【精品】人教版 七年级上册数学 专题04 图形中的排列规律重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

专题04 图形中的排列规律重难点题型汇编【举一反三】
【人教版】



【考点1 图形中的周期规律】
【方法点拨】观察题目中图形的变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想进行求解.
【例1】（2019秋•义乌市校级月考）依次观察如图三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题目中给出的图形，可知每五个一个循环，空白的大三角形按照顺时针旋转，从而可以得到从左到右第2019个图形是选项中的哪个图形，本题得以解决．
【答案】解：由图可知，
每连续的五个为一组，也就是五个一循环，
2019÷5＝403…4，
故选：A．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．
【变式1-1】（2019秋•莒县期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（　　）
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的右下角
D．第505个正方形的左上角
【分析】设第n个正方形中标记的最大的数为an，观察给定图形，可找出规律“an＝4n”，依此规律即可得出结论．
【答案】解：设第n个正方形中标记的最大的数为an．
观察给定正方形，可得出：每个正方形有4个数，即an＝4n．
∵2019＝504×4+3，
∴数2019应标在第505个正方形左上角．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律an＝4n．本题属于基础题，难度不大，需找出2019在第几个正方形上．
【变式1-2】（2019春•海安市校级月考）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行cm时停下，则它停的位置是（　　）

A．点F B．点E C．点A D．点C
【分析】观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．
【答案】解：∵两个菱形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵÷8＝252余2，
∴移动cm为第253个循环组的第2cm，在点C处．
故选：D．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．
【变式1-3】（2019秋•工业园区期末）如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第步到达（　　）

A．A点 B．C点 C．E点 D．F点
【分析】先求出由A点开始按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动走一圈所走的步数，在用除以此步数即可．
【答案】解：∵如图物体从点A出发，按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动，此时一个循环为8步，
∴÷8＝252…2．
∴当物体走到第252圈后再走2步正好到达C点．
故选：B．
【点睛】本题考查的是图形的变化类这一知识点，解答此题的关键是根据题意得出物体走一个循环的步数，找出规律即可轻松作答．
【考点2 图形中的等差规律】
【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，会发现
后一项与前一项的差均相等，即为等差规律，应用公式：第n个图形的个数=第一个图形的个数+差数×（n-1）.
【例2】（2019春•南岸区校级期中）用黑白两种颜色的正方形纸片，按白色纸片数逐渐加1并按下图的规
律拼成一列图案，则第100个图案中黑色正方形纸片的张数是（　　）

A．300 B．301 C．302 D．303
【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个，根据其中的规律，计算出第100个图案的黑纸片个数即可．
【答案】解：第1个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张，
第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，
第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，
…
第n个图案中有黑色纸片：（3n+1）张，
∴第100个图案中有黑纸片301张．
故选：B．
【点睛】本题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，难度适中．
【变式2-1】（秋•南山区校级期中）用棋子按下面的规律摆图形，则摆第个图形需要围棋子（　　）枚．

A．6053 B．6054 C．6056 D．6060
【分析】观察图形可知：第1个图形需要围棋子的枚数＝5；第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3；第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2；第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，…，则第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1），然后把n＝代入计算即可．
【答案】解：∵第1个图形需要围棋子的枚数＝5，
第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3，
第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2，
第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，
…，
∴第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1）＝3n+2，
∴第个图形需要围棋子的枚数＝3×+2＝6056，
故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出一般的运算规律解决问题．
【变式2-2】（秋•宁都县期中）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（　　）

A．15 B．17 C．21 D．27
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可．
【答案】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5＝3+2×1个，
第三个图形有7＝3+2×2个，
…
故第⑩个图形有3+2×9＝21（个），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
【变式2-3】（秋•万州区期中）如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照此规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（　　）

A．36 B．38 C．42 D．50
【分析】由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；由此求得问题答案．
【答案】解：第1个“上”字中的棋子个数是6＝4+2；
第2个“上”字中的棋子个数是10＝4×2+2；
第3个“上”字中的棋子个数是14＝4×3+2；
…
第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；
所以第10个“上”字需用棋子的数量是4×10+2＝42个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
【考点3 图形中的乘方规律】
【方法点拨】观察题目中图形的特点，出现1,4,9,16,25.....正方形的图阵，即可联想到利用乘方来表示.
【例3】（2019春•江岸区校级期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（　　）

