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2020版高考数学（文）新增分大一轮人教通用版讲义：第一章 集合与常用逻辑用语1.3
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§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( × )
题组二 教材改编
2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．
答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0
答案 A
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
2．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
3．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上)
答案 ②③
解析 因为对任意实数x，|sin x|≤1，而>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．故②③正确．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m2
解析 对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
(2)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x∈R，ex－x－1≥0
B．∃x∈R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0
答案 C
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，
所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
题型三 命题中参数的取值范围
例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p为真知，0
要使x＋>恒成立，需<2，即c>，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p：∀x∈R，3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，
∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，
∴(綈p)∧q是真命题．
二、充要条件的判断
例2 (1)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵存在负数λ，使得m＝λn，∴非零向量m与n方向相反，∴m·n<0.
∵m·n<0，即|m||n|cos〈m，n〉<0，
∴cos〈m，n〉<0，∴m与n的夹角为钝角或平角，不一定有m与n反向，故选A.
(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0
例3 (1)(2018·周口模拟)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2
当p真q假时，m≤－2；
当p假q真时，－1
所以m≤－2或m>－1.
1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
答案 D
解析 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D.
2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
3．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0
C．“p∨q”为假命题 D．“p∧q”为真命题
答案 C
解析 因为x2＋1<2x，
即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，
所以命题p为假；
若mx2－mx＋1>0恒成立，
则m＝0或
则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
4．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2
C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2
D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2
答案 D
解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2”．故选D.
5．若∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(2，3] C. D．{3}
答案 A
解析 因为∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以綈p：∃x∈R，ax2＋a x＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
7．下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
答案 D
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确；
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p：∃x∈R，cos x＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(綈q)是真命题
C．命题(綈p)∧q是真命题 D．命题(綈p)∨(綈q)是假命题
答案 C
解析 因为对任意x∈R，都有cos x≤1成立，而>1，所以命题p：∃x∈R，cos x＝是假命题；因为对任意的x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，
所以命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0是真命题．
由此对照各个选项，可知命题(綈p)∧q是真命题．
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
答案 (－1,3)
解析 原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．(2018·鞍山模拟)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
其中正确结论的序号为____________．
答案 ①②③④
解析 ∵命题p，q均为真命题，
∴“p且q”是真命题，“p且綈q”是假命题，“綈p或q”是真命题，“綈p或綈q”是假命题，故①②③④都正确．
14．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
设f(x)＝，x≠0，则
f′(x)＝＝，
当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
15．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∀x2∈[2,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______________．
答案 (－∞，－3]
解析 由题意知f(x)min≥g(x)max(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以5≥8＋a，即a≤－3.
16．已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，当x＝时，max＝，∴min＝，
∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
最新考纲
考情考向分析
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2.理解全称量词和存在量词的意义．
3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，綈p(x)
存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，綈p(x)
概念方法微思考
含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？
提示 p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ )
(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × )
(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( × )
题组二 教材改编
2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．
3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．
答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.
5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0
答案 A
6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，
∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )
A．p或q B．p且q C．q D．綈p
答案 B
解析 取x＝，y＝，可知命题p是假命题；
由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
2．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.
3．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上)
答案 ②③
解析 因为对任意实数x，|sin x|≤1，而>1，所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，所以q为真．故②③正确．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p，q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、存在性命题的真假
例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m2
解析 对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
(2)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
答案 B
解析 当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.
命题点2 含一个量词的命题的否定
例2 (1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为( )
A．∃x∈R，ex－x－1≥0
B．∃x∈R，ex－x－1>0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.
思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R，2x>0
答案 C
解析 因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.
(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，
所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
题型三 命题中参数的取值范围
例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．
答案 [e,4]
解析 若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
引申探究
本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥.
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 由命题p为真知，0
要使x＋>恒成立，需<2，即c>，
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0
综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)．
常用逻辑用语
有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．
一、命题的真假判断
例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)
①∀x∈R，－x2＋x－1<0；
②∀x∈R，|x|>x；
③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；
④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.
答案 ①
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．
(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p：∀x∈R，3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，
∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，
∴(綈p)∧q是真命题．
二、充要条件的判断
例2 (1)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵存在负数λ，使得m＝λn，∴非零向量m与n方向相反，∴m·n<0.
∵m·n<0，即|m||n|cos〈m，n〉<0，
∴cos〈m，n〉<0，∴m与n的夹角为钝角或平角，不一定有m与n反向，故选A.
(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝2.当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0
例3 (1)(2018·周口模拟)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
解析 由命题p：∃x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，可得m≤－1，
由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2
当p真q假时，m≤－2；
当p假q真时，－1
所以m≤－2或m>－1.
1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则( )
A．p∨q为真 B．p∧q为真
C．p真q假 D．p∨q为假
答案 D
解析 由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D.
2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
3．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0
C．“p∨q”为假命题 D．“p∧q”为真命题
答案 C
解析 因为x2＋1<2x，
即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，
所以命题p为假；
若mx2－mx＋1>0恒成立，
则m＝0或
则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
4．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2
C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2
D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2
答案 D
解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2”．故选D.
5．若∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(2，3] C. D．{3}
答案 A
解析 因为∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
答案 D
解析 因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以綈p：∃x∈R，ax2＋a x＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
7．下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，ex≤0
B．∀x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
答案 D
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确；
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p：∃x∈R，cos x＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(綈q)是真命题
C．命题(綈p)∧q是真命题 D．命题(綈p)∨(綈q)是假命题
答案 C
解析 因为对任意x∈R，都有cos x≤1成立，而>1，所以命题p：∃x∈R，cos x＝是假命题；因为对任意的x∈R，x2－x＋1＝2＋>0，
所以命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0是真命题．
由此对照各个选项，可知命题(綈p)∧q是真命题．
9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4
答案 (－1,3)
解析 原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2
答案 q1，q4
解析 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题．
13．(2018·鞍山模拟)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题．
其中正确结论的序号为____________．
答案 ①②③④
解析 ∵命题p，q均为真命题，
∴“p且q”是真命题，“p且綈q”是假命题，“綈p或q”是真命题，“綈p或綈q”是假命题，故①②③④都正确．
14．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0，可得m＝，x≠0，
设f(x)＝，x≠0，则
f′(x)＝＝，
当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0
所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
15．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∀x2∈[2,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______________．
答案 (－∞，－3]
解析 由题意知f(x)min≥g(x)max(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以5≥8＋a，即a≤－3.
16．已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，当x＝时，max＝，∴min＝，
∴由p真得m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，又t>0，所以由q真得m<1.
又“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p，q一真一假，
则或解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
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