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2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第八章 立体几何与空间向量8.2
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§8.2 空间几何体的表面积与体积
最新考纲
考情考向分析
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
主要考查涉及空间几何体的表面积与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
1.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝
π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋
S上＋S下
V＝(S上＋S下＋
)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
概念方法微思考
1.如何求旋转体的表面积？
提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.
2.如何求不规则几何体的体积？
提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ )
(3)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.( √ )
(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
题组二 教材改编
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
答案 1∶47
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题组三 易错自纠
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案 π
解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.
题型一 求空间几何体的表面积
1.(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π C.8π D.10π
答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.
2.(2019·抚顺模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )
A.4＋2＋2 B.4＋4
C.2＋4＋2 D.8＋4
答案 A
解析 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，
则其表面积为四个面面积之和S＝2×＋×2×2＋×(2)2＝4＋2＋2.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例1 (2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
答案 B
解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知，V圆柱
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A.3 B.
C.1 D.
答案 C
解析 如题图，
因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高.
所以＝·AD
＝××＝1.
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)直接利用公式进行求解.
(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图.
跟踪训练1 (1)(2018·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A.5 000 立方尺 B.5 500 立方尺
C.6 000 立方尺 D.6 500 立方尺
答案 A
解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝5 000(立方尺).
(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________.
答案
解析
题型三 与球有关的切、接问题
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
引申探究
1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V内切球＝πr3＝π×23＝.
2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 “切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.
(2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
跟踪训练2 (1)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
答案 B
解析 由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.
(2)(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( )
A.34π B.25π C.41π D.50π
答案 A
解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝＝，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A.16＋8 B.16＋4
C.48＋8 D.48＋4
答案 C
解析 根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，
结合图中数据，计算它的表面积是
S＝2××2×4＋3×4×4＝48＋8.
2.(2018·鞍山质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π＋8 B.2π＋8
C.2π＋4＋4 D.3π＋4＋4
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为 ×4π×12＋π×12＋(2＋2)×2＝3π＋4＋4，故选D.
3.(2018·锦州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.18 B.24 C.32 D.36
答案 B
解析 由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，
三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
4.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 V＝πr2h＝π×2h＝l2h，由≈，得π≈，故选C.
5.(2018·营口模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V1＝×2×2×2＝；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V2＝×2×2×2＝4，所以该几何体的体积为V＝V1＋V2＝＋4＝，故选B.
6.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________.
答案
解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3＝πR2r.故＝.
7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
答案 12
解析 设六棱锥的高为h，则V＝Sh，
所以××4×6h＝2，解得h＝1.
设六棱锥的斜高为h′，
则h2＋()2＝h′2，故h′＝2.
所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案
解析 由三视图可知，该几何体是一个组合体，
它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为××π×12×2＝；
球半径为1，体积为×π×13＝，所以，该几何体的体积为＋＝.
9.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________.
答案 ＋
解析 如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V＝××(2＋1)××1＋×π×13＝＋.
10.(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.
答案 14π
解析 ∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.
设球的半径为R，则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.
11.(2019·呼伦贝尔模拟)已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案 ＋
解析 由三视图可得该几何体由左、右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥.
∴该几何体的体积V＝××π×12×1＋××1×2×1＝＋.
12.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积.
解 方法一 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥.
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝×S梯形MNEF×DN
＝××(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.
13.某几何体的三视图如图所示，依次为主视图、左视图和俯视图，则这个几何体的体积为( )
A.6π＋ B.8π＋ C.6π＋ D.8π＋
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体，
该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成，
其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为2，所以可得该几何体的体积为 V＝××23＋××4×2×2＝8π＋，故选B.
14.(2019·湛江模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________.
答案 4π
解析 如图所示，在长、宽、高分别为2，，2的长方体中，
点E，F分别为对应棱的中点，
则三视图对应的几何体为三棱锥E－ABF，
将三棱锥补形为三棱柱ABF－A1B1E，
则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，
取AB，A1B1的中点G，H，
易知外接球的球心为GH的中点，
据此可得外接球半径R＝＝，
外接球的体积V＝πR3＝4π.
15.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的体积是( )
A. B.112π C.π D.π
答案 D
解析 该几何体是如图所示的三棱锥P－ABC，三棱锥的高PD＝6，
且侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝PC＝＝，AC＝8，BC＝6，AB＝＝10，
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E，
设该几何体的外接球的球心为O，OE⊥底面ABC，
设OE＝x，外接球的半径为R，
则x2＋2＝32＋(6－x)2，解得x＝.
∴R2＝2＋52＝，
∴外接球的体积V＝×R3＝π.
16.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝2.
(1)求证：DE⊥平面ACD；
(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.
(1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，
DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)解 ∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，
∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中，AB＝4，EB＝2.
在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝(0
∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝x·(0
最新考纲
考情考向分析
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
主要考查涉及空间几何体的表面积与体积.常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档.
1.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝
π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋
S上＋S下
V＝(S上＋S下＋
)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
概念方法微思考
1.如何求旋转体的表面积？
提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和.
2.如何求不规则几何体的体积？
提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( √ )
(3)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )
(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.( √ )
(5)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × )
题组二 教材改编
2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
答案 B
解析 S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，
∴r2＝4，∴r＝2.
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
答案 1∶47
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题组三 易错自纠
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π B.π C.8π D.4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案 π
解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.
题型一 求空间几何体的表面积
1.(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π C.8π D.10π
答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B.
