初中数学24.1.2 垂直于弦的直径教案

这是一份初中数学24.1.2 垂直于弦的直径教案，共7页。

知识要点梳理:


(1)圆的定义: 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．


圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．


(2)圆的弦与弧的定义


①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；


②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；


③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，


读作“圆弧”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，


小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧．


④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．


（3）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线,也是中心对称图形，对称中心为圆心。


（4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．


（5）垂径定理推论：


推论1、①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。


②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.


③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.


推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等。


垂径定理及推论1中的三条可概括为四点：（1）经过圆心 （2）垂直弦 （3）平分弦（4）平分弧


以上四点已知其中的任意两点，都可以推得其他两点.





经典例题：


例1．设AB=3 cm，作图说明满足下列要求的图形．


(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形．


(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．
































例2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心，其中弦CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．


























例3、如图所示，AB为的直径，弦CD与AB相交，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，


求证：CE=DF












































例4、如图，已知在中，，AB=3cm,AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交CB的延长线于点D，求CD的长。












































例5、如图所示，的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。


（1）求证：AE=BF


（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。






































经典练习：


1、已知⊙O的半径r=2cm, 当OP 时，点P在⊙O上；当OA=1cm时，点A在 ；当OB=4cm时，点B在





2.圆弧形拱桥的跨度是12米，拱高是4米，则拱桥圆弧所在圆的直径是 。13





3.已知的半径为2㎝，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）


A.1㎝ B、2cm C、 D、


4.已知一条弦把圆周分成3：1的两部分，若半径为R，那么弦长为（ ）


A、R B、2R C、 D、


5.如图1 ，的半径为6cm，AB、CD为两弦，且AB⊥CD，垂足为E，


若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ）


A、10cm B、8cm C、 D、














6.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的弧；④圆的对称轴有无数条。其中正确的判断有（ ）


A、0个 B、1个 C、2个 D、3个














7.如图2，同心圆中，大圆的弦AD交小圆于B、C若AD=4,BC=2，圆心O到AB的距离等于1，


那么两个同心圆的半径之比为（ ）


A、3：2 B、 C、 D、5：4





8.等腰三角形腰长为4cm，底角为，则外接圆直径为（ ）


A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm





9．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，


则AC=_________．


图5


图4























10．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________； 最长弦长为_______．


11．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______________（只需写一个正确的结论）


12．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．











13．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，拱顶距水面不得小于3.5米,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．


























14．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，CD=EF,O1M和O2M相等吗？为什么？






































课后练习：


1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．


A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>CD





(1) (2) (3)


2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）


A．4 B．6 C．7 D．8


3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）


A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD





4、已知P为内一点，且OP=d，如果的半径是r，那么过P点的最短的弦等于（ ）


A、 B、


C、 D、





5、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm,则该圆的半径是（ ）


A、2.5㎝或6.5㎝ B、2.5㎝ C、6.5㎝ D、5或13㎝











6、如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径,F为的中点，弦过且，则弦的长为多少？
































7、如图所示，已知的半径为10cm，P是直径AB上一点，弦CD过点P，CD=16cm，过点A和B分别向CD引垂线AE和BF，求AE-BF的值。(延长FO)






































8.⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．






































备用题


1.在圆O中，弦AB=8，P为AB上一点，AP=2，则经过点P的最短弦长为





























2.如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC=