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初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试精品单元测试习题
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这是一份初中数学人教版七年级上册第三章 一元一次方程综合与测试精品单元测试习题,共14页。试卷主要包含了下列方程中,设x、y都是有理数,且满足方程,某市出租车收费标准是等内容,欢迎下载使用。
一.选择题(共10小题)
1.下列方程中:①2x+4=6,②x﹣1=,③3x2﹣2x,④5x<7,⑤3x﹣2y=2,⑥x=3,其中是一元一次方程的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
2.设x、y都是有理数,且满足方程(+)x+(+)y﹣4﹣π=0,则x﹣y的值为( )
A.18B.19C.20D.21
3.某品牌服装店一次同时售出两件上衣,每件售价都是135元,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则这家商店在这次销售过程中( )
A.盈利为0B.盈利为9元C.亏损为8元D.亏损为18元
4.将方程=1+中分母化为整数,正确的是( )
A.=10+B.=10+
C.=1+D.=1+
5.下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是( )
A.若a=b,则
B.若a=b,则ac=bc
C.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b
D.若x=y,则x﹣3=y﹣3
6.某市出租车收费标准是:起步价8元(即行驶距离不超过3km,付8元车费),超过3km,每增加1km收1.6元(不足1km按1km计),小梅从家到图书馆的路程为xkm,出租车车费为24元,那么x的值可能是( )
A.10B.13C.16D.18
7.已知关于x的方程a﹣x=+3a的解是x=4,则代数式3a+1的值为( )
A.﹣5B.5C.8D.﹣8
8.定义一种新运算“a☆b”的含义为:当a≥b时,a☆b=a+b;当a<b时,a☆b=a﹣b.例如:3☆(﹣4)=3+(﹣4)=﹣1,(﹣6)☆=(﹣6)﹣=﹣6,则方程(3x﹣7)☆(3﹣2x)=2的值为( )
A.1B.C.6或D.6
9.解方程2x=3x时,两边都除以x,得2=3,其错误原因是( )
A.方程本身是错的B.方程无解
C.两边都除以了0D.2x小于3x
10.如图所示,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的4倍,则它们第2020次相遇在边( )上
A.ABB.BCC.CDD.DA
二.填空题(共5小题)
11.方程﹣=﹣的解是 .
12.解方程=2﹣,有下列步骤:①3(3x+1)=12﹣(2x﹣1),②9x+3=12﹣2x+1,③9x﹣2x=12+1+3,④7x=16,⑤x=,其中首先发生错误的一步是 .
13.已知x=3是方程3x﹣2a=5的解,则a= .
14.清代文言小说集《笑笑录》记载,清代诗人徐子云曾写过一首诗:巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,看看用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹.请问先生明算者,算来寺内几多僧?
设寺内有x名僧人,则列出一元一次方程为 .
15.一列方程如下排列:
=1的解是x=2;
=1的解是x=3;
=1的解是x=4;
…
根据观察得到的规律,写出其中解是x=2020的方程: .
三.解答题(共5小题)
16.解不等式:当x为何值时,代数式比大1.
17.已知x=﹣3是关于x的方程(k+3)x+2=3x﹣2k的解.
(1)求k的值;
(2)在(1)的条件下,已知线段AB=6cm,点C是线段AB上一点,且BC=kAC,若点D是AC的中点,求线段CD的长.
(3)在(2)的条件下,已知点A所表示的数为﹣2,有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,当时间为多少秒时,有PD=2QD?
18.“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样的时间段里,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今善行者与不善行者相距960步,两者相向而行,问,相遇时两者各行几步?
(2)今不善行者先行100步,善行者追之,不善行者再行300步,请问谁在前面,两人相隔多少步?
19.如图,在数轴上点A表示的有理数为﹣4,点B表示的有理数为6,点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,当点P到达点B后立即返回,仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动.设运动时间为t(单位:秒).
(1)求t=2时点P表示的有理数;
(2)求点P与点B重合时t的值;
(3)①点P由点A到点B的运动过程中,求点P与点A的距离(用含t的代数式表示);
②点P由点A到点B的运动过程中,点P表示的有理数是多少(用含t的代数式表示);
(4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时,直接写出所有满足条件的t的值.
20.用“*”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a*b=ab2+2ab+a.如:1*3=1×32+2×1×3+1=16.
