2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第11章第2节　古典概型

第二节　古典概型

[最新考纲]　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

(对应学生用书第191页)

1．古典概型

具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；

(2)每一个试验结果出现的可能性相同．

2．古典概型的概率公式

P(A)＝＝.

确定基本事件个数的三种方法

(1)列举法：此法适合基本事件较少的古典概型．

(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．

(3)树状图法：适合有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．                            (　　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．                            (　　)

(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．                            (　　)

(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤的概率是多少”是古典概型．                            (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本事件个数为(　　)

A．4 B．5　　　　

C．6　　　　 D．7

C　[任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，故选C.]

2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

A　[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.]

3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．

　[从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为.]

4．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是________．

　[由题意，知基本事件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9种，其中2次取出的球颜色相同有3种，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－＝.]

(对应学生用书第191页)

⊙考点1　古典概型的概率计算

　求古典概型概率的步骤

(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．

(1)(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

(2)(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

(1)B　(2)D　[(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．

故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.

(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．

由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.]

(3)(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

①应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

②抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

a.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

b．设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

[解]　①由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．

②a.从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．

b．由表格知，符合题意的所有结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．

所以，事件M发生的概率P(M)＝.

　求古典概型概率的关键是列出所有可能的结果．

[教师备选例题]

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

[解](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝＝.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.

　1.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．

　[法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.

法二：同方法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝.]

2．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．

所以事件M发生的概率P(M)＝.

⊙考点2　古典概型与其他知识的交汇问题

　求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

　古典概型与平面向量相结合

　从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

A　[由题意可知，向量m＝(a，b)的所有可能结果有：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为.]

　解答本题的关键是根据向量m与n共线，得到a与b的关系，再从所有基本事件中找出满足条件的基本事件的个数．

　古典概型与解析几何相结合

　将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

　[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.]

　解答本题的关键是根据直线与圆有公共点得到a≤b.再从所有基本事件中找出满足a≤b的基本事件的个数．

　古典概型与方程、不等式、函数相结合

　已知a＝log0.55，b＝log32，c＝20.3，d＝，从这四个数中任取一个数m，使函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋2有极值点的概率为(　　)

A. B. 

C. D．1

B　[f′(x)＝x2＋2mx＋1，

由题意知Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1，

而a＝log0.55＜－2,0＜b＝log32＜1，c＝20.3＞1，

0＜d＝＜1，满足条件的有两个，分别是a，c.

因此所求的概率为P＝＝，故选B.]

　解答本题的关键是根据函数f(x)有极值点得到m的取值范围，再根据m的取值范围确定满足条件的个数．

　1.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

C　[函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C.]

2．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

A　[有序数对(m，n)的所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以P(A)＝＝.故选A.]

3．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

C　[投掷骰子两次，所得的点数a和b满足的关系为∴a和b的组合有36种，若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，∴b2≥4a.

当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.

满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝，故选C.]