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2020版物理浙江高考选考一轮复习讲义：必修2第四章第3讲万有引力与航天
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第3讲 万有引力与航天
知识排查
开普勒三定律
1.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
万有引力定律及其应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2.表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
环绕速度
1.第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9__km/s。
2.特点
(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。
3.第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m得v＝＝7.9 km/s
(2)由mg＝m得v＝＝7.9 km/s
第二、三宇宙速度 时空观
1.第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
2.第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
3.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
4.相对论时空观
在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
小题速练
1.思考判断
(1)行星离太阳较近时，运行速率较快，行星离太阳较远时运行速率较慢( )
(2)只有天体之间才存在万有引力( )
(3)牛顿利用扭秤实验装置测出了引力常量( )
(4)当两物体间距趋近于零时，万有引力趋近无穷大( )
(5)人造卫星的运行速度都要大于7.9 km/s( )
(6)人造地球同步卫星运行轨道只能在赤道上空( )
(7)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×
2.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析 在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。
答案 B
3.(2018·江苏单科)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
解析 由万有引力定律有G＝mRω2＝mR＝m＝ma，可得T＝2π，ω＝，v＝，a＝，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R1大于“高分五号”的轨道半径R2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A正确。
答案 A
行星的运动
开普勒行星运动定律的理解
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转。
(2)中学阶段一般把行星运动看成匀速圆周运动，太阳处在圆心，开普勒第三定律＝k中的a可看成行星的轨道半径R。
(3)表达式＝k中的常数k只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
1.关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A.所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动
B.所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动
C.对每一个行星在近日点速率均大于它在远日点速率
D.所有行星轨道半长轴的二次方与公转周期的三次方比值却相同
解析 根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，A错误；行星绕太阳运动的轨道半径越大，则运动速率越小，B错误；根据开普勒第二定律对于每一个行星在近日点时速率大于它在远日点速率，C正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，D错误。
答案 C
2.2014年12月31日，搭载“风云二号”08星的运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射。发射过程中“风云二号”08星的某一运行轨道为椭圆轨道，周期为T0，如图1所示。则( )
图1
A.“风云二号”08星在B、D两点运行速率不等
B.“风云二号”08星A→B→C过程中，速率逐渐变大
C.“风云二号”08星在A→B过程所用时间小于
D.“风云二号”08星在B→C→D过程中所用时间等于
解析 根据开普勒第二定律可知，“风云二号”08星在B、D两点运行速率相同，A错误；卫星在A→B→C过程，地球对它的引力做负功，速率一直变小，B错误；“风云二号”08星在A→C过程中所用时间为半个周期，由从A到B过程“风云二号”08星与地球连线扫过的面积小于从B到C过程与地球连线扫过的面积，所以A→B过程所用时间小于，C正确；卫星在B→C→D过程中运动比在D→A→B过程慢，历时长，所用时间大于 ，D错误。
答案 C
3.(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
解析 由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。
答案 C
万有引力定律及其应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图2所示。
图2
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2.星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)
mg＝G，得g＝
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
mg′＝，得g′＝
所以＝
3.应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【典例】 (2017·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析 因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得M太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
答案 D
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
1.若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为( )
A.1 B. C. D.
