【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第2讲 有余数的除法 人教版（含答案）
展开第二讲 有余数的除法
第一部分：趣味数学
小朋友们，笔算加法、减法、乘法都要从个位算起，可是笔算除法却要从最高位算起，你想知道这是怎么一回事儿吗？相信你看了下面的资料，一定会有所了解的！
除法为什么要从高位算起？
假如要把9个苹果平均分给3个小朋友，我们可以先拿出3个，1人一个；再拿出3个，1人一个；还剩下3个，1人一个，正好分完。把上述分的过程用连减算式表示出来就是：9－3－3－3＝0，减了3次，正好减完。如果用除法算式表示就是9÷3＝3。
所以，除法计算也可以用连减法来求商，把被除数作为被减数，除数作为相同的减数，连减的最多次数就是商。
可是，如果用减法计算369÷3，一共要减去123个3，实在是太麻烦了，改用除法计算多简便啊！
原来，除法从高位算起是为了减得更快些，更快地求出商。
小朋友们，你明白了吗？
有余除法：把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。
解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。
在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。
第二部分：奥数小练
【例题1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？
【思路导航】除数是____，根据____________，余数可填_____________.根据____________，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为____________。列式如下：______________________
答：被除数最大是53，最小是______。
练习一：
(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ]
(2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ]
(3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4
【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为______，那么除数则为______。
根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。
练习二：
(1)下面算式中，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］
③[ ]÷[ ]＝9……［ ］
(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？
①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］
(3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？
【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是_____和______。
【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因为余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为___，___，____，____。
答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。
练习三：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2
③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6
(2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。
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(3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
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【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。
7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24
7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48
答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。
练习四：
(1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？
①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ]
③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ]
(2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。
(3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。
【例题5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？
【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除数必须比4大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填_______，商也是______。由算式____________________，所以被除数最小是__________。
练习五：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？
(1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8
(3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9
(5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7
第三部分：数学史话
除法的历史
想知道古人是怎样认识除法的吗？让我们了解一下吧。
商的本义是古代滴漏上计时的刻度。商的其他字义也是由此引申而来的。《汉书·哀帝纪》中记载：“漏刻以百二十为度。即：旧漏昼夜其百刻，今增其二十。”意思是说，每支刻箭一百度，而每一度都是相等的，等于说把一支刻箭平均分成100份，得出每一度的长度，就叫做商。算术中除法运算的得数叫商，就是由漏箭的刻度引申而来。
四则运算的起源
小朋友们，我们已经会进行四则运算了，你知道他们的来历吗？
四则运算（Four Arithmetic Operations），即加减乘除，是数学最基本的运算。四则运算的起源很早，几乎在数学产生时就有了。如，5写成罗马数字Ⅴ，6写成罗马数字Ⅵ，就是5加1的意思。那你知道罗马数字Ⅳ是几吗？没错，就是4，即5减1的意思。而在中国四则运算很早就有了，战国（前476-前221年）时代的李悝编写的一部有关法律方面的著作——《法经》中，就有加、减、乘、除等运算的事例：“一个农夫家里有五口人，种了一百亩田，每年每亩收获一石（dàn）半，共收一百五十石粟，去掉十分之一的税十五石，余下一百三十五石；食粮每人每月一石半，五个人一年实九十石粟，余下四十五石。每石值三十钱，一共是一千三百五十。除了宗祠祭祀用钱三百外，余下一千零五拾。穿衣每人要三百钱，五个人一年实一千五百，还缺四百五十钱。”
尽管四则运算起源极早，但发展却不平衡，特别是在采用非位置制的地方，进行四则运算，尤其是计算乘法与除法往往十分麻烦。例如：235×4这样简单的运算，如果运用罗马数字运算就是难题了。而四则运算的种种符号是从15世纪才开始逐渐使用的。（详情参照第二单元数学史话）
参考答案：
练习一：
（1）被除数最大可填26，最小可填25。
(2)被除数最大可填34，最小可填33。
(3)下题中要使除数最小，被除数应为64。
练习二：
(1)①被除数最小是 9
② 被除数最小是15
③被除数最小是19
(2)①被除数最小是 10
②被除数最小是37
(3)被除数最大是71
练习三：
(1)下面算式中，除数和商各是几？
①22÷[ 6 ]＝[3 ]……4 或者22÷[9 ]＝[2 ]……4
②65÷[ 7 ]＝[ 9 ]……2或者65÷[ 9 ]＝[ 7 ]……2
③37÷[ 10 ]＝[3]……7
④48÷[ 7 ]＝[ 6 ]……6
(2)这样的两位数有12或者24。
(3)被除数可以是：17 、18、19
练习四：
(1) ①被除数可以是35、28、21、14、7。
② 被除数可以是24、18、12、6。
③被除数可以是15、10、5。
④被除数可以是8、4。
(2)16÷15=1……1；32÷15=2……2；48÷15=3……3；64÷15=4……4；
80÷15=5……5
(3) 被除数最大是__80__。
练习五：
(1)被除数最小是55
(2)被除数最小是89
(3)被除数最小是19
(4)被除数最小是109
(5)被除数最小是71
