，斜面底端固定一挡板，轻弹簧一端连接在挡板上，弹簧原长时自由端在B点．一小物块紧靠弹簧放置，在外力作用下将弹簧压缩至A点．物块由静止释放后，恰能沿粗糙斜面上滑至最高点C，然后下滑，最终停在斜面上，斜面体始终保持静止．则( )
图8
A．物块最终会停在A、B之间的某位置
B．物块上滑过程速度最大的位置与下滑过程速度最大的位置相同
C．整个运动过程中产生的内能小于弹簧的最大弹性势能
D．物块从A上滑到C过程中，地面对斜面体的摩擦力先减小再增大，然后不变
答案 ACD
1.背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图9所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80 m，体重60 kg，参加学校运动会成功地越过了1.90 m的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值( )
图9
A．500 J B．600 J C．800 J D．2 000 J
答案 C
2．(多选)(2018·南京市三模)抛出的铅球在空中的运动轨迹如图10所示，A、B为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计．用v、E、Ek、P分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图象中不正确的是( )
图10
答案 ABC
3．(多选)(2018·南通等六市一调)如图11所示，一轻弹簧直立于水平面上，弹簧处于原长时上端在O点，将一质量为M的物块甲轻放在弹簧上端，物块甲下降到A点时速度最大，下降到最低点B时加速度大小为g，O、B间距为h.换用另一质量为m的物块乙，从距O点高为h的C点由静止释放，也刚好将弹簧压缩到B点．不计空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小为g，则上述过程中( )
图11
A．弹簧最大弹性势能为Mgh
B．乙的最大速度为
C．乙在B点加速度大小为2g
D．乙运动到O点下方处速度最大
答案 AD
解析 对于物块甲的运动过程，根据机械能守恒定律可知，弹簧压缩到B点时的弹性势能等于甲的重力势能的变化即Mgh，物块乙也刚好将弹簧压缩到B点，所以弹簧最大弹性势能为Mgh，故A正确；当乙下落到O点时，根据动能定理：mgh＝mv2，解得：v＝，此时开始压缩弹簧，但弹簧弹力为零，所以物块将继续加速直到弹力等于重力时速度达到最大，所以乙的最大速度大于，故B错误；根据机械能守恒有Mgh＝mg·2h，则m＝M，在B点对M根据牛顿第二定律有：F－Mg＝Mg，对m根据牛顿第二定律有：F－mg＝ma，联立可得：a＝3g，故C错误；设弹簧劲度系数为k，在最低点有：kh＝2Mg＝4mg，即k＝mg，可得乙运动到O点下方处速度最大，故D正确．
4．(2018·扬州中学5月模拟)如图12所示，小球(可视为质点)从静止开始沿光滑曲面轨道AB滑下，从B端水平飞出，撞击到一个与地面呈θ＝37°的斜面上，撞击点为C.已知斜面上端与曲面末端B相连，A、B间的高度差为h，B、C间的高度差为H，不计空气阻力，则h与H的比值为( )
图12
A. B. C. D.
答案 D
5．(多选)(2018·苏锡常镇二模)如图13所示，用铰链将三个质量均为m的小球A、B、C与两根长为L的轻杆相连， B、C置于水平地面上．在轻杆竖直时，将A由静止释放，B、C在杆的作用下向两侧滑动，三小球始终在同一竖直平面内运动．忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此过程中( )
图13
A．球A的机械能一直减小
B．球A落地的瞬时速度为
C．球B对地面的压力始终等于mg
D．球B对地面的压力可小于mg
答案 BD
1．(多选)下列运动的物体，机械能守恒的有( )
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体做自由落体运动
C．跳伞运动员在空中匀速下降
D．木块沿光滑曲面自由下滑
答案 BD
解析 物体沿斜面匀速下滑、跳伞运动员在空中匀速下降，都属于动能不变，重力势能减小的情况，因此机械能不守恒，A、C错误；物体做自由落体运动，此时它只受重力作用，机械能守恒，木块沿光滑曲面自由下滑时只有重力做功，故机械能守恒，所以B、D正确．
2.(2018·常熟市模拟)半径分别为r和R(r
图1
A．机械能均逐渐减小
B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
答案 C
3．(2018·阜宁中学调研)如图2所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，CD段为平滑的弯管．一小球从管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．则管口D距离地面的高度必须满足的条件是( )
图2
A．等于2R B．大于2R
C．大于2R且小于R D．大于R
答案 B
解析 细管轨道可以提供支持力，所以小球到达A点的速度大于零即可，即mgH－mg·2R>0，解得H>2R.故选B.
4．(多选)(2018·无锡市期中)如图3所示，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h.假设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0，则下列说法中正确的是( )
图3
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面弯成圆弧D，物体仍沿圆弧升高h
C．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
答案 CD
解析 若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h高处，故A错误；若把斜面弯成圆弧D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h高处，故B错误；若把斜面AB变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B点，故C正确；若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于h高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h，故D正确．
5．(2018·江苏百校12月大联考)一小球在空中从t＝0时刻开始做自由落体运动，如图4所示．以地面为参考平面，关于小球速率v、重力的瞬时功率P、小球的动能Ek和重力势能Ep随时间t变化的图象正确的是( )
图4
答案 B
6．(2018·宿迁市上学期期末)如图5所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
图5
A．2R B. C. D.
答案 C
解析 设B球质量为m，A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律得2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，得v2＝gR，B球继续上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度为h＋R＝R，故选C.
