2020版物理新增分大一轮人教通用版讲义：第十四章机械振动与机械波光电磁波与相对论第3讲

第3讲　光的折射　全反射

一、光的折射定律　折射率
1.折射定律
(1)内容：如图1所示，折射光线与入射光线、法线处在同一平面内，折射光线与入射光线分别位于法线的两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比.

图1
(2)表达式：＝n.
(3)在光的折射现象中，光路是可逆的.
2.折射率
(1)折射率是一个反映介质的光学性质的物理量.
(2)定义式：n＝.
(3)计算公式：n＝，因为v (4)当光从真空(或空气)斜射入某种介质时，入射角大于折射角；当光由介质斜射入真空(或空气)时，入射角小于折射角.
3.折射率的理解
(1)折射率由介质本身性质决定，与入射角的大小无关.
(2)折射率与介质的密度没有关系，光密介质不是指密度大的介质.
(3)同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小.
自测1　如图2所示，MN是空气与某种液体的分界面，一束红光由空气射到分界面，一部分光被反射，一部分光进入液体中.当入射角是45°时，折射角为30°，则以下说法正确的是(　　)

图2
A.反射光线与折射光线的夹角为120°
B.该液体对红光的折射率为
C.该液体对红光的全反射临界角为45°
D.当紫光以同样的入射角从空气射到分界面时，折射角也是30°
答案　C
二、全反射　光导纤维
1.定义：光从光密介质射入光疏介质，当入射角增大到某一角度时，折射光线将全部消失，只剩下反射光线的现象.
2.条件：(1)光从光密介质射入光疏介质.(2)入射角大于或等于临界角.
3.临界角：折射角等于90°时的入射角.若光从光密介质(折射率为n)射向真空或空气时，发生全反射的临界角为C，则sin C＝.介质的折射率越大，发生全反射的临界角越小.
4.光导纤维
光导纤维的原理是利用光的全反射，如图3所示.

图3
自测2　(多选)光从介质a射向介质b，如果要在a、b介质的分界面上发生全反射，那么必须满足的条件是(　　)
A.a是光密介质，b是光疏介质
B.光在介质a中的速度必须大于在介质b中的速度
C.光的入射角必须大于或等于临界角
D.必须是单色光
答案　AC

命题点一　折射定律和折射率的理解及应用
1.对折射率的理解
(1)折射率的大小不仅反映了介质对光的折射本领，也反映了光在介质中传播速度的大小v＝.
(2)折射率的大小不仅与介质本身有关，还与光的频率有关.同一种介质中，频率越大的色光折射率越大，传播速度越小.
(3)同一种色光，在不同介质中虽然波速、波长不同，但频率相同.
2.光路的可逆性
在光的折射现象中，光路是可逆的.如果让光线逆着原来的折射光线射到界面上，光线就会逆着原来的入射光线发生折射.
例1　(2018·全国卷Ⅲ·34(2))如图4，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”(图中O点)，然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上.D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F.该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过O点作AB边的垂线交直线DF于E；DE＝2 cm，EF＝1 cm.求三棱镜的折射率.(不考虑光线在三棱镜中的反射)

图4
答案　
解析　过D点作AB边的法线NN′，连接OD，则∠ODN＝α为O点发出的光线在D点的入射角；设该光线在D点的折射角为β，如图所示.根据折射定律有nsin α＝sin β①

式中n为三棱镜的折射率.
由几何关系可知
β＝60°②
∠EOF＝30°③
在△OEF中有
EF＝OEsin ∠EOF④
由③④式和题给条件得
OE＝2 cm⑤
根据题给条件可知，△OED为等腰三角形，有
α＝30°⑥
由①②⑥式得
n＝
变式1　(2017·全国卷Ⅰ·34(2))如图5，一玻璃工件的上半部是半径为R的半球体，O点为球心；下半部是半径为R、高为2R的圆柱体，圆柱体底面镀有反射膜.有一平行于中心轴OC的光线从半球面射入，该光线与OC之间的距离为0.6R.已知最后从半球面射出的光线恰好与入射光线平行(不考虑多次反射).求该玻璃的折射率.

图5
答案　(或1.43)
解析　如图，根据光路的对称性和光路可逆性，与入射光线相对于OC轴对称的出射光线一定与入射光线平行.这样，从半球面射入的折射光线，将从圆柱体底面中心C点反射.

设光线在半球面的入射角为i，折射角为r.由折射定律有
sin i＝nsin r①
由正弦定理有
＝②
由几何关系，入射点的法线与OC的夹角为i.由题设条件和几何关系有
sin i＝③
式中L是入射光线与OC的距离，L＝0.6R.由②③式和题给数据得sin r＝④
由①③④式和题给数据得
n＝≈1.43⑤
变式2　(2017·全国卷Ⅱ·34(2))一直桶状容器的高为2l，底面是边长为l的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图6所示.容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料.在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率.

