2020版物理新增分大一轮人教通用版讲义：第四章曲线运动万有引力与航天第3讲

第3讲　圆周运动

一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．运动参量

定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2

自测1　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．加速度大小为4π m/s2
答案　BCD
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
自测2　(多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是(　　)
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力由物体所受的合外力提供
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案　BC
三、离心运动和近心运动
1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．受力特点(如图1)

图1
(1)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(2)当F (3)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
自测3　(2019·河北省邢台市调研)如图2所示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看做一个整体，下列论述正确的是(　　)

图2
A．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
B．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供
C．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
D．发生侧滑是因为运动员受到的合外力大于所需的向心力
答案　B
解析　向心力为沿半径方向上的合力．运动员转弯时，受力分析如图所示，可知地面对车轮的摩擦力提供所需的向心力，故A错误，B正确；当Ff<，摩擦力不足以提供所需向心力时，就会离心发生侧滑，故C、D错误.


命题点一　圆周运动的运动学问题
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比．
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图3
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图4
(3)同轴转动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．

图5
例1　如图6所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：

图6
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度大小之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
答案　(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1
解析　(1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3同轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度相同时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
变式1　(多选)(2019·辽宁省丹东市质检)在如图7所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，(　　)

图7
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
答案　AC
解析　题图中三个齿轮边缘线速度相等，A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可得，线速度一定时，角速度与半径成反比，A点和B点角速度之比为3∶1，选项A、C正确，选项B、D错误．
命题点二　圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．运动模型
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯

火车转弯

圆锥摆

飞车走壁

汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)

3.分析思路

例2　(多选)(2018·湖北省黄冈市期末调研)如图8所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时(　　)

图8
A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D．当ω＝时，金属圆环对小球的作用力为零
答案　CD
解析　因为圆环光滑，小球受到重力、环对球的弹力和绳子的拉力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg，FTsin 60°－FNsin 60°＝mω2rsin 60°，解得FT＝mg＋mω2r，FN＝mg－mω2r, 当ω＝时，金属圆环对小球的作用力FN＝0，故C、D正确，A、B错误．
变式2　(多选)(2018·甘肃省兰州一中模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图9所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)

图9
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案　ABD
解析　火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
命题点三　竖直面内圆周运动的两类模型问题
1．两类模型比较

球—绳模型
球—杆模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与轻杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑

最高点有支撑

最高点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图


力学特征
mg＋FN＝m
mg±FN＝m
临界特征
FN＝0，vmin＝
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥
v≥0
速度和弹力关系讨论分析　
①恰好过最高点时，v＝，mg＝m，FN＝0，绳、轨道对球无弹力
②能过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
③不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动
①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0 ③当v＝时，FN＝0
④当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．
(2)确定临界点：抓住球—绳模型中球恰好能过最高点时v＝及球—杆模型中球恰好能过最高点时v＝0这两个临界条件．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．
模型1　球—绳模型

例3　(多选)(2018·四川省凉山州三模)如图10所示，两段长均为L的轻绳共同系住一质量为m的小球，另一端固定在等高的两点O1、O2，两点的距离也为L，在最低点给小球一个水平向里的初速度v0，小球恰能在竖直面内做圆周运动，重力加速度为g，则(　　)

图10
A．小球运动到最高点的速度v＝
B．小球运动到最高点的速度v＝
C．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
D．小球在最低点时每段绳子的拉力F＝mg＋m
答案　AD
解析　小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝m，r＝Lsin 60°，解得v＝ ，A正确，B错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C错误，D正确．
变式3　(多选)(2018·甘肃省兰州一中模拟)如图11甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图象如图乙所示，则(　　)

图11
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a
D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
答案　ABD
解析　在最高点，FT＋mg＝m，解得：FT＝m－mg，可知纵截距的绝对值为a＝mg，g＝，图线的斜率k＝＝，解得绳子的长度L＝，故A、B正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为：FT＝m－mg＝－a，故C错误；当v2＝b时拉力为零，到最低点时根据动能定理得：2mgL＝mv22－mv2，根据牛顿第二定律：FT′－mg＝m，联立以上可得拉力为：FT′＝6mg＝6a，故D正确．
模型2　球—杆模型

例4　(2018·福建省厦门市质检)如图12所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点．质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.

