2021版新高考数学一轮教师用书：第10章第4节　古典概型

第四节　古典概型

[考点要求]　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.4.了解几何概型的意义．

(对应学生用书第193页)

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型的特点

—

︳

—

3．古典概型的概率计算公式：

P(A)＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)

(2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是.(　　)

(3)概率为0的事件一定是不可能事件．(　　)

(4)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)

A．　 B．

C．     D．

D　[一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P＝＝.]

2．(2019·唐山模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是(　　)

A．     B．

C．     D．

B　[抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3，共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝＝，故选B.]

3．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)

A．     B．

C．     D．

A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.]

4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．

　[掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.]

(对应学生用书第193页)

考点1　简单的古典概型

　计算古典概型事件的概率可分3步

(1)计算基本事件总个数n；

(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；

(3)代入公式求出概率P.

提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法．

　(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

(2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

(3)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

(1)D　(2)D　(3)A　[(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元．

乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).

乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).

根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P＝＝.

(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：

基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，

∴所求概率P＝＝.故选D.

(3)由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C＝＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选A.]

　古典概型中基本事件个数的探求方法

(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题．

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．

(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识．

　1.(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

C　[将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为＝.故选C.]

2．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，

∴基本事件总数n＝3×4＝12.

函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，

①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；

②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种．

∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝.]

考点2　古典概型与统计的综合

　求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

—

  ↓

—

  ↓

—

  ↓

—

　(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ⅱ)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[解]　(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，

由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．

(ⅱ)由表格知，符合题意的所有可能结果为

{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．

　1.移动公司拟在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率．

(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率．

[解]　(1)设事件A为“从中任选1 人获得优惠金额不低于300元”，则P(A)＝＝.

(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个．

其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个．则P(B)＝.故这2人获得相等优惠金额的概率为.

2．某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；

(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；

(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．

[解]　(1)由题意知，样本数据的平均数

＝＝12.

(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×＝30(个).

(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，

记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，

故所求概率P(M)＝.

(对应学生用书第195页)

数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，纵观近几年高考，概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新．同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开．下面通过对典型例题的剖析，让同学们增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养．

以古代文化经典为素材

【例1】　中国古代四大艺术，琴棋书画，源远流长，相传尧舜以棋教子，在春秋、战国时期，围棋已广为流行．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)

A.　　　　B．　　　　C．　　　　D．1

C　[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．

所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.]

[评析]　以中国古代四大艺术为载体，渗透中国传统文化艺术，涉及世界人文知识，可将实际问题转化为数学中的古典概型问题，结合古典概型及互斥事件的概率给与解答．

【素养提升练习】　1.(2019·贵阳一模)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为(　　)

A.    B．    C．    D．

A　[分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.]

2.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为(　　)

A.    B．    C．    D．

A　[金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为＝，故选A.]

3．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(　　)

A.    B．    C．    D．

C　[基本事件总数n＝A＝720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：

第一节是数，有：AA＝72种排法，第二节是数，有：A－CACA＝84种排法，

∴m＝72＋84＝156，

则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p＝＝＝.故选C.]

4．(2019·宝鸡模拟)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

A　[先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有C种选法，在计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率．

从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有C＝84种选法，其和等于15的三个数的种类共有8种，即：(图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为15).故其和等于15的概率是：＝，故选A.]

以数学家为素材

【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

C 　[不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝＝，故选C.]

[评析]　以我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得的成果为载体，展现了我国数学家在数学领域中的地位，可将实际问题转化为数学中的古典概型问题，结合古典概型解答．

【素养提升练习】　1.我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

B　[a＝3，b＝4，由题意得c＝5，因为大正方形的边长为a＋b＝3＋4＝7，小正方形的边长为c＝5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为1－＝.故选B.]

2．费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22n＋1的素数(如：220＋1＝3)为费马素数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

B　[在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数n＝15，能表示为两个不同费马素数的和的只有8＝3＋5，20＝3＋17，22＝5＋17，共有3个．

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P＝＝.]

以新时代气息为背景

【例3】　现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是(　　)

A.    B．    C．    D．

D　[把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有1种，故所求概率为.]

[评析]　以“中国梦”为载体，展现了中国特色社会主义新时代的气息，将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌中，可结合古典概型解答．

【素养提升练习】　1.2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3＋1＋2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．一名同学随机选择3门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为(　　)

A.    B．    C．    D．

B　[由题意可知总共情况为CC＝12，满足情况为C＝3，∴该同学选到物理、地理两门功课的概率为P＝＝.故选B.]

2．(2019·甘肃天水一中模拟)为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是(　　)

A.0.3    B．0.4    C．0.6    D．0.7

D　[由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有C＝10种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为2C＋C＝7.由古典概型概率公式可得P(A)＝＝＝0.7.故选D.]

3．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．

　[由于知识竞赛有五个板块，所以共有C＝10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为C＝4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P(A)＝.]