图6
答案　1.55
解析　设从光源发出直接射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1.在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接C、D，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点.光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图所示.设液体的折射率为n，由折射定律有

nsin i1＝sin r1①
nsin i2＝sin r2②
由题意知r1＋r2＝90°③
联立①②③式得
n2＝④
由几何关系可知
sin i1＝＝⑤
sin i2＝＝⑥
联立④⑤⑥式得
n≈1.55
命题点二　全反射现象的理解和综合分析
1.分析综合问题的基本思路
(1)判断光线是从光疏介质进入光密介质还是从光密介质进入光疏介质.
(2)判断入射角是否大于等于临界角，明确是否发生全反射现象.
(3)画出反射、折射或全反射的光路图，必要时还可应用光路的可逆原理画出光路图，然后结合几何知识进行推断和求解相关问题.
(4)折射率n是讨论折射和全反射问题的重要物理量，是联系各物理量的桥梁，应熟练掌握跟折射率有关的所有关系式.
2.求光的传播时间的一般思路
(1)全反射现象中，光在同种均匀介质中的传播速度不发生变化，即v＝.
(2)全反射现象中，光的传播路程应结合光路图与几何关系进行确定.
(3)利用t＝求解光的传播时间.
例2　(2018·全国卷Ⅱ·34(2))如图7，△ABC是一直角三棱镜的横截面，∠A＝90°，∠B＝60°.一细光束从BC边的D点折射后，射到AC边的E点，发生全反射后经AB边的F点射出.EG垂直于AC交BC于G，D恰好是CG的中点.不计多次反射.

图7
(1)求出射光相对于D点的入射光的偏角；
(2)为实现上述光路，棱镜折射率的取值应在什么范围？
答案　(1)60°　(2)≤n<2
解析　(1)光线在BC面上折射，由折射定律有
sin i1＝nsin r1①

式中，n为棱镜的折射率，i1和r1分别是该光线在BC面上的入射角和折射角.光线在AC面上发生全反射，由反射定律有i2＝r2②
式中i2和r2分别是该光线在AC面上的入射角和反射角.光线在AB面上发生折射，由折射定律有
nsin i3＝sin r3③
式中i3和r3分别是该光线在AB面上的入射角和折射角.
由几何关系得
i2＝r2＝60°，r1＝i3＝30°④
F点的出射光相对于D点的入射光的偏角为
δ＝(r1－i1)＋(180°－i2－r2)＋(r3－i3)⑤
由①②③④⑤式得
δ＝60°⑥
(2)光线在AC面上发生全反射，光线在AB面上不发生全发射，有nsin i2≥nsin C>nsin i3⑦
式中C是全反射临界角，满足
nsin C＝1⑧
由④⑦⑧式知，棱镜的折射率n的取值范围应为
≤n<2⑨
变式3　(2017·全国卷Ⅲ·34(2))如图8，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴(过球心O与半球底面垂直的直线).已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出(不考虑被半球的内表面反射后的光线).求：

图8
(1)从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
(2)距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离.
答案　(1)R　(2)2.74R
解析　(1)如图甲，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角ic时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l.

i＝ic①
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsin ic＝1②
由几何关系有
sin i＝③
联立①②③式并利用题给条件，得
l＝R④
(2)如图乙，设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有

nsin i1＝sin r1⑤
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
＝⑥
由几何关系有
∠C＝r1－i1⑦
sin i1＝⑧
联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得
OC＝R≈2.74R⑨
变式4　(2016·全国卷Ⅰ·34(2))如图9所示，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，它到池边的水平距离为3.0 m.从点光源A射向池边的光线AB与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为.

图9
(1)求池内的水深；
(2)一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛到池面的高度为2.0 m.当他看到正前下方的点光源A时，他的眼睛所接收的光线与竖直方向的夹角恰好为45°.求救生员的眼睛到池边的水平距离(结果保留1位有效数字).
答案　(1) m　(2)0.7 m
解析　(1)光由A射向B恰好发生全反射，光路如图甲所示.

甲
则sin θ＝，得sin θ＝
又|AO|＝3 m，由几何关系可得：|AB|＝4 m，|BO|＝ m，所以水深 m.
(2)光由A点射入救生员眼中光路图如图乙所示.