解析 当物体处于地面时，有mg＝G，当物体距离地面3R时，有mg′＝G，由此得g′∶g＝1∶16，选项D正确。
答案 D
2.(2018·4月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图3)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
图3
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.5×1033 kg D.5×1036 kg
解析 根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，
则G＝mr，化简得到M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选项B正确。
答案 B
3.近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( )
A.ρ＝ B.ρ＝kT
C.ρ＝kT2 D.ρ＝
解析 由万有引力定律知G＝mr，联立M＝ρ·πR3和r＝R，解得ρ＝，3π为一常数，设为k，故选项D正确。
答案 D
4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )
A.g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝80∶1
解析 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，因而＝＝×＝，选项C、D错误。
答案 A
宇宙航行
1.物理量随轨道半径变化的规律
2.卫星的运行轨道
(1)赤道轨道
(2)极地轨道
(3)其他轨道
注意：轨道平面一定通过地球的球心。
3.近地卫星特点
近地卫星具有所有卫星当中线速度最大，角速度最大，向心加速度最大，周期最小的特点。
4.地球同步卫星特点
(1)所谓地球同步卫星，指相对于地面静止，与地球做同步匀速转动的卫星。
(2)地球同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，T＝24 h。
(3)地球同步卫星位于地球赤道的正上方，距地球表面的距离h和线速度都是定值。
(由＝得r≈4.24×104 km，则h ≈3.6×104 km；由v＝，得v≈3.08 km/s)。
(4)地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，绕行方向与地球自转方向相同。
【典例1】(2017·全国卷Ⅲ，14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
解析 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得＝ mr ＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，由于轨道半径不变，所以周期、速率、加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号质量大，动能Ek＝mv2变大，选项C正确。
答案 C
【典例2】 (2017·11月浙江选考)如图4所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图，则卫星( )
图4
A.在a轨道运行的周期为24 h
B.在b轨道运行的速度始终不变
C.在c轨道运行的速度大小始终不变
D.在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的
解析 由题图可以看出a、b轨道不在赤道上空，同步卫星必须在赤道正上空36 000 km处，周期为24 h，所以在a轨道运动周期不等于24 h，选项A错误；b轨道上的卫星的速度方向不断变化，所以速度在变化，选项B错误；地球在c轨道的其中一个焦点上，因此在近地点时卫星速度较大，远地点的速度较小，选项C错误；在c轨道上运动时，卫星离地球的距离是变化的，所以根据万有引力公式F＝可以看出卫星受到的引力大小不断变化，D正确。
答案 D
1.我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是( )
A.这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B.通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C.量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D.量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
解析 7.9 km/s是地球卫星的最大环绕速度，所以A错误；地球静止轨道卫星为地球同步卫星，只能定点在赤道上空，西昌在北半球，所以B错误；由G＝ma＝m，和r墨子＜r同步知，C正确，D错误。
答案 C
2.(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则字宙飞船和星球的质量分别是( )
图5
A.， B.，
C.， D.，
解析 根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以飞船质量为m＝。飞船做圆周运动的周期T＝，得半径为r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得星球质量M＝＝，故选项D正确。
答案 D
3.(2016·4月浙江选考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km 的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。已知地球半径R＝6.4×103 km。下列说法正确的是( )
图6
A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
解析 由万有引力提供向心力，得v＝，半径小的速度大，则A错误；由万有引力提供向心力，得ω＝，半径小的角速度大，则B错误；由万有引力提供向心力，得T＝2π，半径小的周期小，则C正确；由万有引力提供向心力，得a＝，得半径小的加速度大，则D错误。
答案 C
4.(2017·4月浙江选考)如图7所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响，则( )
图7
A.金星表面的重力加速度是火星的倍
B.金星的“第一宇宙速度”是火星的倍
C.金星绕太阳运动的加速度比火星小
D.金星绕太阳运动的周期比火星大
解析 根据mg＝可得，g＝，＝，选项A错误；根据＝m可得，v＝，则＝，选项B正确；根据G＝Ma得，a＝，行星距离太阳越远，行星的加速度越小，选项C错误；根据＝mr·
可得，T＝，行星距离太阳越远，行星的运动周期越长，所以选项D错误。
答案 B
5.(2018·绍兴期中)我国“北斗二代”计划在2020年前发射35颗卫星，形成全球性的定位导航系统，比美国GPS多5颗。多出的这5颗是相对地面静止的高轨道卫星(以下简称“静卫”)，其它的有27颗中轨道卫星(以下简称“中卫”)轨道高度为静止轨道高度的。下列说法正确的是( )
A.“中卫”的线速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
B.“静卫”的轨道必须是在赤道上空
C.如果质量相同，“静卫”与“中卫”的动能之比为3∶5
D.“静卫”的运行周期小于“中卫”的运行周期
解析 7.9 km/s是地球卫星的最大速度，所以“中卫”的线速度小于7.9 km/s，故A错误；同步轨道卫星轨道只能在赤道上空，则“静卫”的轨道必须是在赤道上空，故B正确；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得mv2＝，如果质量相同，动能之比等于半径的倒数比，“中卫”轨道高度为静止轨道高度的，地球半径相同，所以“中卫”轨道半径不是静止轨道半径的，则“静卫”与“中卫”的动能之比不是3∶5，故C错误；根据G＝m得T＝，则半径越大周期越大，所以“静卫”的运行周期大于“中卫”的运行周期，故D错误。
答案 B
科学思维——天体运动中常考易错的辨析
1.同步卫星的运动规律
同步卫星的六个“一定”
【例1】 我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有地球同步卫星，关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A.同步卫星处于平衡状态
B.同步卫星的速度是不变的
C.同步卫星的高度是一定的
D.同步卫星的线速度应大于第二宇宙速度
解析 同步卫星做匀速圆周运动，其加速度不为零，故不可能处于平衡状态，选项A错误；同步卫星做匀速圆周运动，速度方向必然改变，故选项B错误；同步卫星定轨道、定周期，所以同步卫星离地面的高度是一个定值，选项C正确；星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第一宇宙速度又叫最大环绕速度，同步卫星离地面有一定距离，其速度一定小于第一和第二宇宙速度，选项D错误。
答案 C
2.同步卫星与其它卫星运动物理量的比较