图12
(1)求质点的质量；
(2)质点能做完整的圆周运动过程中，若磁性引力大小恒定，试证明质点对A、B两点的压力差为定值；
(3)若磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B点最大速率．
答案　见解析
解析　(1)在A点：F＋mg－FA＝①
根据牛顿第三定律：FA′＝FA＝7mg②
由①②式联立得：m＝③
(2)质点能做完整的圆周运动，设磁性引力大小为F′，在A点有：F′＋mg－FNA＝④
根据牛顿第三定律：FNA′＝FNA⑤
在B点有：F′－mg－FNB＝⑥
根据牛顿第三定律：FNB′＝FNB⑦
从A点到B点过程，根据机械能守恒定律：mg2R＝mvB2－mvA2⑧
由④⑤⑥⑦⑧联立得：FNA′－FNB′＝6mg为定值，得到证明．
(3)在B点，根据牛顿第二定律：2F－mg－FB＝
当FB＝0，质点速度最大
2F－mg＝⑨
由③⑨联立得：vBm＝
变式4　(2018·山东省济南一中期中)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图13所示，则下列说法正确的是(　　)

图13
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案　A
解析　当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误．
命题点四　圆周运动中的两类临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例5　(多选)如图14所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)

图14
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
答案　ABD
解析　当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以Ff－FT＝mLω2，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．
变式5　(多选)(2018·重庆市江津中学月考)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图15所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　)

图15
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
答案　ABC
解析　由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确；滑块相对盘开始滑动前，根据加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9，故B正确；滑块的最大静摩擦力分别为 FfA＝μmAg，FfB＝μmBg，则最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB；转动中所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝mAaA∶mBaB＝mA∶4.5mB，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误．
例6　(多选)(2018·广东省惠州市第二次调研)如图16所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)

图16
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
答案　AC
解析　两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝ ，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误．
变式6　(多选)(2018·江西省吉安市模拟)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图17所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)

图17
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω> ，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案　AC


1．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图1所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)

图1
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
答案　AC
解析　当汽车行驶的速度为vc时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高、内侧低，选项A正确．当速度稍大于vc时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于vc时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．vc的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误．
2．(多选)(2018·河北省“名校联盟”质量监测一)如图2为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是(　　)

图2
A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
答案　BD
解析　过山车在运动过程中，重力势能和动能相互转化，即速度大小在变化，所以不是做匀速圆周运动，A错误；在最高点重力完全充当向心力时，速度最小，故有mg＝m，解得v＝，B正确；在最低点，“假人”受到竖直向上指向圆心的加速度，故处于超重状态，C错误；若过山车能顺利通过整个圆轨道，即在最高点重力充当向心力，或重力和座椅对“假人”的支持力的合力充当向心力，所以安全带对“假人”一定无作用力，D正确．
3．(多选)(2018·广西桂林市、贺州市期末联考)如图3所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车道内边缘间最远的距离为150 m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍．g取10 m/s2，则汽车(　　)

图3
A．所受的合力可能为零
B．只受重力和地面支持力的作用
C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供
D．最大速度不能超过3 m/s
答案　CD
解析　汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项A错误；汽车做匀速圆周运动，竖直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆周运动的向心力，选项B错误；车在水平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选项C正确；汽车转弯的最大半径为r＝ m＋15 m＝90 m，由牛顿第二定律可得μmg＝m，解得v＝＝ m/s＝3 m/s，即汽车的最大速度不能超过3 m/s，选项D正确．
4．(2019·福建省南平市模拟)2017年春晚，摩托车特技表演引爆上海分会场的气氛，称为史上最惊险刺激的八人环球飞车表演．在舞台中固定一个直径为6.5 m的球形铁笼，八辆摩托车始终以70 km/h的速度在铁笼内旋转追逐，旋转轨道有时水平，有时竖直，有时倾斜，非常震撼．关于摩托车的旋转运动，下列说法正确的是(　　)
A．摩托车在铁笼的最低点时，对铁笼的压力最大
B．摩托车驾驶员始终处于失重状态
C．摩托车始终机械能守恒
D．摩托车的速度小于70 km/h，就会脱离铁笼
答案　A
5．(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系．它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多．采用如图4所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是(　　)

图4
A．控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系
B．控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系
C．钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多
D．钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多
答案　AC
6．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(　　)


答案　B
解析　小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得：Lcos θ＝，则两球处于同一高度，故B正确．

7．(2019·山东省济宁市期中)如图5所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是(　　)

图5
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
答案　C
解析　当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r
解得ω＝1.0 rad/s，故选项C正确．

8．(2018·陕西省宝鸡市质检二)如图6所示，长为L的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为(　　)