A．42 B．43 C．56 D．57
【分析】设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．
【答案】解：设第n个图形中一共有an个菱形（n为正整数），
∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，
∴an＝n2+n+1（n为正整数），
∴a6＝62+7＝43．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．
【变式3-1】（2019春•南岸区校级期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要（　　）个基本图形．

A．402 B．404 C．406 D．408
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
【答案】解：第1个图案由12+4＝5个基础图形组成，
第2个图案由22+4＝8个基础图形组成，
……，
如果按照以下规律继续下去，
可以发现：第20个图案需要202+4＝404个基本图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．
【变式3-2】（秋•亭湖区校级期中）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子

观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（　　）
A．119 B．121 C．140 D．142
【分析】根据图示，可得：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，据此求出第10个小房子用了多少颗石子即可．
【答案】解：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，
第2个小房子用的石子的数量是：3+32，
第3个小房子用的石子的数量是：5+42，
…，
∴第n个小房子用的石子的数量是：2n﹣1+（n+1）2，
∴第10个小房子用的石子的数量是：
19+112＝19+121＝140．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
【变式3-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，们一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其
中第①个图形中共有6个小黑点，第②个图形中有10个黑点，第③个图形中一共有16个小黑点，…，按
此规律，则第⑩个图形中小黑点的个数是（　　）

A．112 B．114 C．116 D．118
【分析】第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，那么可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．
【答案】解：第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；
第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；
第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，
第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，
可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．
把n＝10代入可得：10×10+10+4＝114，
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：图形的变化类；根据图形的排列规律正确列式是解决本题的关键．
【考点4 图形中的自然数求和规律】
【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.
【例4】（2019秋•青山区校级月考）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，其中正确的个数是（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【答案】解：当n＝4时，三角点阵中的点数之和是：1+2+3+4＝10，故①正确，
当1+2+…+n＝300时，即 ，得n＝24，故②正确，
当n＝19时，三角点阵中的点数之和为＝190，
∵190+10＝200，
∴前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
【变式4-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　）

A．14 B．20 C．24 D．27
【分析】根据已知图形得出第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，据此求解可得．
【答案】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，
第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，
第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，
…，
按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝个，
则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7＝27个．
故选：D．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
【变式4-2】（2019春•北碚区校级期中）如图图形是用同样大小的铜币摆放的四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　）

A．29 B．36 C．37 D．46
【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．
【答案】解：n＝1时，铜币个数＝1+1＝2；
当n＝2时，铜币个数＝1+1+2＝4；
当n＝3时，铜币个数＝1+1+2+3＝7；
当n＝4时，铜币个数＝1+1+2+3+4＝11；
…
第n个图案，铜币个数＝1+1+2+3+4+…+n＝n（n+1）+1，
当n＝8时，×8×9+1＝37，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
【变式4-3】（秋•市南区校级期中）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第③个图形中有18根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（　　）

A．63 B．60 C．56 D．45
【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．
【答案】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；
第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；
第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；
…
∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；
∴第⑥个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）＝63，
故选：A．
【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数．
【考点5 图形中的奇数求和规律】
【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.
【例5】（秋•九龙坡区校级期中）如图，将等边三角形按一定规律排列，第①个图形中有1个小等边三角形，第②个图形中有4个小等边三角形，按此规律，则第⑥个图形中有（　　）个小等边三角形．

A．36个 B．49个 C．35个 D．48个
【分析】根据已知得出第n个图形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2个三角形，据此代入计算可得．
【答案】解：第①个图有1＝12个三角形，
第②个图形有1+3＝4＝22个三角形，
第③个图形有1+3+5＝9＝32个三角形，
…
第⑥个图形有62＝36个三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式5-1】（秋•三台县期中）如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，黑点的个数有（　　）

A．4n﹣1 B．n2﹣1 C．n2+2 D．2n+1
【分析】分析数据可得：第①个图形中点的个数为3；第②个图形中点的个数为3+3；第③个图形中点的个数为3+3+5；第④个图形中点的个数为3+3+5+7；…则知第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）．据此可以求得答案．
【答案】解：第①个图形中点的个数为3；
第②个图形中点的个数为3+3；
第③个图形中点的个数为3+3+5；
第④个图形中点的个数为3+3+5+7；
…
第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．
故选：C．
【点睛】此题属于图形与数字结合规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【变式5-2】（2019•云南模拟）如图用棋子摆成三角形的图案，第（1）个三角形中有4枚棋子，第（2）个三角形中有9枚棋子，第（3）个三形中有16枚棋了，…，按照这样的规律摆下去第（　　）个三角形中有2025枚棋子．