【例2】 “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是( )
A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得速度的
C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
解析 同步卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝man＝m＝mω2r＝mr，得同步卫星的运行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故选项A错误，C正确；an＝，g＝，所以＝＝，故选项D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故选项B错误。
答案 C
3.近地卫星、同步卫星及赤道上的物体运行问题
如图8所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
图8
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由＝mω2r得
ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故
ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度
由＝得v＝，故v1＞v2
由v＝rω得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加
速度
由＝ma得a＝，故a1＞a2
由a＝ω2r得
a2＞a3
a1＞a2＞a3
【例3】 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图9
A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1
C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，由题目中数据可以得出r1a2>a3，选项D正确。
答案 D
4.变轨前后各物理量的比较
(1)航天器变轨问题的三点注意事项
①航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
②航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
③航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
(2)卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
【例4】 2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图10为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是( )
图10
A.“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大
B.“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率
C.“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度
D.“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力
解析 “墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据G＝m可得v＝，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。
答案 D
活页作业
(时间：30分钟)
A组 基础过关
1.(2018·北京理综)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
解析 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误。
答案 B
2.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
解析 毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。
答案 C
3.如图1所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×103 km。由以上数据可估算( )
图1
A.“天宫二号”质量 B.“天宫二号”运行速度
C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力
解析 根据万有引力提供向心力，即＝m，可知v＝，所以选项B正确；天宫二号的质量上面等式两边消去，即无法得知“天宫二号”的质量，即选项A错误；同时其受到的向心力、引力都因为不知其质量而无法求解，所以A、C、D错误。
答案 B
4.“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期大于地球自转周期
D.向心加速度大于地面的重力加速度
解析 根据万有引力提供向心力得G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A、C错误；由第一宇宙速度v＝可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D错误。
答案 B
5.北斗导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统。北斗导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，关于这5颗静止轨道上的同步卫星，下列说法正确的是( )
A.周期都相等，均为24 h
B.动能都相等，势能也都相同
C.线速度都相等，周期可能不同
D.角速度都相同，轨道半径可能不同
解析 地球同步卫星相对地球静止，其运行周期与地球自转的周期相等，都是24 h，故A正确；由于地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，所以角速度都相同，轨道半径也都相同。由万有引力等于向心力，则有G＝mr＝m，解得卫星的线速度v＝；则知卫星的线速度大小相等，但由于卫星的质量不一定相等，所以动能不一定都相同，势能也不一定都相同，B、C、D错误。
答案 A
6.(2018·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)如图2所示，有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b在近地轨道做匀速圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示。关于这四颗卫星，下列说法正确的是( )
图2
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.c在4 h内转过的圆心角是
C.在相同时间内，这四个卫星中b转过的弧长最长
D.d做圆周运动的周期有可能是20小时
答案 C
7.已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，设该星球半径为R，则在距离该星球表面高度为3R的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度为( )
A.2 km/s B.4 km/s
C.4 km/s D.8 km/s
解析 由第一宇宙速度的定义可知＝①
v0为第一宇宙速度，当宇宙飞船处于3R高度处时，万有引力提供向心力有＝②
由①②可求得v＝4 km/s。故选项B正确。
答案 B
8.我国发射的卫星成功进入了“拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图3所示。该“拉格朗日点”位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则该飞行器的( )
图3
A.向心力仅由太阳的引力提供
B.周期小于地球公转的周期
C.线速度大于地球公转的线速度
D.向心加速度小于地球公转的向心加速度
解析 探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A错误；飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相同，故B错误；角速度相等，根据v＝rω，知探测器的线速度大于地球的线速度，故C正确；根据a＝rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D错误。
答案 C
9.(2018·浙江新高考研究联盟二联)“天宫二号”在2016年秋季发射成功，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道。设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度。已知引力常量为G，则地球的质量是( )
