2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第2章第5节二次函数性质的再研究与幂函数

第五节　二次函数性质的再研究与幂函数

[最新考纲]　1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.2.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图像，了解它们的变化情况．

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图像与性质

2．幂函数

(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

(2)五种常见幂函数的图像与性质

1．幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论

(1)恒过点(1,1)；

(2)当x∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．

2．研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[m，n](m＜n)上的单调性与值域时，分类讨论－与m或n的大小．

3．与二次函数有关的恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＞0且Δ＜0”．

(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是“a＜0且Δ＜0”．

(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)

(2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)

(3)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)

(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　)

(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√

二、教材改编

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝(　　)

A．　　 B．1　　　　

C．　　 D．2

C　[因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图像过点，所以α＝，解得α＝，则k＋α＝.]

2．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c＜b＜a

B．a＜b＜c

C．b＜c＜a

D．a＜c＜b

D　[根据幂函数的性质，可知选D.]

3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是

(　　)

A．a≥3 B．a≤3

C．a＜－3 D．a≤－3

D　[函数f(x)＝x2＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]

4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．

[－1,3]　[∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，

∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，

又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，

∴g(x)max＝3，

即g(x)的值域为[－1,3]．]

考点1　幂函数的图像及性质

　幂函数的性质与图像特征的关系

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.

　1.幂函数y＝f(x)的图像经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D　[设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝，解得α＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]

2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)

A．－2　　　　　 B．1

C．1或－2 D．m≠

B　[因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，

所以

解得m＝1.]

3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c B．c＜a＜b

C．b＜c＜a D．b＜a＜c

D　[因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝＞b＝

，因为y＝x是减函数，

所以a＝＜c＝，所以b＜a＜c.]

4．若(a＋1)＜(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

　[易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，

所以解得－1≤a＜.]

　在比较幂值的大小时， 必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T3.

考点2　求二次函数的解析式

　求二次函数解析式的策略

　[一题多解]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解]　法一：(利用二次函数的一般式)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二：(利用二次函数的顶点式)

设f(x)＝a(x－m)2＋n.

∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，

∴y＝f(x)＝a2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：(利用零点式)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

　求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．

　1.已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标是(－2，－1)，且图像经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.

x2＋x－　[法一：(一般式)设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由已知得解得

所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.

法二：(顶点式)设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.

由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，

将点(1,0)代入，得a＝，所以f(x)＝(x＋2)2－1，

即f(x)＝x2＋x－.]

2．已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝________.

x2－4x＋3　[∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，

∴f(x)的对称轴为x＝2.

又∵f(x)的图像被x轴截得的线段长为2，

∴f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．

又∵f(x)的图像经过点(4,3)，

∴3a＝3，a＝1.

∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，

即f(x)＝x2－4x＋3.]

考点3　二次函数的图像与性质

　解决二次函数图像与性质问题时应注意2点

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．

　二次函数的图像

　已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是(　　)

　　　　　           　A　　　　　　　　　B

　　　　　　          C　　　　 　　　　　D

D　[A项，因为a＜0，－＜0，所以b＜0.

又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D.]

　识别二次函数图像应学会“三看”

　二次函数的单调性

　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0) B．(－∞，－3]

C．[－2,0] D．[－3,0]

D　[当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意．

当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，

由f(x)在[－1，＋∞)上递减知

解得－3≤a＜0.

综上，a的取值范围为[－3,0]．]

[母题探究]　若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.

－3　[由题意知f(x)必为二次函数且a＜0，又＝－1，∴a＝－3.]

　二次函数单调性问题的求解策略

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．

　二次函数的最值问题

　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．

[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图像的对称轴为x＝1.当t＋1＜1，即t＜0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；

当t＞1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.

综上可知，f(x)min＝

　 　            图(1)　　　 　图(2)　　　　图(3)

[逆向问题]　已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．

－1或2　[函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.

当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，

所以1－a＝2，所以a＝－1.

当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，

所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，

所以a＝(舍去)．

当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.

综上可知，a＝－1或a＝2.]

　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．

　二次函数中的恒成立问题

　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________；

(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．

(1)　(2)(－∞，1)　[(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，

则有

即

解得－＜m＜0.

(2)由题意得x2＋x＋1＞k在区间[－3，－1]上恒成立．

设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

则g(x)在[－3，－1]上递减．

∴g(x)min＝g(－1)＝1.

∴k＜1.故k的取值范围为(－∞，1)．]

　由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

[教师备选例题]

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．

[解]　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，

且－＝－1，解得a＝1，b＝2，

所以f(x)＝(x＋1)2.

所以F(x)＝

所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.

(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，

即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．

又当x∈(0,1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.

故b的取值范围是[－2,0]．

　1.若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是(　　)

　 　             A　　 　 B　　　　C　　　　D

C　[因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以a＜0，b＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x＝－＜0，只有选项C适合．]

2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)

A．(0,4] B．

C． D．

C　[y＝x2－3x＋4＝2＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图像的对称性知≤m≤3，故选C.]

3．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．

[0,2]　[依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图像的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a＞0，即函数图像的开口向上，所以f(0)＝f(2)，

则当f(m)≤f(0)时，

有0≤m≤2.]