乙
由折射定律有n＝
可知sin α＝
tan α＝＝
设|BE|＝x，由几何关系得tan α＝＝
代入数据得x＝(3－) m≈1.3 m，
由几何关系得，救生员到池边的水平距离为
|BC|＝2 m－x≈0.7 m
命题点三　光路控制和色散
1.平行玻璃砖、三棱镜和圆柱体(球)对光路的控制
类别
项目
平行玻璃砖
三棱镜
圆柱体(球)
结构
玻璃砖上下表面是平行的
横截面为三角形
横截面是圆
对光线
的作用

通过平行玻璃砖的光线不改变传播方向，但要发生侧移

通过三棱镜的光线经两次折射后，出射光线向棱镜底边偏折

圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后向圆心偏折
应用
测定玻璃的折射率
全反射棱镜，改变光的传播方向
改变光的传播方向

特别提醒　不同颜色的光的频率不同，在同一种介质中的折射率、光速也不同，发生全反射现象的临界角也不同.
2.光的色散及成因
(1)含有多种颜色的光被分解为单色光的现象称为光的色散.
(2)含有多种颜色的光从一种介质进入另一种介质，由于介质对不同色光的折射率不同，各种色光的偏折程度不同，所以产生光的色散.
3.各种色光的比较
颜色
红橙黄绿青蓝紫
频率f
低→高
同一介质中的折射率
小→大
同一介质中速度
大→小
波长
大→小
临界角
大→小
通过棱镜的偏折角
小→大

例3　(2018·全国卷Ⅰ·34(1))如图10，△ABC为一玻璃三棱镜的横截面，∠A＝30°.一束红光垂直AB边射入，从AC边上的D点射出，其折射角为60°，则玻璃对红光的折射率为________.若改用蓝光沿同一路径入射，则光线在D点射出时的折射角________(填“小于”“等于”或“大于”)60°.

图10
答案　　大于　
解析　根据光路的可逆性，在AC面，入射角为60°时，折射角为30°.
根据光的折射定律有n＝＝.
玻璃对蓝光的折射率比对红光的折射率大，
沿同一路径入射时，入射角仍为30°不变，对应的折射角变大，因此折射角大于60°.
变式5　如图11所示，宽为a的平行光束从空气斜射到平行玻璃砖上表面，入射角为60°，光束中包含两种波长的光，玻璃砖对这两种光的折射率分别为n1＝，n2＝，光束从玻璃下表面出射时恰好分成不重叠的两束，求玻璃砖的厚度d为多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)

图11
答案　
解析　根据光的折射定律，则有：n1＝
n2＝，
得：θ1＝30°，θ2＝37°
由分析可知，恰好分开时：

x＝d(tan 37°－tan 30°)
又有：x＝
解得：d＝＝
变式6　单色细光束射到折射率n＝的透明球面，光束在过球心的平面内，入射角i＝45°，研究经折射进入球内后，又经内表面反射一次，再经球面折射后射出的光线，如图12所示(图上已画出入射光和出射光).

图12
(1)在图上大致画出光线在球内的路径和方向.
(2)求入射光与出射光之间的夹角α.
答案　(1)见解析图　(2)30°
解析　(1)光线从入射到出射的光路如图所示，入射光线AB经球面折射后，折射光线为BC，又经球表面反射后，反射光线为CD，再经折射后，折射出的光线为DE.OB、OD为球的半径，即为法线.

(2)由折射定律n＝，得sin r＝＝＝，
r＝30°.由几何关系及对称性，有＝r－(i－r)＝2r－i，
α＝4r－2i，把r＝30°，i＝45°代入得：α＝30°.


1.(多选)(2018·福建省泉州市考前适应性模拟)a、b 两种单色光以相同的入射角从半圆形玻璃砖的圆心O 射向空气，其光路图如图1所示.下列说法正确的是(　　)

图1
A.由玻璃射向空气发生全反射时玻璃对a光的临界角较大
B.玻璃对a光的折射率较大
C.a光在玻璃中传播的波长较短
D.b光的光子能量较大
E.b光在该玻璃中传播的速度较小
答案　ADE
解析　由光路图可知，a、b光入射角相同，在分界面上a光发生反射及折射，而b光发生全反射，可知b光的临界角小于a光的临界角，根据sin C＝，知a光的折射率小于b光的折射率，故A正确，B错误；折射率越大，频率越大，波长越短，故b光的波长短，C错误；b光的折射率大，知b光的频率大，根据E＝hν知，b光的光子能量大，故D正确；b光折射率大，根据v＝知，b光在玻璃中的传播速度小，故E正确.
2.(多选)(2018·四川省第二次“联测促改”)如图2所示，O1O2是半圆形玻璃砖过圆心的法线，a、b是关于O1O2对称的两束平行单色光束，两光束从玻璃砖右方射出后的光路图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

图2
A.该玻璃砖对a光的折射率比对b光的折射率小
B.有可能a是绿光，b是红光
C.两光束从空气进入玻璃的过程中各自的频率均不变
D.在真空中，a光的波长比b光的波长长
E.在两光束交汇处一定能看到干涉条纹
答案　ACD
解析　由题图可知，b光偏离原来的传播方向较多，玻璃对b光的折射率大，故A正确；玻璃对b光的折射率大，b光的频率高，故B错误；光在不同介质中传播，频率不变，故C正确；根据真空中波速c＝λν，b光频率高，波长短，故D正确； 由于a、b两束光频率不相等，相遇时不会产生干涉条纹，故E错误.
3.(2018·广东省揭阳市高三期末)如图3所示，直角玻璃三棱镜置于空气中，已知∠A＝60°，∠C＝90°，一束极细的光于AC边的中点D垂直AC面入射，AD＝a，棱镜的折射率n＝.求：