(1)求(﹣4)*2的值;
(2)若()*(﹣3)=a﹣1,求a的值.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.解:①2x+4=6是一元一次方程;
②x﹣1=是分式方程;
③3x2﹣2x不是方程,是代数式;
④5x<7是一元一次不等式;
⑤3x﹣2y=2是二元一次方程;
⑥x=3是一元一次方程;
一元一次方程共2个,
故选:D.
2.解:∵x和y满足(+)x+(+)y﹣4﹣π=0,
可变形为:,
∵x和y都是有理数,则可得:
,整理得:,
①﹣②得:x﹣y=18,
故选:A.
3.解:设盈利的那件上衣的成本价为x元,亏损的那件上衣的成本为y元,
依题意,得:135﹣x=25%x,135﹣y=﹣25%y,
解得:x=108,y=180,
∴(135﹣x)+(135﹣y)=(135﹣108)+(135﹣180)=﹣18(元).
故选:D.
4.解:方程整理得:=1+.
故选:C.
5.解:∵若a=b,只有c≠0时,成立,
∴选项A符合题意;
∵若a=b,则ac=bc,
∴选项B不符合题意;
∵若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b,
∴选项C不符合题意;
∵若x=y,则x﹣3=y﹣3,
∴选项D不符合题意.
故选:A.
6.解:由题意得,
8+(x﹣3)×1.6=24,
1.6x﹣4.8+8=24,
1.6x=24+4.8﹣8,
1.6x=20.8,
解得x=13,
故选:B.
7.解:把x=4代入a﹣4=2+3a,
移项合并得:﹣2a=6,
解得:a=﹣3,
则原式=﹣9+1=﹣8,
故选:D.
8.解:当3x﹣7≥3﹣2x,即x≥2时,
由题意得:(3x﹣7)+(3﹣2x)=2,
解得 x=6;
当3x﹣7<3﹣2x,即x<2时,
由题意得:(3x﹣7)﹣(3﹣2x)=2,
解得x=(舍去),
∴x的值为6.
故选:D.
9.解:错误的地方为:方程两边都除以x,没有考虑x是否为0,
正确解法为:
移项得:2x﹣3x=0,
合并得:﹣x=0,
系数化为1得:x=0.
故选:C.
10.解:设甲的速度为x,正方形的边长为a,他们需要t秒第2020次相遇,则乙的速度为4x,
依题意,得:(2020﹣1)×4a+2a=xt+4xt,
解得:t=,
∴xt=a=1615.6a,
又∵1615.6a=404×4a﹣0.4a,
∴它们第2020次相遇在边AB上.
故选:A.
二.填空题(共5小题)
11.解:﹣=﹣,
﹣x=﹣1,
x=1.
故答案为:x=1.
12.解:去分母得:3(3x+1)=12﹣(2x﹣1),
去括号得:9x+3=12﹣2x+1,
移项得:9x+2x=12+1﹣3,
合并得:11x=10,
解得:x=,
∴首先发生错误的一步是③.
故答案为:③.
13.解:∵x=3是方程3x﹣2a=5的解,
∴9﹣2a=5,
解得:a=2.
故答案为:2.
14.解:设寺内有x名僧人,
由题意得+=364,
故答案为:+=364.
15.解:∵一列方程如下排列:
=1的解是x=2;
=1的解是x=3;
=1的解是x=4;
∴一列方程如下排列:
+=1的解是x=2;
+=1的解是x=3;
+=1的解是x=4;
…
∴+=1,
∴方程为+=1,
故答案为:+=1.
三.解答题(共5小题)
16.解:根据题意得:﹣=1,
去分母得:2(2x﹣1)﹣3(5x+1)=6,
去括号得:4x﹣2﹣15x﹣3=6,
移项合并得:﹣11x=11,
解得:x=﹣1.
17.解:(1)把x=﹣3代入方程(k+3)x+2=3x﹣2k得:﹣3(k+3)+2=﹣9﹣2k,
解得:k=2;
(2)当k=2时,BC=2AC,AB=6cm,
∴AC=2cm,BC=4cm,
当C在线段AB上时,如图1,
∵D为AC的中点,
∴CD=AC=1cm.
即线段CD的长为1cm;
(3)在(2)的条件下,∵点A所表示的数为﹣2,AD=CD=1,AB=6,
∴D点表示的数为﹣1,B点表示的数为4.
设经过x秒时,有PD=2QD,则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x,4﹣4x.
