【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第13讲 长方形、正方形的面积 人教版（含答案）

第十三讲  长方形、正方形的面积   

第一部分：趣味数学

巧涂装饰牌

在一个美丽的森林里，住着一群可爱的蓝精灵，他们聪明伶俐，活泼勤劳，患难与共，生活和谐、快乐。一个阳光明媚的日子，蓝精灵们准备建一座“大森林商场”。他们找来一群优秀的建筑师建商场，分配好任务后就开始建造了。

一天、四天、七天、十天……五十天，终于建好了，蓝精灵们高兴极了！可是他们发现虽然商场建好了，可是装饰牌还没涂油漆，因为油漆工不知道要用多少油漆。他们想来想去还是一无所获。后来蓝精灵们想到了住在森林边的聪聪。聪聪看了看装饰牌，又在装饰牌上左量右量，最后在纸上写了又写，过了一会儿

他便告诉蓝精灵们：“要42千克油漆。”蓝精灵们很奇怪地问：“为什么？”

聪聪笑了笑，说：“你们瞧！你这个装饰牌我刚刚量过了是一个平行四边形，它的底是14米，高是3米。油漆这块装饰牌每平方米需用油漆1千克。这样的话我们得先求出这个平行四边形的面积。”“可我们不知道求平行四边形的面积公式呀，怎么办呢？”蓝精灵们说。“别着急，我们可以推导出求平行四边形的面积公式。”聪聪说，“我们把一个平行四边剪拼成一个长方形，沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形，然后把这个三角形平移到平行四边形的另一边，拼成一个长方形。我们仔细观察可以发现拼成的长方形的长等于这个平行四边形的底，长方形行的宽等于这个平行四边形的高，拼成的长方形的面积和平行四边形的面积相等，因为长方形的面积=长×宽，由此可以得出结论，平行四边形的面积公式是：底×高。知道了求平行四边形的面积公式，要知道需要几千克油漆那就简单了。”

蓝精灵们列出了算式：14×3=42 （平方米），1×42=42（千克）。

“太好了！”蓝精灵们说，“太谢谢你了，聪聪！”然后他们赶忙开始干活了。没多久，他们就把装饰牌涂好了。从此以后，蓝精灵们就可以到“大森林商场”去购物了！

第二部分：奥数小练

一、知识要点

长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。

但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。

二、精讲精练

【例题1】 已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？

【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。

练习一：

1. 有一块长方形草地，长20米，宽15米。在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。

2.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？

3.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？

【例题2】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。

【思路导航】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。

练习二：

1.下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。

2.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：平方厘米），求A和B的面积。

3.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。

【例题3】 把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？

【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）。

练习三：

1.一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？

2.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？

3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。求草坪的面积。

【例题4】 有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。

【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。

练习四：

1.四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。

2.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？

3.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。

【例题5】 有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？

【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。

练习五：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？

2.有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？

3.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。求原来小长方形的面积。

第三部分：数学史话

“面积”的由来

同学们，你们知道面积的由来吗？下面就给大家介绍一下吧。

面积的概念很早就形成了。在古代埃及，尼罗河每年泛滥一次，洪水给两岸带来了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新划出田地的界限，就必须丈量和计算田地，于是逐渐有了面积的概念。

在数学上是这样来研究面积问题的：首先规定边长为1的正方形的面积为1，并将其作为不证自明的公理。然后用这样的所谓单位正方形来度量其他平面几何图形。较为简单的正方形和长方形的面积是很容易得到的，利用割补法可以把平行四边形的面积问题转化为长方形的面积问题，进而又可以得到三角形的面积。于是多边形的面积就可以转化为若干三角形的面积。

特别是在推导圆的面积公式时，经历了一个非常曲折的过程。实际上圆面积的严格定义要用到极限的概念。对面积的深入研究导致了近代测度理论的诞生和发展。

参考答案：

练习一：

1.156平方米

2.2025平方厘米

3.17分米

练习二：

1.40平方厘米

2.A的面积：8平方厘米       B的面积：36平方厘米

3.441平方厘米

练习三：

1.3600平方米

2.49平方厘米

3.361平方米

练习四：

1.2.5米

2.100平方厘米

3.16平方厘米

练习五：

1.45平方厘米

2.24厘米

3.10平方厘米