图3
(1)光从棱镜第一次射入空气时的折射角；
(2)光从进入棱镜到它第一次从BC边和AB边射入空气所经历的时间分别为多少？(设光在真空中的传播速度为c，结果可以用根式表示)
答案　见解析
解析　(1)光路图如图所示，由几何知识得i1＝60°，设在玻璃中光发生全反射的临界角为C，

则sin C＝＝，C＝45°，
i1>45°，发生全反射
i2＝90°－i1＝30° 由折射定律有：＝，所以r＝45°
(2)光在三棱镜中的传播速度v＝＝
从BC边射出的光线所用的时间：
t1＝＋＝，
在BC边上反射的光线由几何关系可知将垂直AB边射出.
故从AB边射出的光线所用的时间：
t2＝t1＋·sin 30°＝t1＋＝.

4.(2019·河南省信阳市模拟)如图4所示，半径为R、球心为O的玻璃半球置于半径为R的上端开口的薄圆筒上，一束单色光a沿竖直方向从B点射入半球表面，OB与竖直方向夹角为60°，经两次折射后，出射光线与BO连线平行，求：

图4
(1)玻璃的折射率；
(2)光射在圆柱体侧面C点到半球下表面的距离CD.
答案　(1)　(2)R
解析　(1)作出光经过玻璃半球的光路示意图如图所示.
根据折射定律可知n＝＝
根据几何关系可知β＝60°
则有α＝θ＝30°，所以n＝

(2)根据以上几何关系可知2cos 30°＝R
tan 60°＝，解得＝R
5.(2018·山东省青岛市二模)如图5所示，等腰直角三角形棱镜ABC，一组平行光线从斜面AB射入.

图5
(1)如果光线不从AC、BC面射出，求三棱镜的折射率n的范围；
(2)如果光线顺时针转过θ＝60°，即与AB成30°角斜向下，不考虑反射光线的影响，当n＝时，能否有光线从BC、AC面射出？
答案　(1)n≥　(2)光线只能从BC面射出
解析　(1)光线穿过AB面后方向不变，在AC、BC面上的入射角均为45°，发生全反射的条件为：sin 45°≥
解得：n≥.
(2)当n＝时，发生全反射的临界角为C，sin C＝

折射光线如图所示，n＝
解得：α＝30°，
在BC面的入射角β＝15° 在AC面的入射角θ＝75°>C，所以光线不能从AC面射出.
6.(2018·山西省吕梁市第一次模拟)如图6所示，是一透明半圆柱体的横截面，O为橫截面的圆心，其半径为R，折射率为，OA水平且垂直截面，从A点射出一条光线AB经折射后水平射出半圆柱体，已知OA＝R，光速为c.求：

图6
(1)光沿AO直线进入透明半圆柱体中，从A传到O点的时间；
(2)入射点B到OA的垂直距离BC.
答案　(1)　(2)R
解析　(1)由v＝得v＝c
因为t1＝，t2＝
又t＝t1＋t2，联立解得t＝
(2)如图所示，设入射点B到OA的垂直距离BC＝h，∠BOA＝β，入射角为α，

对△OAB，由正弦定理得＝
又＝，得AB＝R
所以△OAB为等腰三角形：cos β＝＝，故β＝30°
所以B到OA的垂直距离h＝Rsin β＝R.
7.(2018·广东省佛山市质检一)如图7，跳水比赛的1 m跳板伸向水面，右端点距水面高1 m，A为右端点在水底正下方的投影，水深h＝4 m，若跳水馆只开了一盏黄色小灯S，该灯距跳板右端水平距离x＝4 m，离水面高度H＝4 m，现观察到跳板水下阴影右端点B到A的距离AB＝4 m.求：

图7
(1)该黄色光在水中的折射率；
(2)若在水底A处放一物体，则站在跳板右端向下看，该物体看起来在水下多深处？
答案　(1)　(2)3 m
解析　(1)如图所示，由几何关系可知GS＝＝5 m，＝，得SD＝ m，则DJ＝ m，故AE＝ m－4 m＝ m，BE＝AB－AE＝3 m.则有sin i＝，sin r＝，由折射定律可知n＝＝.

(2)如图所示，设A的视深为h′，从A上方看，光的入射角及折射角均很小，sin θ≈tan θ

∠D′OC＝∠BA′O＝α，∠AOD＝∠BAO＝β
由折射定律n＝≈＝＝
得h′＝3 m.