分两种情况:
①当点D在PQ之间时,
∵PD=2QD,
∴﹣1﹣(﹣2﹣2x)=2[4﹣4x﹣(﹣1)],解得x=;
②当点Q在PD之间时,
∵PD=2QD,
∴﹣1﹣(﹣2﹣2x)=2[﹣1﹣(4﹣4x)],解得x=.
答:当时间为或秒时,有PD=2QD.
18.解:(1)设两者相遇时行走的时间为t,根据题意得,
100t+60t=960,
解得,t=6,
100t=600,
60t=360,
答:相遇时,善行者走了600步,不善行者走了360步;
(2)不善行者一共走了100+300=400(步),
善行者行走了(步)>400步,
∴善行者在前面,
两人相距:500﹣400=100(步),
答:善行者在前面,两人相隔100步.
19.解:(1)﹣4+2×2=0.
答:求t=2时点P表示的有理数为0.
(2)依题意,得:﹣4+2t=6,
解得:t=5.
答:当t=5时,点P与点B重合.
(3)①∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,且当t=5时点P到达点B,
∴点P由点A到点B的运动过程中,PA=2t(0≤t≤5);
②∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,且当t=5时点P到达点B,
∴点P由点A到点B的运动过程中,点P表示的有理数是﹣4+2t(0≤t≤5).
(4)当0≤t≤5时,点P表示的有理数是﹣4+2t,OP=|﹣4+2t|,
∴|﹣4+2t|=2,
即﹣4+2t=﹣2或﹣4+2t=2,
解得:t=1或t=3;
当5<t≤10时,点P表示的有理数是6﹣2(t﹣5)=16﹣2t,OP=|16﹣2t|,
∴|16﹣2t|=2,
即16﹣2t=2或16﹣2t=﹣2,
解得:t=7或t=9.
答:当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时,满足条件的t的值为1或3或7或9.
20.解:(1)∵a*b=ab2+2ab+a,
∴(﹣4)*2
=(﹣4)×22+2×(﹣4)×2+(﹣4)
=﹣16﹣16﹣4
=﹣36.
(2)∵()*(﹣3)=a﹣1,
∴×(﹣3)2+2××(﹣3)+=a﹣1,
∴2a+2=a﹣1,
解得:a=﹣3.
一.选择题(共10小题)
1.下列方程中:①2x+4=6,②x﹣1=,③3x2﹣2x,④5x<7,⑤3x﹣2y=2,⑥x=3,其中是一元一次方程的有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
2.设x、y都是有理数,且满足方程(+)x+(+)y﹣4﹣π=0,则x﹣y的值为( )
A.18B.19C.20D.21
3.某品牌服装店一次同时售出两件上衣,每件售价都是135元,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则这家商店在这次销售过程中( )
A.盈利为0B.盈利为9元C.亏损为8元D.亏损为18元
4.将方程=1+中分母化为整数,正确的是( )
A.=10+B.=10+
C.=1+D.=1+
5.下列运用等式的性质对等式进行的变形中,错误的是( )
A.若a=b,则
B.若a=b,则ac=bc
C.若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b
D.若x=y,则x﹣3=y﹣3
6.某市出租车收费标准是:起步价8元(即行驶距离不超过3km,付8元车费),超过3km,每增加1km收1.6元(不足1km按1km计),小梅从家到图书馆的路程为xkm,出租车车费为24元,那么x的值可能是( )
A.10B.13C.16D.18
7.已知关于x的方程a﹣x=+3a的解是x=4,则代数式3a+1的值为( )
A.﹣5B.5C.8D.﹣8
8.定义一种新运算“a☆b”的含义为:当a≥b时,a☆b=a+b;当a<b时,a☆b=a﹣b.例如:3☆(﹣4)=3+(﹣4)=﹣1,(﹣6)☆=(﹣6)﹣=﹣6,则方程(3x﹣7)☆(3﹣2x)=2的值为( )
A.1B.C.6或D.6
9.解方程2x=3x时,两边都除以x,得2=3,其错误原因是( )
A.方程本身是错的B.方程无解
C.两边都除以了0D.2x小于3x
10.如图所示,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的4倍,则它们第2020次相遇在边( )上
A.ABB.BCC.CDD.DA
二.填空题(共5小题)
11.方程﹣=﹣的解是 .
