新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测15《导数的概念及运算》(含解析)

课时跟踪检测（十五）  导数的概念及运算

[A级　保分题——准做快做达标]

1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(　　)

A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0

C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0

解析：选C　由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

2．已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)

A．－1 B．1

C．3 D．－3

解析：选D　由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，

所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，

所以f(x)＝aln x＋x2，

故f′(x)＝＋2x.

则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，

因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，

所以a＋2＝－1，即a＝－3.

3．(2019·珠海期末)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

解析：选B　由题意知点(1,3)在曲线y＝x3－2x＋4上．∵y＝x3－2x＋4，∴y′＝3x2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.

4．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 018(x)＝(　　)

A．－sin x－cos x B．sin x－cos x

C．－sin x＋cos x  D．sin x＋cos x

解析：选C　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故选C.

5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)

A．(0,0) B．(1，－1)

C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)

解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax，依题意，得解得或故选D.

6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x3－x2－3x－1图象的一条切线，则k＝(　　)

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：选C　直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x2－2x－3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y－y0＝(3x－2x0－3)(x－x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝x－x－3x0－1，解得x0＝－1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.

7．(2019·银川一中月考)设函数f(x)＝x3＋x2＋4x－1，θ∈，则导数f′(－1)的取值范围是(　　)

A．[3,4＋] B．[3,6]

C．[4－，6] D．[4－，4＋]

解析：选B　求导得f′(x)＝x2sin θ＋xcos θ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－1)＝sin θ－cos θ＋4＝2sin＋4，由θ∈，可得θ－∈，∴sin∈，∴2sin＋4∈[3,6]．故选B.

8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为(　　)

A．2x＋y＋2＝0

B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0

C．2x－y－18＝0

D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

解析：选B　y′＝＝－，y′|x＝2＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.

9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y＝x2－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C．[0，π) D.

解析：选B　因为y′＝2x－2,1≤x≤，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤，故选B.

10．(2019·广东七校联考)函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)

解析：选A　法一：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数．又f′(0)＝1，所以排除C、D；令g(x)＝f′(x)＝cos x－xsin x，则g′(x)＝－xcos x－2sin x，易知g′(0)＝0，且当x∈时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，所以f′(x)在x＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.

法二：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，又f′(0)＝1，所以排除C，D；当x∈时，y＝cos x单调递减，对于y＝xsin x，y′＝xcos x＋sin x>0，则y＝xsin x单调递增，则f′(x)＝cos x－xsin x在上单调递减．故选A.

11．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为______________．

解析：因为y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.

答案：y＝2x－2

12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．

解析：由y＝x2－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，

设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点，

则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．

∴点P0的坐标为(1,1)．

∴所求的最小距离为＝.

答案：

13．(2019·石家庄二中月考)已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．

解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋.与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以2－4＝0，解得x1＝－，故斜率k＝－＝－4.

答案：－4

14．(2019·淄博六中期末)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．

解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.

答案：

15．(2019·孝感高中期中)已知函数f(x)＝x3－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；

(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．

解：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.

故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.

(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．

又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，

即2x－3x＋b＋1＝0.

由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．

记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，

而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．

16．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．

解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝.

又f′(x)＝a＋，所以解得

故f(x)＝x－.

(2)是定值，理由如下：

设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，

由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0，得y＝－，得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

[B级　难度题——适情自主选做]

1．(2019·蚌埠质检)已知函数f(x)＝x，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)

C. D.

解析：选D　∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是.故选D.

2．(2019·山东名校调研)已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2ln 2－2，＋∞) B．(2ln 2，＋∞)

C．(－∞，2ln 2－2] D．(－∞，2ln 2－2)

解析：选D　由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为它们的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0　①.由y＝ex＋a求导可得y＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b　②.联立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.∴g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g(k)max＝g(4)＝4ln 4－4，且k→0时，g(k)→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.