2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第六章第三节等比数列及其前n项和

第三节等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.❶

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么.即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1q.

(2)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(3)前n项和公式：Sn＝,

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.

(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0,0,0，…

(1)任意两个数都有等差中项，但不一定有等比中项．

(2)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．

(3)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个.

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列．

＝(q≠1)．

[熟记常用结论]

1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.

2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

5．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、选填题

1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(　　)

A．5　　　　　　　　　　 B．±5

C．4  D．±4

解析：选C　∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.

又∵a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.

2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)

A．32  B．64

C．128  D．256

解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，①

又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，②

联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，

∵an＞0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)

A．31  B．32

C．63  D．64

解析：选C　由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.

4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.

解析：由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，

设数列{an}的公比为q，则q2＝9，

所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.

答案：

5．设{an}是公比为正数的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，

由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得q4＝16，解得q＝2，

所以S7＝＝＝127.

答案：127

考点一等比数列基本量的运算[基础自学过关]

 [题组练透]

1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．1

C.  D.

解析：选C　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，

又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2.

设等比数列{an}的公比为q，

则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，

所以a2＝a1q＝.

2．(2019·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)

A．1  B．－

C．1或－  D．－1或

解析：选C　当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；

当q≠1时，由得q＝－.

综上，q的值是1或－，故选C.

3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)

A．1盏  B．3盏

C．5盏  D．9盏

解析：选B　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝＝381，解得a1＝3.

4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.

解析：设等比数列{an}的公比为q，

∵∴

由①除以②可得＝2，

解得q＝，代入①得a1＝2，

∴an＝2×n－1＝，

Sn＝＝4，

∴＝＝2n－1.

答案：2n－1

[名师微点]

等比数列基本量运算的解题策略

(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

考点二等比数列的判定与证明[师生共研过关]

 [典例精析]

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．

[证明]　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，

所以＝＝＝＝2.

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.

所以b1＝a2－2a1＝3.

所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

[解题技法]

等比数列的判定方法

[提醒]　(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

[过关训练]

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．a1，a3，a9成等比数列　　 B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列  D．a3，a6，a9成等比数列

解析：选D　设等比数列{an}的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a＝a3·a9.

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3的值；

(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．

解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3；

当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9；

当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.

(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.

下面证明{an＋3}为等比数列：

∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，

∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2，

∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．

∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．

考点三等比数列的性质及应用[师生共研过关]

 [典例精析]

(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)

A．12　　　　　　　　　 B．10

C．8  D．2＋log35

(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A.  B．－

C.  D.

(3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

[解析]　(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，

所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)

＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.

(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，

所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，

所以a7＋a8＋a9＝.

(3)由题意，得

解得所以q＝＝＝2.

[答案]　(1)B　(2)A　(3)2

[解题技法]

应用等比数列性质解题时的2个注意点

(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

[过关训练]

1．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(　　)

A．135  B．100

C．95  D．80

解析：选A　由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×3＝135.

2．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则＝________.

解析：因为数列1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因为数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q为等比数列的公比)，所以b2＝3，则＝.

答案：