12.解方程=2﹣,有下列步骤:①3(3x+1)=12﹣(2x﹣1),②9x+3=12﹣2x+1,③9x﹣2x=12+1+3,④7x=16,⑤x=,其中首先发生错误的一步是 .
13.已知x=3是方程3x﹣2a=5的解,则a= .
14.清代文言小说集《笑笑录》记载,清代诗人徐子云曾写过一首诗:巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,看看用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹.请问先生明算者,算来寺内几多僧?
设寺内有x名僧人,则列出一元一次方程为 .
15.一列方程如下排列:
=1的解是x=2;
=1的解是x=3;
=1的解是x=4;
…
根据观察得到的规律,写出其中解是x=2020的方程: .
三.解答题(共5小题)
16.解不等式:当x为何值时,代数式比大1.
17.已知x=﹣3是关于x的方程(k+3)x+2=3x﹣2k的解.
(1)求k的值;
(2)在(1)的条件下,已知线段AB=6cm,点C是线段AB上一点,且BC=kAC,若点D是AC的中点,求线段CD的长.
(3)在(2)的条件下,已知点A所表示的数为﹣2,有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,当时间为多少秒时,有PD=2QD?
18.“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样的时间段里,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今善行者与不善行者相距960步,两者相向而行,问,相遇时两者各行几步?
(2)今不善行者先行100步,善行者追之,不善行者再行300步,请问谁在前面,两人相隔多少步?
19.如图,在数轴上点A表示的有理数为﹣4,点B表示的有理数为6,点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,当点P到达点B后立即返回,仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动.设运动时间为t(单位:秒).
(1)求t=2时点P表示的有理数;
(2)求点P与点B重合时t的值;
(3)①点P由点A到点B的运动过程中,求点P与点A的距离(用含t的代数式表示);
②点P由点A到点B的运动过程中,点P表示的有理数是多少(用含t的代数式表示);
(4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时,直接写出所有满足条件的t的值.
20.用“*”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a*b=ab2+2ab+a.如:1*3=1×32+2×1×3+1=16.
(1)求(﹣4)*2的值;
(2)若()*(﹣3)=a﹣1,求a的值.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.解:①2x+4=6是一元一次方程;
②x﹣1=是分式方程;
③3x2﹣2x不是方程,是代数式;
④5x<7是一元一次不等式;
⑤3x﹣2y=2是二元一次方程;
⑥x=3是一元一次方程;
一元一次方程共2个,
故选:D.
2.解:∵x和y满足(+)x+(+)y﹣4﹣π=0,
可变形为:,
∵x和y都是有理数,则可得:
,整理得:,
①﹣②得:x﹣y=18,
故选:A.
3.解:设盈利的那件上衣的成本价为x元,亏损的那件上衣的成本为y元,
依题意,得:135﹣x=25%x,135﹣y=﹣25%y,
解得:x=108,y=180,
∴(135﹣x)+(135﹣y)=(135﹣108)+(135﹣180)=﹣18(元).
故选:D.
4.解:方程整理得:=1+.
故选:C.
5.解:∵若a=b,只有c≠0时,成立,
∴选项A符合题意;
∵若a=b,则ac=bc,
∴选项B不符合题意;
∵若a(x2+1)=b(x2+1),则a=b,
∴选项C不符合题意;
∵若x=y,则x﹣3=y﹣3,
∴选项D不符合题意.
故选:A.
6.解:由题意得,
8+(x﹣3)×1.6=24,
1.6x﹣4.8+8=24,
1.6x=24+4.8﹣8,
1.6x=20.8,
解得x=13,
故选:B.
7.解:把x=4代入a﹣4=2+3a,
移项合并得:﹣2a=6,
解得:a=﹣3,
则原式=﹣9+1=﹣8,
故选:D.
8.解:当3x﹣7≥3﹣2x,即x≥2时,
由题意得:(3x﹣7)+(3﹣2x)=2,
解得 x=6;
当3x﹣7<3﹣2x,即x<2时,
由题意得:(3x﹣7)﹣(3﹣2x)=2,
解得x=(舍去),
∴x的值为6.
故选:D.
9.解:错误的地方为:方程两边都除以x,没有考虑x是否为0,
正确解法为:
移项得:2x﹣3x=0,
合并得:﹣x=0,
系数化为1得:x=0.
故选:C.