A. B. C. D.
解析 根据几何关系即可求出轨道半径，由线速度的定义式即可求出线速度，然后由万有引力提供向心力即可求出地球的质量。“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：r＝，t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度v＝，“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则G＝m，所以M＝＝，A正确。
答案 A
10.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”自动交会对接成功。此次交会对接与过去不同，过去“神舟十号”与“天宫一号”对接时，轨道高度是343公里，而“神舟十一号”和“天宫二号”对接时的轨道高度是393公里，比过去高了50公里。若天宫空间站与飞船组合体在对接高度绕地运行，则“天宫一号”与“天宫二号”相比，下列说法正确的是( )
图4
A.“天宫一号”受到地球的引力较大
B.“天宫一号”发射的速度较大
C.“天宫二号”运行的速度较大
D.“天宫二号”运动行的周期较长
解析 根据万有引力提供向心力：G＝m＝mr，解得v＝，T＝2π，由题知“天宫一号”的轨道半径小于“天宫二号”的轨道半径，故“天宫一号”的发射速度小于“天宫二号”的发射速度，“天宫一号”在轨道运行的速度大于“天宫二号”在轨道运行的速度，“天宫一号”运行的周期小于“天宫二号”的周期，由于不知道“天宫一号”与“天宫二号”质量大小关系，无法比较万有引力大小，A、B、C错误，D正确。
答案 D
B组 能力提升
11.(2018·舟山模拟)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知( )
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B.火星公转时的向心加速度较小
C.火星公转时的线速度较大
D.火星公转时的角速度较大
解析 由表中信息知r火＞r地，根据牛顿第二定律G＝m＝ma＝m＝mrω2得T＝，a＝，v＝，ω＝，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度小，角速度小，故B正确，A、C、D错误。
答案 B
12.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示。卫星的轨道半径为r＝＝2R，由＝得＝。解得T2≈4 h。选项B正确。
答案 B
13.如图5所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径ra
图5
A.三个卫星的加速度为aa
D.三个卫星的运行周期为Ta
答案 D
知识排查
开普勒三定律
1.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
万有引力定律及其应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。
2.表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
环绕速度
1.第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9__km/s。
2.特点
(1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。
3.第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m得v＝＝7.9 km/s
(2)由mg＝m得v＝＝7.9 km/s
第二、三宇宙速度 时空观
1.第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
2.第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
3.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
4.相对论时空观
在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
小题速练
1.思考判断
(1)行星离太阳较近时，运行速率较快，行星离太阳较远时运行速率较慢( )
(2)只有天体之间才存在万有引力( )
(3)牛顿利用扭秤实验装置测出了引力常量( )
(4)当两物体间距趋近于零时，万有引力趋近无穷大( )
(5)人造卫星的运行速度都要大于7.9 km/s( )
(6)人造地球同步卫星运行轨道只能在赤道上空( )
(7)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×
2.关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析 在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。
答案 B
3.(2018·江苏单科)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
解析 由万有引力定律有G＝mRω2＝mR＝m＝ma，可得T＝2π，ω＝，v＝，a＝，又由题意可知，“高分四号”的轨道半径R1大于“高分五号”的轨道半径R2，故可知“高分五号”的周期较小，选项A正确。
答案 A
行星的运动
开普勒行星运动定律的理解
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转。
(2)中学阶段一般把行星运动看成匀速圆周运动，太阳处在圆心，开普勒第三定律＝k中的a可看成行星的轨道半径R。
(3)表达式＝k中的常数k只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关。
1.关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A.所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动
B.所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动
C.对每一个行星在近日点速率均大于它在远日点速率
D.所有行星轨道半长轴的二次方与公转周期的三次方比值却相同