图6
A．sin θ＝ B．sin θ＝
C．tan θ＝ D．tan θ＝
答案　B
解析　小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示

根据牛顿第二定律有：＝mLω2，解得：sin θ＝，故选B.
9．(多选)(2018·湖南省益阳市4月调研)如图7所示，四分之一光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，圆心为O，半径OA水平，OB竖直，质量为m的小球从A点由静止释放后，沿圆孤滑下从B点抛出，最后落在地面上C点，已知AC间的水平距离和竖直距离均为L，小球可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

图7
A．当小球运动到轨道最低点B时，轨道对其支持力为2mg
B．根据已知条件可以求出该四分之一圆弧轨道的轨道半径为0.2L
C．小球做平抛运动落到地面时的速度与水平方向夹角θ的正切值tan θ＝2
D．如果在竖直平面内A点正上方有一P点，OP连线与水平方向夹角β＝45°，则将小球从P点由静止释放后运动到B点时，对轨道的压力大小为4mg
答案　BC
解析　对小球由动能定理得mgR＝mvB2，在最低点FB－mg＝m，解得FB＝3mg，故A错误；小球做平抛运动，L－R＝gt2，L－R＝vBt，解得R＝0.2L，故B正确；设小球做平抛运动的位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝1，因为tan θ＝2tan α，所以tan θ＝2，故C正确；小球从P点到B点有mg·2R＝mv2，在B点FN－mg＝m，解得FN＝5mg，结合牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小为5mg，故D错误．
10．(2018·吉林省吉林市第二次调研)如图8所示，两个相同的小木块A和B(均可看做质点)，质量均为m，用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)

图8
A．木块A、B所受的摩擦力始终相等
B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C．ω＝是轻绳开始产生弹力的临界角速度
D．若ω＝，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动
答案　D
解析　当角速度较小时，A、B均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，A、B开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B错误．当摩擦力刚好提供B做圆周运动的向心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝ ，故C错误；当A的摩擦力达到最大时，A、B将要开始滑动，对A有：kmg－FT＝mLω′2，对B有：FT＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝ ，故D正确．
11．(2018·福建省泉州市模拟三)如图9为一个简易的冲击式水轮机的模型，水流自水平的水管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动．当该装置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度相同．调整轮轴O的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平方向成θ＝37°角．测得水从管口流出速度v0＝3 m/s，轮子半径R＝0.1 m．不计挡水板的大小，不计空气阻力．取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

图9
(1)轮子转动角速度ω；
(2)水管出水口距轮轴O的水平距离l和竖直距离h.
答案　(1)50 rad/s　(2)1.12 m　0.86 m
解析　(1)水流出后做平抛运动，设水流到达轮子边缘的速度为v，v＝＝5 m/s
轮子边缘的线速度v′ ＝v ＝ 5 m/s
所以轮子转动的角速度ω＝ ＝50 rad/s
(2)设水流到达轮子边缘的竖直分速度为vy，平抛运动时间为t，水平、竖直分位移分别为x、y：
vy＝＝4 m/s
t＝＝0.4 s
x＝v0t＝1.2 m
y＝gt2＝0.8 m
水管出水口距轮轴O的水平距离l和竖直距离h为：
l＝x－Rcos 37°＝1.12 m
h＝y＋Rsin 37°＝0.86 m
12．(2018·山西省运城市期末)某高速公路的一个出口段如图10所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点(通过B点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下．已知轿车在A点的速度v0＝72 km/h，AB长L1＝150 m；BC为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v＝36 km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段长L2＝50 m，重力加速度g取10 m/s2.

图10
(1)若轿车到达B点速度刚好为v＝36 km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；
(2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
(3)轿车从A点到D点全程的最短时间．
答案　(1)1 m/s2　(2)20 m　(3)23.14 s
解析　(1)v0＝72 km/h＝20 m/s，AB长L1＝150 m，v＝36 km/h＝10 m/s，轿车在AB段做匀减速直线运动，有v2－v02＝－2aL1
代入数据解得a＝1 m/s2
(2)轿车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，
Ff＝
为了确保安全，则须满足Ff≤μmg
联立解得：R≥20 m，即Rmin＝20 m
(3)设通过AB段最短时间为t1，通过BC段最短时间为t2，通过CD段时间为t3，全程所用最短时间为t.
L1＝t1
πRmin＝vt2
L2＝t3
t＝t1＋t2＋t3
解得：t＝23.14 s