2.(2019·抚顺模拟)下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为( )
A.4＋2＋2 B.4＋4
C.2＋4＋2 D.8＋4
答案 A
解析 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥B1－ACD，
则其表面积为四个面面积之和S＝2×＋×2×2＋×(2)2＝4＋2＋2.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例1 (2017·全国Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
答案 B
解析 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
方法二 (估值法)由题意知，V圆柱
例2 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A.3 B.
C.1 D.
答案 C
解析 如题图，
因为△ABC是正三角形，
且D为BC中点，则AD⊥BC.
又因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
故BB1⊥AD，且BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD是三棱锥A－B1DC1的高.
所以＝·AD
＝××＝1.
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)直接利用公式进行求解.
(2)用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图.
跟踪训练1 (1)(2018·兰州模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )
A.5 000 立方尺 B.5 500 立方尺
C.6 000 立方尺 D.6 500 立方尺
答案 A
解析 (分割法)该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和.又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝5 000(立方尺).
(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是________.
答案
解析
题型三 与球有关的切、接问题
例3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A. B.2 C. D.3
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
引申探究
1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，
从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，
V内切球＝πr3＝π×23＝.
2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×·a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.
3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 “切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.
(2)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
跟踪训练2 (1)(2018·全国Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
答案 B
解析 由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.
(2)(2019·长春东北师大附中模拟)一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为( )
A.34π B.25π C.41π D.50π
答案 A
解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是4,3,3的长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的体对角线就是其外接球的直径，所以有R＝＝，从而求得其表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A.16＋8 B.16＋4
C.48＋8 D.48＋4
答案 C
解析 根据三视图知，该几何体是底面为等边三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，
结合图中数据，计算它的表面积是
S＝2××2×4＋3×4×4＝48＋8.
2.(2018·鞍山质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.3π＋8 B.2π＋8
C.2π＋4＋4 D.3π＋4＋4
答案 D
解析 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个半球，球的半径为1，右边是一个三棱柱，三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，组合体表面积由球表面积的一半，圆面积、棱柱的侧面积组成，其值为 ×4π×12＋π×12＋(2＋2)×2＝3π＋4＋4，故选D.
3.(2018·锦州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.18 B.24 C.32 D.36
答案 B
解析 由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，
三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24.
4.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 V＝πr2h＝π×2h＝l2h，由≈，得π≈，故选C.
5.(2018·营口模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为2的正方形为底面，高为2的四棱锥，其体积为V1＝×2×2×2＝；右侧为一个直三棱柱，其底面如俯视图所示，高为2，其体积为V2＝×2×2×2＝4，所以该几何体的体积为V＝V1＋V2＝＋4＝，故选B.
6.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝________.
答案
解析 由水面高度升高r，得圆柱体积增加了πR2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3＝πR2r.故＝.
7.一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.
答案 12
解析 设六棱锥的高为h，则V＝Sh，
所以××4×6h＝2，解得h＝1.
设六棱锥的斜高为h′，
则h2＋()2＝h′2，故h′＝2.
所以该六棱锥的侧面积为×2×2×6＝12.
8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案
解析 由三视图可知，该几何体是一个组合体，
它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为××π×12×2＝；
球半径为1，体积为×π×13＝，所以，该几何体的体积为＋＝.
9.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________.
答案 ＋
解析 如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为，所以该组合体的体积V＝××(2＋1)××1＋×π×13＝＋.
10.(2017·全国Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________.
答案 14π
解析 ∵长方体的顶点都在球O的球面上，
∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径.
设球的半径为R，则2R＝＝.
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝14π.
11.(2019·呼伦贝尔模拟)已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
答案 ＋
解析 由三视图可得该几何体由左、右两部分组成，左边为圆锥，右边为三棱锥.
∴该几何体的体积V＝××π×12×1＋××1×2×1＝＋.
12.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积.
解 方法一 如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥.
由题知三棱柱ABC－NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.
四棱锥D－MNEF的体积为
V2＝×S梯形MNEF×DN
＝××(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
方法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96.
13.某几何体的三视图如图所示，依次为主视图、左视图和俯视图，则这个几何体的体积为( )
A.6π＋ B.8π＋ C.6π＋ D.8π＋
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是如图所示的组合体，
该组合体由一个三棱锥与四分之三球体组成，
其中棱锥的底面是等腰直角三角形，一侧面与底面垂直，球半径为2，所以可得该几何体的体积为 V＝××23＋××4×2×2＝8π＋，故选B.
14.(2019·湛江模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________.
答案 4π
解析 如图所示，在长、宽、高分别为2，，2的长方体中，
点E，F分别为对应棱的中点，
则三视图对应的几何体为三棱锥E－ABF，
将三棱锥补形为三棱柱ABF－A1B1E，
则三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，
取AB，A1B1的中点G，H，
易知外接球的球心为GH的中点，
据此可得外接球半径R＝＝，
外接球的体积V＝πR3＝4π.
15.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的体积是( )
A. B.112π C.π D.π
答案 D
解析 该几何体是如图所示的三棱锥P－ABC，三棱锥的高PD＝6，
且侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝PC＝＝，AC＝8，BC＝6，AB＝＝10，
∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点E，
设该几何体的外接球的球心为O，OE⊥底面ABC，
设OE＝x，外接球的半径为R，
则x2＋2＝32＋(6－x)2，解得x＝.
∴R2＝2＋52＝，
∴外接球的体积V＝×R3＝π.
16.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝2.
(1)求证：DE⊥平面ACD；
(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.
(1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，
DC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)解 ∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，
∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中，AB＝4，EB＝2.
在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝(0
∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝x·(0
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