A．42 B．43 C．44 D．45
【分析】首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【答案】解：第1个三角形图案：1+3＝4＝22，
第2个三角形图案：1+3+5＝9＝32，
第3个三角形图案：1+3+5+7＝16＝42，
第4个三角形图案：1+3+5+7+9＝16+9＝25＝52，
第5个三角形图案：1+3+5+7+9+11＝25+11＝36，
则第n个三角形图案：1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2，
令（n+1）2＝2025，
解得：n＝44或n＝﹣46（舍去）
故选：C．
【点睛】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论．
【变式5-3】（2019•沙坪坝区校级一模）观察下列图形，①中有1个圆，②中有5个圆，③中有13个圆……，若依此规律，则第⑥个图形中圆的个数为（　　）

A．25 B．61 C．41 D．65
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律解得即可．
【答案】解：第一个图形有1个圆，
第二个图形有1+3+1＝5个圆，
第三个图形有1+3+5+3+1＝13个圆，
第四个图形有1+3+5+7+5+3+1＝25个圆，
…
第六个图形有1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1＝61个圆，
故选：B．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
【考点6 图形中的组合规律】
【方法点拨】此类问题是将上述两种规律结合在一起，需将图形进行拆分，找出各个部分的规律进行组合
即可.
【例6】（2019•长寿区模拟）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个
图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10
个图形中●的个数为（　　）

A．50 B．53 C．64 D．76
【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），据此可得．
【答案】解：因为图①中点的个数为4＝22﹣0，
图②中点的个数为8＝32﹣1，
图③中点的个数为13＝42﹣（1+2），
图④中点的个数为19＝52﹣（1+2+3），
……
所以图⑨中点的个数为102﹣（1+2+3+…+8）＝100﹣36＝64，
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1）．
【变式6-1】（秋•九龙坡区校级期中）下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑧个图形中黑点的个数是（　　）

A．29 B．38 C．48 D．59
【分析】根据已知图形中点的分布规律得出第n个图形中黑点的个数为1+2+3+……+n+n+1+2（n﹣1），据此可得．
【答案】解：∵第①个图形中黑点的个数3＝1+2+2×0，
第②个图形中黑点的个数8＝1+2+3+2×1，
第③个图形中黑点的个数14＝1+2+3+4+2×2，
……
∴第⑧个图形中黑点的个数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+2×7＝59，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形的变化类，解题的关键是将已知图形中黑点划分为两部分，再分别寻找各自变化规律．
【变式6-2】（春•沙坪坝区校级期中）下列图形都是由同样大小的●和〇按照一定规律组成的，其中第①个图中共有6个●，第②个图中共有13个●，第③个图中共有25个●，第④个图中共有42个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图中●的个数为（　　）

A．91 B．112 C．123 D．160
【分析】由已知图形得出第n个图形中•的个数为1+（1+2+3+…+n﹣1）×5+2（n+1）+1，据此可得．
【答案】解：∵第①个图中●的个数6＝1+0×5+2×2+1，
第②个图中●的个数13＝1+1×5+2×3+1，
第③个图中●的个数25＝1+（1+2）×5+2×4+1，
第④个图中●的个数42＝1+（1+2+3）×5+2×5+1，
……
∴第⑦个图中●的个数为1+（1+2+3+4+5+6）×5+2×8+1＝123，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中•的个数为1+（1+2+3+…+n﹣1）×5+2（n+1）+1．
【变式6-3】（2019春•北碚区校级月考）下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（　　）

A．66 B．91 C．120 D．135
【分析】观察图形特点，从中找出规律，黑色圆点的个数分别是1+3+1×2，1+3+5+2×3，1+3+5+7+3×4，1+3+5+7+9+4×5，…，总结出第n个图形中的黑色圆点的个数为1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），根据规律求解．
【答案】解：通过观察，得到：
第①个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+1×2＝6，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+2×3＝15，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+7+3×4＝28，
…，
所以第n个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），
当n＝7时，1+3+5+7+9+11+13+15+7×8＝120，
故选：C．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．