2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况．(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.[熟记常用结论]1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－＝－1.2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√二、选填题1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝(　　)A．－　　　　　　　　 B.C．－  D.解析：选D　原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)A．－  B.C．－  D.解析：选C　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3．已知tan α＝2，所以tan＝(　　)A.  B.C.  D．－3解析：选B　∵tan α＝2，∴tan＝＝.4．已知cos x＝，则cos 2x＝________.解析：∵cos x＝，∴cos 2x＝2cos2x－1＝.答案：5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.答案：考点一公式的直接应用[基础自学过关] [题组练透]1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A．－　　　　　　　　　 B.C.  D．－解析：选A　因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，则tan(α－β)＝＝－.2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)A．－  B.C．－  D.解析：选A　因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.3．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈，∴cos α＝－，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.答案：4．已知cos＝，x∈.(1)求sin x的值；(2)求cos的值．解：(1)因为x∈，所以x－∈，sin＝ ＝.sin x＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝.(2)因为x∈，故cos x＝－＝－ ＝－，sin 2x＝2sin xcos x＝－，cos 2x＝2cos2x－1＝－.所以cos＝cos 2xcos－sin 2xsin＝－×＋×＝.[名师微点]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点二三角函数公式的逆用与变形用[师生共研过关][典例精析](1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝________.(2)＝________.(3)化简＝________.[解析]　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.(2)＝＝＝＝.(3)＝＝＝－1.[答案]　(1)　(2)　(3)－1[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．(3)倍角公式变形：降幂公式．[提醒]　tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．[过关训练]1．(2019·西安模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)A.　　　　　　　　　 B．－C.  D.解析：选A　cos2＝＝，∵sin 2α＝，∴cos2＝＝.2．(2018·益阳模拟)已知cos＋sin α＝，则sin＝________.解析：由cos＋sin α＝，可得cos α＋sin α＋sin α＝，即sin α＋cos α＝，∴sin＝，即sin＝，∴sin＝－sin＝－.答案：－考点三公式的灵活应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)　角的变换[例1]　(1)(2019·开封模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)A.  B.C.  D.(2)(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为(　　)A.  B.C．－  D.[解析]　(1)cos x＋cos＝cos＋cos＝2coscos＝.(2)∵α为锐角，∴0＜α＜，＜α＋＜，设β＝α＋，由cos＝－，得sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝－，cos 2β＝2cos2β－1＝－，∴sin＝sin＝sin＝sin 2βcos－cos 2βsin＝×－×＝.[答案]　(1)D　(2)B考法(二)　三角函数式的变化[例2]　(1)化简：(0＜θ＜π)．(2)求值：－sin 10°.[解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos＞0，∴＝ ＝2cos.又(1＋sin θ＋cos θ)＝＝2cos＝－2coscos θ，故原式＝＝－cos θ.(2)原式＝－sin 10°＝－sin 10°·＝－sin 10°·＝－2cos 10°＝＝＝＝＝.[规律探求]看个性考法(一)是考查角的变换，解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．考法(二)是三角函数式的变化，解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦找共性转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化[过关训练]1．已知tan θ＋＝4，则cos2＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选C　由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.2．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sin A的值为(　　)A.  B.C.或  D.解析：选B　∵A∈，∴A＋∈，∴cos＝－ ＝－，∴sin A＝sin＝sincos－cossin＝.