解析 根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，A错误；行星绕太阳运动的轨道半径越大，则运动速率越小，B错误；根据开普勒第二定律对于每一个行星在近日点时速率大于它在远日点速率，C正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，D错误。
答案 C
2.2014年12月31日，搭载“风云二号”08星的运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射。发射过程中“风云二号”08星的某一运行轨道为椭圆轨道，周期为T0，如图1所示。则( )
图1
A.“风云二号”08星在B、D两点运行速率不等
B.“风云二号”08星A→B→C过程中，速率逐渐变大
C.“风云二号”08星在A→B过程所用时间小于
D.“风云二号”08星在B→C→D过程中所用时间等于
解析 根据开普勒第二定律可知，“风云二号”08星在B、D两点运行速率相同，A错误；卫星在A→B→C过程，地球对它的引力做负功，速率一直变小，B错误；“风云二号”08星在A→C过程中所用时间为半个周期，由从A到B过程“风云二号”08星与地球连线扫过的面积小于从B到C过程与地球连线扫过的面积，所以A→B过程所用时间小于，C正确；卫星在B→C→D过程中运动比在D→A→B过程慢，历时长，所用时间大于 ，D错误。
答案 C
3.(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
解析 由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。
答案 C
万有引力定律及其应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图2所示。
图2
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2.星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)
mg＝G，得g＝
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，
mg′＝，得g′＝
所以＝
3.应用万有引力定律估算天体的质量、密度
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【典例】 (2017·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能计算出地球质量的是( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
解析 因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得M太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。
答案 D
计算中心天体的质量、密度时的两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
1.若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为( )
A.1 B. C. D.
解析 当物体处于地面时，有mg＝G，当物体距离地面3R时，有mg′＝G，由此得g′∶g＝1∶16，选项D正确。
答案 D
2.(2018·4月浙江选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图3)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106 km。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
图3
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.5×1033 kg D.5×1036 kg
解析 根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力，
则G＝mr，化简得到M＝，代入数据得M≈5×1026 kg，故选项B正确。
答案 B
3.近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( )
A.ρ＝ B.ρ＝kT
C.ρ＝kT2 D.ρ＝
解析 由万有引力定律知G＝mr，联立M＝ρ·πR3和r＝R，解得ρ＝，3π为一常数，设为k，故选项D正确。
答案 D
4.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( )
A.g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2
C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝80∶1
解析 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，因而＝＝×＝，选项C、D错误。
答案 A
宇宙航行
1.物理量随轨道半径变化的规律
2.卫星的运行轨道
(1)赤道轨道
(2)极地轨道
(3)其他轨道
注意：轨道平面一定通过地球的球心。
3.近地卫星特点
近地卫星具有所有卫星当中线速度最大，角速度最大，向心加速度最大，周期最小的特点。
4.地球同步卫星特点
(1)所谓地球同步卫星，指相对于地面静止，与地球做同步匀速转动的卫星。
(2)地球同步卫星的周期与地球自转的周期T相同，T＝24 h。
(3)地球同步卫星位于地球赤道的正上方，距地球表面的距离h和线速度都是定值。
(由＝得r≈4.24×104 km，则h ≈3.6×104 km；由v＝，得v≈3.08 km/s)。
(4)地球同步卫星的轨道平面与地球的赤道平面重合，绕行方向与地球自转方向相同。
【典例1】(2017·全国卷Ⅲ，14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
解析 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得＝ mr ＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，由于轨道半径不变，所以周期、速率、加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号质量大，动能Ek＝mv2变大，选项C正确。
