江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考 数学（理）（含答案） 试卷
展开理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 已知集合 则 A B. C. D.3.“为第一或第四象限角”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 在等差数列中，若，，则A．30 B．35 C．40 D．455.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 A． B． C． D．6．函数的图像大致是 A B C D7.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若则是 A. B. C. D. 8. 双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 9.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为 A. B. C. D.10．点，，在球表面上，，，，若球心到截面的距离为，则该球的体积为 A． B. C. D. 11.已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为，若点为抛物线准线上的动点，给出以下命题： ①当为正三角形时，的值为；②存在点，使得；③若，则等于；④的最小值为，则等于或.其中正确的是A．①③④ B．②③ C．①③ D．②③④12.已知实数满足，则对任意的正实数，的最小值为 A. B.8 C. D.18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.的图像在处的切线方程为 .14.已知实数满足约束条件，则的最小值为 .15.在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，，，则的面积为 .16.已知等边的边长为，过点的直线与过的平面交于点，将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线与平面所成的角始终相等. 当三棱锥体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知函数，向量，，在锐角中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小； (2)求的取值范围. 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥满足平面，底面是正方形，与交于点，，侧棱上有一点满足． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值． 19. （本小题满分12分）已知数列中且. 数列中且. (1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和为，并求使得恒成立的最大正整数的值. 20.（本小题满分12分）某省在高考改革试点方案中规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级． 参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．(1)求物理原始成绩在区间的人数；(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．附：若随机变量，则，，. 21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分12分）已知函数．(1)当时，函数在上是减函数，求的取值范围；(2)若方程的两个根分别为，求证：. 答案一、选择题：DDACA ACCBD C B二、填空题：13. 14. 15. 16.三、解答题：17.解：（1）由题意，，，又为锐角，∴．………………5分 （2）由（1），又均为锐角，所以，，，∴．………………10分 18.解析：（1）法一：如图，在平面内，过点作交于点，则有,连，取的中点，连接. ， ，所以…………2分 又因为 所以，所以又，所以易知为等边三角形，则,由得为的中点，在中，为的中点，则有,从而有因为所以………………4分 又，所以，因为所以，………………6分 法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系如图：则，由……2分,………………4分 所以，………………6分 （2）易得平面………………8分 设平面，由得,即取………………10分 则，所以,锐二面角的余弦值为 ………………12分19.解：（1）因为，当时，，两式相减得；当时， ，所以；所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则.………………3分 数列中,,满足. 即，，， ， ，等式左右两边分别相乘可得，而，所以.………………6分 （2）,由（1）可得,数列的前项和为则两式相减可得, 所以因为为递增数列,所以………………9分 故只需,变形可得所以,即最大正整数值为………………12分 20.解：（1）因为物理原始成绩，所以． ………………3分所以物理原始成绩在（47，86）人数为（人）．……5分（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．……6分所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，， ，．……………9分所以的分布列为0123 ………10分因为,所以数学期望． ……………12分21. 解：（1）由椭圆定义可得，则，又椭圆的离心率为，，则，因此，椭圆的标准方程为；……………4分（2）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为，设点、，设点的坐标为，联立，消去并整理得，恒成立，由韦达定理得，，……………6分由于以为直径的圆恒过点，则，，，……………8分，…………10分由于点为定点，则为定值，所以，解得，此时，合乎题意；当直线与轴重合时，则为椭圆的短轴，此时，点与点或点重合，合乎题意.综上所述，直线恒过定点.…………12分22.解：（1）在上递减，对恒成立.即对恒成立，所以只需.，，当且仅当时取“”，.…………5分（2）由已知，得，∴两式相减，得.由知…………7分，…………9分设，则.∴在上递增，.，.即.…………12分