10.解:设甲的速度为x,正方形的边长为a,他们需要t秒第2020次相遇,则乙的速度为4x,
依题意,得:(2020﹣1)×4a+2a=xt+4xt,
解得:t=,
∴xt=a=1615.6a,
又∵1615.6a=404×4a﹣0.4a,
∴它们第2020次相遇在边AB上.
故选:A.
二.填空题(共5小题)
11.解:﹣=﹣,
﹣x=﹣1,
x=1.
故答案为:x=1.
12.解:去分母得:3(3x+1)=12﹣(2x﹣1),
去括号得:9x+3=12﹣2x+1,
移项得:9x+2x=12+1﹣3,
合并得:11x=10,
解得:x=,
∴首先发生错误的一步是③.
故答案为:③.
13.解:∵x=3是方程3x﹣2a=5的解,
∴9﹣2a=5,
解得:a=2.
故答案为:2.
14.解:设寺内有x名僧人,
由题意得+=364,
故答案为:+=364.
15.解:∵一列方程如下排列:
=1的解是x=2;
=1的解是x=3;
=1的解是x=4;
∴一列方程如下排列:
+=1的解是x=2;
+=1的解是x=3;
+=1的解是x=4;
…
∴+=1,
∴方程为+=1,
故答案为:+=1.
三.解答题(共5小题)
16.解:根据题意得:﹣=1,
去分母得:2(2x﹣1)﹣3(5x+1)=6,
去括号得:4x﹣2﹣15x﹣3=6,
移项合并得:﹣11x=11,
解得:x=﹣1.
17.解:(1)把x=﹣3代入方程(k+3)x+2=3x﹣2k得:﹣3(k+3)+2=﹣9﹣2k,
解得:k=2;
(2)当k=2时,BC=2AC,AB=6cm,
∴AC=2cm,BC=4cm,
当C在线段AB上时,如图1,
∵D为AC的中点,
∴CD=AC=1cm.
即线段CD的长为1cm;
(3)在(2)的条件下,∵点A所表示的数为﹣2,AD=CD=1,AB=6,
∴D点表示的数为﹣1,B点表示的数为4.
设经过x秒时,有PD=2QD,则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x,4﹣4x.
分两种情况:
①当点D在PQ之间时,
∵PD=2QD,
∴﹣1﹣(﹣2﹣2x)=2[4﹣4x﹣(﹣1)],解得x=;
②当点Q在PD之间时,
∵PD=2QD,
∴﹣1﹣(﹣2﹣2x)=2[﹣1﹣(4﹣4x)],解得x=.
答:当时间为或秒时,有PD=2QD.
18.解:(1)设两者相遇时行走的时间为t,根据题意得,
100t+60t=960,
解得,t=6,
100t=600,
60t=360,
答:相遇时,善行者走了600步,不善行者走了360步;
(2)不善行者一共走了100+300=400(步),
善行者行走了(步)>400步,
∴善行者在前面,
两人相距:500﹣400=100(步),
答:善行者在前面,两人相隔100步.
19.解:(1)﹣4+2×2=0.
答:求t=2时点P表示的有理数为0.
(2)依题意,得:﹣4+2t=6,
解得:t=5.
答:当t=5时,点P与点B重合.
(3)①∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,且当t=5时点P到达点B,
∴点P由点A到点B的运动过程中,PA=2t(0≤t≤5);
②∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动,且当t=5时点P到达点B,
∴点P由点A到点B的运动过程中,点P表示的有理数是﹣4+2t(0≤t≤5).
(4)当0≤t≤5时,点P表示的有理数是﹣4+2t,OP=|﹣4+2t|,
∴|﹣4+2t|=2,
即﹣4+2t=﹣2或﹣4+2t=2,
解得:t=1或t=3;
当5<t≤10时,点P表示的有理数是6﹣2(t﹣5)=16﹣2t,OP=|16﹣2t|,
∴|16﹣2t|=2,
即16﹣2t=2或16﹣2t=﹣2,
解得:t=7或t=9.
答:当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时,满足条件的t的值为1或3或7或9.
20.解:(1)∵a*b=ab2+2ab+a,
∴(﹣4)*2
=(﹣4)×22+2×(﹣4)×2+(﹣4)
=﹣16﹣16﹣4
=﹣36.
(2)∵()*(﹣3)=a﹣1,
∴×(﹣3)2+2××(﹣3)+=a﹣1,
∴2a+2=a﹣1,
解得:a=﹣3.