答案 C
【典例2】 (2017·11月浙江选考)如图4所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图，则卫星( )
图4
A.在a轨道运行的周期为24 h
B.在b轨道运行的速度始终不变
C.在c轨道运行的速度大小始终不变
D.在c轨道运行时受到的地球引力大小是变化的
解析 由题图可以看出a、b轨道不在赤道上空，同步卫星必须在赤道正上空36 000 km处，周期为24 h，所以在a轨道运动周期不等于24 h，选项A错误；b轨道上的卫星的速度方向不断变化，所以速度在变化，选项B错误；地球在c轨道的其中一个焦点上，因此在近地点时卫星速度较大，远地点的速度较小，选项C错误；在c轨道上运动时，卫星离地球的距离是变化的，所以根据万有引力公式F＝可以看出卫星受到的引力大小不断变化，D正确。
答案 D
1.我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信。“墨子”由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道。此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7。G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高。关于卫星以下说法中正确的是( )
A.这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B.通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C.量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小
D.量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小
解析 7.9 km/s是地球卫星的最大环绕速度，所以A错误；地球静止轨道卫星为地球同步卫星，只能定点在赤道上空，西昌在北半球，所以B错误；由G＝ma＝m，和r墨子＜r同步知，C正确，D错误。
答案 C
2.(2018·11月浙江选考)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其它星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动，已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则字宙飞船和星球的质量分别是( )
图5
A.， B.，
C.， D.，
解析 根据牛顿第二定律可知F＝ma＝m，所以飞船质量为m＝。飞船做圆周运动的周期T＝，得半径为r＝，根据万有引力提供向心力可得G＝m，得星球质量M＝＝，故选项D正确。
答案 D
3.(2016·4月浙江选考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km 的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。已知地球半径R＝6.4×103 km。下列说法正确的是( )
图6
A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
解析 由万有引力提供向心力，得v＝，半径小的速度大，则A错误；由万有引力提供向心力，得ω＝，半径小的角速度大，则B错误；由万有引力提供向心力，得T＝2π，半径小的周期小，则C正确；由万有引力提供向心力，得a＝，得半径小的加速度大，则D错误。
答案 C
4.(2017·4月浙江选考)如图7所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的半径是火星的n倍，质量为火星的k倍。不考虑行星自转的影响，则( )
图7
A.金星表面的重力加速度是火星的倍
B.金星的“第一宇宙速度”是火星的倍
C.金星绕太阳运动的加速度比火星小
D.金星绕太阳运动的周期比火星大
解析 根据mg＝可得，g＝，＝，选项A错误；根据＝m可得，v＝，则＝，选项B正确；根据G＝Ma得，a＝，行星距离太阳越远，行星的加速度越小，选项C错误；根据＝mr·
可得，T＝，行星距离太阳越远，行星的运动周期越长，所以选项D错误。
答案 B
5.(2018·绍兴期中)我国“北斗二代”计划在2020年前发射35颗卫星，形成全球性的定位导航系统，比美国GPS多5颗。多出的这5颗是相对地面静止的高轨道卫星(以下简称“静卫”)，其它的有27颗中轨道卫星(以下简称“中卫”)轨道高度为静止轨道高度的。下列说法正确的是( )
A.“中卫”的线速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
B.“静卫”的轨道必须是在赤道上空
C.如果质量相同，“静卫”与“中卫”的动能之比为3∶5
D.“静卫”的运行周期小于“中卫”的运行周期
解析 7.9 km/s是地球卫星的最大速度，所以“中卫”的线速度小于7.9 km/s，故A错误；同步轨道卫星轨道只能在赤道上空，则“静卫”的轨道必须是在赤道上空，故B正确；根据万有引力提供向心力得G＝m，解得mv2＝，如果质量相同，动能之比等于半径的倒数比，“中卫”轨道高度为静止轨道高度的，地球半径相同，所以“中卫”轨道半径不是静止轨道半径的，则“静卫”与“中卫”的动能之比不是3∶5，故C错误；根据G＝m得T＝，则半径越大周期越大，所以“静卫”的运行周期大于“中卫”的运行周期，故D错误。
答案 B
科学思维——天体运动中常考易错的辨析
1.同步卫星的运动规律
同步卫星的六个“一定”
【例1】 我国自主研发的“北斗”卫星导航系统中含有地球同步卫星，关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A.同步卫星处于平衡状态
B.同步卫星的速度是不变的
C.同步卫星的高度是一定的
D.同步卫星的线速度应大于第二宇宙速度
解析 同步卫星做匀速圆周运动，其加速度不为零，故不可能处于平衡状态，选项A错误；同步卫星做匀速圆周运动，速度方向必然改变，故选项B错误；同步卫星定轨道、定周期，所以同步卫星离地面的高度是一个定值，选项C正确；星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第一宇宙速度又叫最大环绕速度，同步卫星离地面有一定距离，其速度一定小于第一和第二宇宙速度，选项D错误。
