2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第2章第1节函数及其表示

第一节　函数及其表示

[最新考纲]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

1．函数与映射的概念

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

数集A叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法：

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

1．常见函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于0.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)零次幂的底数不能为0.

(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}．

(7)y＝tan x的定义域为.

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.

(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．

(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)

(3)函数是一种特殊的映射．(　　)

(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．(　　)

(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

二、教材改编

1．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)

　               　A　　　B　　　  C　　 　　D

B　[由函数定义可知，选项B正确．]

2．函数y＝＋的定义域为(　　)

A.　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞)

C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)

C　[由题意知

解得x≥且x≠3.]

3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)

A．y＝()2 B．y＝＋1

C．y＝＋1 D．y＝＋1

B　[y＝＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]

4．设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.

　[f(3)＝，f(f(3))＝f＝2＋1＝＋1＝.]

5．已知函数f(x)＝，若f(a)＝5，则实数a的值为________．

12　[由f(a)＝5得＝5，解得a＝12.]

考点1　求函数的定义域

　已知函数解析式求定义域

　已知函数的具体解析式求定义域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．

(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．

　1.(2019·济南模拟)函数y＝ln(2－x)的定义域为(　　)

A．(0,2)　　　　　 B．[0,2)

C．(0,1] D．[0,2]

B　[由题意知，x≥0且2－x＞0，解得0≤x＜2，

故其定义域是[0,2)．]

2．函数f(x)＝的定义域为________．

∪(2，＋∞)　[要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，故所求函数的定义域是∪(2，＋∞)．]

[逆向问题]　若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

－　[∵函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}．

∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}．

可知a＜0，不等式化为a(x－1)(x－2)≥0，

即ax2－3ax＋2a≥0.

∴即∴a＋b＝－.]

　求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接．(如T2)

　抽象函数的定义域

　抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

　已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．

[1,3]　[由题意知

解得1≤x≤3.

故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．]

[逆向问题]　已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

[－1,2]　[因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]

　函数f(g(x))的定义域为自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．(如本例[逆向问题])

　1.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(　　)

A． B．

C． D．

A　[由题意可知解得∴－＜x＜1，故选A.]

2．函数f(x－1)的定义域为[0,2 020]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[－2,1)∪(1,2 018]　[∵函数f(x－1)的定义域为[0，2 020]，∴－1≤x－1≤2 019.

∴要使函数g(x)有意义，则

解得－2≤x≤2 018且x≠1.

∴函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 018]．]

3．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．

[－2,2]　[∵函数f(x)＝的定义域为R，

∴a2－4≤0，即－2≤a≤2.]

考点2　求函数的解析式

　求函数解析式的4种方法及适用条件

(1)待定系数法

先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．

(2)换元法

对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．

(3)配凑法

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)解方程组法

已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

　(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；

(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．

[解]　(1)法一：(待定系数法)

因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，

所以解得

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法二：(换元法)

令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝，

所以f(t)＝42－6·＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，

所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

法三：(配凑法)

因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．

(2)(解方程组法)

由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，

即f(x)＝.

故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R)．

　谨防求函数解析式的2种失误

(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．

(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．

如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．

　1.如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)

A． B．

C. D．－1

B　[(换元法)令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，

∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，

∴f(x)＝(x≠0且x≠1)．]

2．已知f＝＋，则f(x)＝(　　)

A．(x＋1)2 B．(x－1)2

C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1

C　[(配凑法)f＝＋＝2－＋1，所以f(x)＝x2－x＋1.]

3．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.

2x－(x≠0)　[(解方程组法)∵2f(x)＋f＝3x，①

把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②

联立①②可得

解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．]

4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

[解]　(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．

考点3　分段函数

　求函数值

　解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题．

　(1)(2019·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f(f(1))＝

(　　)

A．－　　 B．2　　 　

C．4　　 D．11

(2)(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝(0＜a＜1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)

A．－2 B．2 

C．3 D．－3

(1)C　(2)B　[(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4.故选C.

(2)由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①

f(－1)＝a－1＋b＝3，②

联立①②，结合0＜a＜1，得a＝，b＝1，

所以f(x)＝

则f(－3)＝－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.]

　求分段函数的函数值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．

(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

[教师备选例题]

已知函数f(x)＝则f的值为(　　)

A．－1　 B．1　　　

C．　 D．

B　[依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.故选B.]

　求参数或自变量的值

　解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．

　(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.

(2)设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.

(1)－　(2)　[(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；

当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，

解得a＝7，

所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－.

(2)当a＞0时，f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝(a＝0与a＝－舍去)．当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．故a＝.]

　求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图像，数形结合求解，即f(a)＝0或f(a)＝－2，从而求得a的值．

　分段函数与方程、不等式问题

　解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图像比较容易画出，也可以画出函数图像后，结合图像求解．

　(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)

C．(－1,0) D．(－∞，0)

D　[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图像如图所示，

结合图像可知，要使f(x＋1)<f(2x)，

则需或

所以x<0，故选D.]

　本例借助图像较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况．

[教师备选例题]

设函数f(x)＝则满足f(x)＋f＞1的x的取值范围是________．

　[根据分段函数的性质分情况讨论，当x≤0时，则f(x)＋f＝x＋1＋x－＋1＞1，解得－＜x≤0.当x＞0时，根据指数函数的图像和性质以及一次函数的性质与图像可得，f(x)＋f＞1恒成立，所以x的取值范围是.]

　1.已知f(x)＝则f ＋f 的值等于(　　)

A．－2　　 B．4　　　

C．2　　 D．－4

B　[由题意得f ＝2×＝，

f ＝f ＝f ＝2×＝，

所以f ＋f ＝4.]

2．已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是(　　)

A. B．{1,4}

C. D．

A　[由f(x)＝2得①或②由①知无解．由②得x＝或x＝4.故选A.]

3．(2019·深圳模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)＜0的解集是________．

(1,4)　[不等式f(x)＜0等价于

或

即2≤x＜4或1＜x＜2，

故不等式f(x)＜0的解集为(1,4)．]

课外素养提升①　数学抽象——函数的新定义问题

以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．

【例】　(2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图像恰好经过n(n∈N＋)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：

①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；

③h(x)＝x；④φ(x)＝ln x.

其中是一阶整点函数的是(　　)

A．①②③④　　　 B．①③④

C．①④ D．④

C　[对于函数f(x)＝sin 2x，它的图像(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；

对于函数g(x)＝x3，它的图像(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；

对于函数h(x)＝x，它的图像(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.]

[评析]　本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图像恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．

【素养提升练习】　1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有(　　)

A．1个　 B．2个 

C．3个　 D．4个

C　[由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]

2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是(　　)

A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x

C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x

D　[A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.]