云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考 数学（理）（含答案） 试卷

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云南、四川、贵州、西藏四省名校2021届高三第一次大联考

数学（理）

本试卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|x2－x－2<0，x∈N*}，集合B＝{x|y＝}，则集合A∩B等于

A.1     B.[1，2)     C.{1}     D.{x|x≥1}

2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

3.在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上运动，则的最小值为

A.－1     B.0     C.1     D.

4.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算取1.70，π的值精确到0.01)

A.3.13     B.3.14     C.3.15     D.3.16

5.已知α∈(0，π)且满足cos(α－)cos(α＋)＝－，则sinα＝

A.     B.     C.－     D.

6.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则a的值为

A.12     B.8     C.2     D.2

7.设双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A(O为坐标原点)，且|OA|＝2|AF|，则双曲线C的离心率e为

A.     B.     C.     D.2

8.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为

A.8＋4     B.12     C.16＋8     D.12＋2

9.已知a＝log52，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是

A.a>b>c     B.a>c>b     C.b>c>a     D.c>b>a

10.众所周知，人类通常有4种血型：O、A、B、AB，又已知，4种血型O、A、B、AB的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就。这些规则可以归结为4条：①X－X；②O－X；③X－AB；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(X代表O、A、B、AB任一种血型)。按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为

A.0.5625     B.0.4375     C.0.4127     D.0.5873

11.已知实数x，y满足log2x＋e－y<log2y＋e－x，则下列结论一定正确的是

A.x>y     B.ln|x－y|<0     C.ln|x－y＋1|>0     D.ln|y－x＋1|>0

12.已知点A是抛物线C：x2＝2py(p>0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，过A作抛物线的一条切线，切点为P，且满足|PA|＝，则抛物线C的方程为

A.x2＝8y     B.x2＝4y     C.x2＝2y     D.x2＝y

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.若x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为          。

14.的展开式的中间一项为          。

15.在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，顶角为120°，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为          。

16.已知函数f(x)＝sinxcos2x，关于函数y＝f(x)有下列命题：

①f()＝；                 ②f(x)的图象关于点(，0)对称；

③f(x)是周期为π的奇函数；        ④f(x)的图象关于直线x＝对称。

其中正确的有          。(填写所有你认为正确命题的序号)

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知数列{an}是公差为d的等差数列，且a1＝2，a2是a1，a4的等比中项。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当d>0时，求数列的前n项和Tn。

18.(本小题满分12分)

西尼罗河病毒(WNV)是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类。1999年8－10月，美国纽约首次爆发了WNV脑炎流行。在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV的复制，抑制其对细胞的致病作用。现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x(千克)和利巴韦林含片产量y(百盒)的统计数据如下：

由相关系数r可以反映两个变量相关性的强弱，|r|∈[0.75，1]，认为两个变量相关性很强；|r|∈[0.3，0.75)，认为两个变量相关性一般；|r|∈[0，0.3)，认为两个变量相关性较弱。

(1)计算相关系数r，并判断变量x、y相关性强弱；

(2)根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程。为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林?

参考数据：≈25.69。

参考公式：相关系数r＝，线性回归方程中，。

19.(本小题满分12分)

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB＝AA1＝1，E是棱AA1的中点，EC＝。

(1)求证：平面D1EC⊥平面EDC；

(2)求二面角D1－EC－B1的大小。

20.(本小题满分12分)

已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C：的左、右焦点，点P是C的上顶点，且直线PF2的斜率为－。

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F2作两条互相垂直的直线l1，l2。若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的取值范围。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝2x－＋klnx。

(1)当k＝－3时，求f(x)的极值；

(2)若存在x∈[1，e]，使得3x－f(x)<－成立，求实数k的取值范围。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程。

在直角坐标系xOy中，曲线D的参数方程为(t为参数，t∈R)。点A(－1，0)，点B(1，0)，曲线E上的任一点P满足。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求曲线D的普通方程和曲线E的极坐标方程；

(2)求点P到曲线D的距离的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|3x－1|＋|3x＋a|，g(x)＝x·f(x)，h(x)＝x2－5x－3。

(1)若f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a(其中a>－1)，使得x∈[－，]，都有不等式g(x)≥h(x)恒成立?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。