答案 C
2.同步卫星与其它卫星运动物理量的比较
【例2】 “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是( )
A.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
B.同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得速度的
C.同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的
D.同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
解析 同步卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝man＝m＝mω2r＝mr，得同步卫星的运行速度v＝，又第一宇宙速度v1＝，所以＝＝，故选项A错误，C正确；an＝，g＝，所以＝＝，故选项D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故选项B错误。
答案 C
3.近地卫星、同步卫星及赤道上的物体运行问题
如图8所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
图8
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2＞r3＝r1
角速度
由＝mω2r得
ω＝，故ω1＞ω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故
ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度
由＝得v＝，故v1＞v2
由v＝rω得
v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加
速度
由＝ma得a＝，故a1＞a2
由a＝ω2r得
a2＞a3
a1＞a2＞a3
【例3】 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )
图9
A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1
C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3
解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝ma，由题目中数据可以得出r1
答案 D
4.变轨前后各物理量的比较
(1)航天器变轨问题的三点注意事项
①航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。
②航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
③航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
(2)卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
【例4】 2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户单位使用。如图10为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是( )
图10
A.“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大
B.“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率
C.“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度
D.“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力
解析 “墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据G＝m可得v＝，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确。
答案 D
活页作业
(时间：30分钟)
A组 基础过关
1.(2018·北京理综)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60
解析 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G＝ma，即加速度a与距离r的平方成反比，由题中数据知，选项B正确，其余选项错误。
答案 B
2.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3
解析 毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。
答案 C
3.如图1所示，“天宫二号”在距离地面393 km的近圆轨道运行。已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024 kg，地球半径R＝6.4×103 km。由以上数据可估算( )
图1
A.“天宫二号”质量 B.“天宫二号”运行速度
C.“天宫二号”受到的向心力 D.地球对“天宫二号”的引力
解析 根据万有引力提供向心力，即＝m，可知v＝，所以选项B正确；天宫二号的质量上面等式两边消去，即无法得知“天宫二号”的质量，即选项A错误；同时其受到的向心力、引力都因为不知其质量而无法求解，所以A、C、D错误。
答案 B
4.“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期大于地球自转周期
D.向心加速度大于地面的重力加速度
解析 根据万有引力提供向心力得G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A、C错误；由第一宇宙速度v＝可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D错误。
答案 B
5.北斗导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统。北斗导航系统空间段由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成，关于这5颗静止轨道上的同步卫星，下列说法正确的是( )
