2020版高考数学（理）新增分大一轮人教通用版讲义：第四章　三角函数、解三角形4.5第2课时

第2课时　简单的三角恒等变换
题型一　三角函数式的化简
1．化简：＝________.
答案　2cos α
解析　原式＝＝2cos α.
2．化简：＝________.
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝
＝＝＝cos 2x.
3．化简：－2cos(α＋β)．
解　原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．

题型二　三角函数的求值

命题点1　给角求值与给值求值
例1 (1)(2018·阜新质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
答案　
解析　原式＝·sin 80°
＝·cos 10°
＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
(2)(2018·赤峰模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案　
解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.




命题点2　给值求角
例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A. B. C. D.或
答案　C
解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，
∴α＋β＝.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
答案　－
解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.


引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.
答案　
解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．
跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
答案　
解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴
＝＝＝.
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
答案　
解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.
所以β＝.
题型三　三角恒等变换的应用
例3 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得
f＝2－2－2××＝2.
(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，
得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质，得
＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练2 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．
解　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
∴g(x)＝cos－2cos2x
＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1，
∴－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．

化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．
例 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，
即x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．


1．(2018·乌海质检)若sin＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.
2．4cos 50°－tan 40°等于(　　)
A. B. C. D．2－1
答案　C
解析　原式＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝＝.
3．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)
A．－2 B．－1 C．－ D.
答案　A
解析　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
4．设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
答案　B
解析　因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以
sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin，又α，β均为锐角，且y＝sin x在上单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.
5．函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　)
A．5 B. C. D．2
答案　B
解析　由题意知f(x)＝sin x＋4×
＝sin x＋2cos x＋2＝sin(x＋φ)＋2，
其中cos φ＝，sin φ＝，
∵x∈R，∴f(x)max＝＋2＝，故选B.
6．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　f(x)＝5cos x＋12sin x
＝13＝13sin(x＋α)，
其中sin α＝，cos α＝，
由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，
得θ ＝2kπ－－α(k∈Z )，
所以cos θ＝cos＝cos
＝－sin α＝－.
7．若cos＝，则sin 2α＝________.
答案　－
解析　由cos＝，可得cos α＋sin α＝，
两边平方得(1＋2sin αcos α)＝，
∴sin 2α＝－.
8．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
答案　
解析　∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)
＝cos 2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，
∴sin 2α＝＝，
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×－×＝.
9．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
答案　
解析　由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
又0<β<，故β＝.
10．函数f(x)＝sin x－2sin2x的最小值是________．
答案　－1
解析　f(x)＝sin x－
＝2sin－1，
又≤x≤，∴≤x＋≤，
∴f(x)min＝2sin －1＝－1.
11．(2018·抚顺模拟)已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，则α＋β＝________.
答案　
解析　由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵α∈，β∈，
∴<α＋β<，∴α＋β＝.
12．(2018·浙江)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解　(1)由角α的终边过点P，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.

13．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
答案　－
解析　∵α∈，∴－α∈，
又cos＝，
∴sin＝－，
∵sin＝－，
∴sin＝，
又∵β∈，＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×－×＝－.
14．在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为________．
答案　
解析　f(A)＝2cos sin ＋sin2－cos2
＝sin A－cos A＝sin，
因为0 所以－ 所以当A－＝，
即A＝时，f(A)有最大值.

15．已知cos＝，<α<，则的值为________．
答案　－
解析　＝
＝
＝sin 2α·＝sin 2α·tan.
由<α<，得<α＋<2π，
又cos＝，
所以sin＝－，
tan＝－.
cos α＝cos＝－，sin α＝－，
sin 2α＝.
所以＝×＝－.
16．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解　(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，
得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.
(2)∵2sin＝，
∴sin＝.
又x0∈，
∴2x0－∈，
∴cos＝.
∴cos 2x0＝cos
＝coscos －sinsin
＝×－×＝.