7．(多选)(2018·淮安市、宿迁市等期中)如图6所示，足够长的光滑斜面固定在水平面上，竖直轻质弹簧与A、B物块相连，A、C物块由跨过光滑小滑轮的轻绳连接．初始时刻，C在外力作用下静止，绳中恰好无拉力，B放置在水平面上，A静止．现撤去外力，物块C沿斜面向下运动，当C运动到最低点时，B刚好离开地面．已知A、B的质量均为m，弹簧始终处于弹性限度内，则上述过程中( )
图6
A．C的质量mC可能小于m
B．C的速度最大时，A的加速度为零
C．C的速度最大时，弹簧弹性势能最小
D．A、B、C组成的系统的机械能先变小后变大
答案 BC
解析 C的速度最大时，加速度为零，因A的加速度等于C的加速度，则此时A的加速度也为零，选项B正确；设弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧压缩量为Δx1＝，因当C运动到最低点时，B刚好离开地面，此时弹簧伸长量为Δx2＝，根据对称性可知，当A的加速度为零时，弹簧处于原长状态，则此时弹簧弹性势能为零，设斜面倾角为θ，此时有mCgsin θ＝mg，则C的质量mC一定大于m，选项A错误，C正确；因只有重力和弹力做功，则A、B、C及弹簧组成的系统的机械能守恒，因弹性势能先减小后增大，则A、B、C系统的机械能先变大后变小，选项D错误．
8．(多选)(2018·南京市、盐城市一模)如图7所示，光滑细杆上套有两个质量均为m的小球，两球之间用轻质弹簧相连，弹簧原长为L，用长为2L的细线连接两球．现将质量为M的物块用光滑的钩子挂在细线上，从细线绷直开始释放，物块向下运动．则物块( )
图7
A．运动到最低点时，小球的动能为零
B．速度最大时，弹簧的弹性势能最大
C．速度最大时，杆对两球的支持力为(M＋2m)g
D．运动到最低点时，杆对两球的支持力小于(M＋2m)g
答案 AC
解析 物块从开始释放先做加速运动，后做减速运动直到速度为零即到达最低点，故A正确；根据系统机械能守恒可知，物块M减小的重力势能转化为弹簧的弹性势能、物块和两小球的动能，当物块运动到最低点时，即速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故B错误；速度最大时，即此时系统所受合力为零，将两小球和物块看成系统，受重力(M＋2m)g和杆对两球的支持力二力平衡，故C正确；运动到最低点时，物块具有向上的加速度，由整体法可知，杆对两球的支持力大于(M＋2m)g，故D错误．
9．(2018·扬州中学月考)如图8所示，一轻绳绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O1、O2和质量为m的小球连接，另一端与套在光滑直杆上质量也为m的小物块连接，已知直杆两端固定，与两定滑轮在同一竖直平面内，与水平面的夹角θ＝60°，直杆上C点与两定滑轮均在同一高度，C点到定滑轮O1的距离为L，重力加速度为g，设直杆足够长，小球运动过程中不会与其他物体相碰．现将小物块从C点由静止释放，当小物块沿杆下滑距离也为L时(图中D处)，求：
图8
(1)小球下降的最大距离；
(2)小物块在D处的速度大小．
答案 见解析
解析 (1)当拉物块的绳子与直杆垂直时，小球下降的距离最大，根据几何关系知，Δh＝L－Lsin 60°＝L(1－)；
(2)设小物块下滑距离为L时的速度大小为v，此时小球的速度大小为v1，则v1＝vcos θ
对物块和小球组成的系统根据机械能守恒定律，有：
mgLsin θ＝mv＋mv2
解得v＝.
10．(2018·南京市三模)如图9所示，物块A、B、C的质量分别为2m、2m、m，并均可视为质点，三个物块用轻绳通过轻质滑轮连接，在外力作用下现处于静止状态，此时物块A置于地面，物块B与C、C到地面的距离均是L，现将三个物块由静止释放．若C与地面、B与C相碰后速度立即减为零，A距离滑轮足够远且不计一切阻力，重力加速度为g.求：
图9
(1)刚释放时A的加速度大小及轻绳对A的拉力大小；
(2)物块A由最初位置上升的最大高度；
(3)若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地且物块B与C不相碰，则A的质量应满足的条件．
答案 见解析
解析 (1)设刚释放时A、B、C的加速度大小为a，绳子对A的拉力大小为F
由受力分析可知对于A有F－2mg＝2ma
对于B、C整体有3mg－F＝3ma
联立解得a＝，F＝mg＝2.4mg
(2)C下落L后落地，由v2＝2ax可知此时的速度
v＝
由h＝ 得h＝0.2L
则物块由最初位置上升的最大高度H＝2.2L
(3)若改变A的质量使系统由静止释放后物块C能落地，则A的质量需满足mA<3m
同时使得B与C不相碰，即C落地后B减速下降到地面时速度为0，从释放到C落地的过程中运用系统机械能守恒定律得 3mgL－mAgL＝(3m＋mA)v2
解得v＝
从C落地到B减速到速度为0的过程中运用机械能守恒定律得2mgL＋(2m＋mA)v2＝mAgL
解得mA＝m
即A的质量满足m
图10
(1)拉力做的功W和拉力的大小F；
(2)撤去拉力F时小球的动能Ek；
(3)小球运动到最高点后向右倾倒，当杆与水平面夹角为α时小球的速度大小v1(正方体和小球未分开)．
答案 (1)mgL (2)(1－)mgL
(3)
解析 (1)根据动能定理得WF－mgL＝0，且有W＝··F
解得力F所做的功为：WF＝mgL，拉力的大小F＝
(2)根据动能定理有：WF－mgLsin θ＝Ek－0
解得：Ek＝(1－)mgL
(3)当杆与水平面夹角为α时，小球的速度为v1，正方体的速度为v2
v2＝v1sin α
对轻杆、小球和正方体组成的系统，根据机械能守恒有：
mg(L－Lsin α)＝mv＋Mv
联立解得：v1＝ .
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