A.周期都相等，均为24 h
B.动能都相等，势能也都相同
C.线速度都相等，周期可能不同
D.角速度都相同，轨道半径可能不同
解析 地球同步卫星相对地球静止，其运行周期与地球自转的周期相等，都是24 h，故A正确；由于地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，所以角速度都相同，轨道半径也都相同。由万有引力等于向心力，则有G＝mr＝m，解得卫星的线速度v＝；则知卫星的线速度大小相等，但由于卫星的质量不一定相等，所以动能不一定都相同，势能也不一定都相同，B、C、D错误。
答案 A
6.(2018·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)如图2所示，有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b在近地轨道做匀速圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示。关于这四颗卫星，下列说法正确的是( )
图2
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.c在4 h内转过的圆心角是
C.在相同时间内，这四个卫星中b转过的弧长最长
D.d做圆周运动的周期有可能是20小时
答案 C
7.已知某天体的第一宇宙速度为8 km/s，设该星球半径为R，则在距离该星球表面高度为3R的轨道上做匀速圆周运动的宇宙飞船的运行速度为( )
A.2 km/s B.4 km/s
C.4 km/s D.8 km/s
解析 由第一宇宙速度的定义可知＝①
v0为第一宇宙速度，当宇宙飞船处于3R高度处时，万有引力提供向心力有＝②
由①②可求得v＝4 km/s。故选项B正确。
答案 B
8.我国发射的卫星成功进入了“拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图3所示。该“拉格朗日点”位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则该飞行器的( )
图3
A.向心力仅由太阳的引力提供
B.周期小于地球公转的周期
C.线速度大于地球公转的线速度
D.向心加速度小于地球公转的向心加速度
解析 探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供，故A错误；飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，周期相同，故B错误；角速度相等，根据v＝rω，知探测器的线速度大于地球的线速度，故C正确；根据a＝rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度，故D错误。
答案 C
9.(2018·浙江新高考研究联盟二联)“天宫二号”在2016年秋季发射成功，其绕地球运行的轨道可近似看成是圆轨道。设每经过时间t，“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度。已知引力常量为G，则地球的质量是( )
A. B. C. D.
解析 根据几何关系即可求出轨道半径，由线速度的定义式即可求出线速度，然后由万有引力提供向心力即可求出地球的质量。“天宫二号”通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：r＝，t时间内“天宫二号”通过的弧长是l，所以线速度v＝，“天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则G＝m，所以M＝＝，A正确。
答案 A
10.(2018·浙江教育绿色评价联盟高考适应性)2016年10月19日凌晨，“神舟十一号”飞船与“天宫二号”自动交会对接成功。此次交会对接与过去不同，过去“神舟十号”与“天宫一号”对接时，轨道高度是343公里，而“神舟十一号”和“天宫二号”对接时的轨道高度是393公里，比过去高了50公里。若天宫空间站与飞船组合体在对接高度绕地运行，则“天宫一号”与“天宫二号”相比，下列说法正确的是( )
图4
A.“天宫一号”受到地球的引力较大
B.“天宫一号”发射的速度较大
C.“天宫二号”运行的速度较大
D.“天宫二号”运动行的周期较长
解析 根据万有引力提供向心力：G＝m＝mr，解得v＝，T＝2π，由题知“天宫一号”的轨道半径小于“天宫二号”的轨道半径，故“天宫一号”的发射速度小于“天宫二号”的发射速度，“天宫一号”在轨道运行的速度大于“天宫二号”在轨道运行的速度，“天宫一号”运行的周期小于“天宫二号”的周期，由于不知道“天宫一号”与“天宫二号”质量大小关系，无法比较万有引力大小，A、B、C错误，D正确。
答案 D
B组 能力提升
11.(2018·舟山模拟)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远院士透露：中国计划于2020年登陆火星。地球和火星公转可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表信息可知( )
行星
半径/m
质量/kg
公转轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B.火星公转时的向心加速度较小
C.火星公转时的线速度较大
D.火星公转时的角速度较大
解析 由表中信息知r火＞r地，根据牛顿第二定律G＝m＝ma＝m＝mrω2得T＝，a＝，v＝，ω＝，轨道半径大，周期大，向心加速度小，线速度小，角速度小，故B正确，A、C、D错误。
答案 B
12.利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A.1 h B.4 h C.8 h D.16 h
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示。卫星的轨道半径为r＝＝2R，由＝得＝。解得T2≈4 h。选项B正确。
答案 B
13.如图5所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径ra
图5
A.三个卫星的加速度为aa
D.三个卫星的运行周期为Ta
答案 D
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