2021高三数学北师大版(文)一轮教师用书:第10章第1节 算法与算法框图
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1.考查形式 本章在高考中一般考查1道小题和1道解答题,分值约占16分. 2.考查内容 高考中小题重点考查随机抽样、算法框图及用样本估计总体,解答题重点考查独立性检验、回归分析和样本估计总体. 3.备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 ①随机抽样、算法框图和变量的相关性的定义及应用问题; ②用样本的频率分布、数字特征估计总体的频率分布、数字特征; ③回归分析、独立性检验问题 (2)重视函数与方程、数形结合思想的应用. |
第一节 算法与算法框图
[最新考纲] 1.了解算法的含义,了解算法的思想.2.理解算法框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、选择结构、循环结构.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
(对应学生用书第173页)
1.算法的含义
算法是解决某类问题的一系列步骤或程序,只要按照这些步骤执行,都能使问题得到解决.
2.算法框图
在算法设计中,算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤,算法框图的三种基本结构:顺序结构、选择结构、循环结构.
3.三种基本逻辑结构
(1)顺序结构:按照步骤依次执行的一个算法,称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构.
其结构形式为
(2)选择结构:需要进行判断,判断的结果决定后面的步骤,像这样的结构通常称作选择结构.
其结构形式为
(3)循环结构:指从某处开始,按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为循环体.
其基本模式为
4.基本算法语句
任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句,它们分别是:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句.
5.赋值语句
(1)一般形式:变量=表达式.
(2)作用:将表达式所代表的值赋给变量.
6.条件语句
(1)If—Then—Else语句的一般格式为:
(2)If—Then语句的一般格式是:
7.循环语句
1.注意区分处理框与输入框,处理框主要是赋值、计算,而输入框只是表示一个算法输入的信息.
2.循环结构中必有选择结构,其作用是控制循环进程,避免进入“死循环”,是循环结构必不可少的一部分.
3.注意区分当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”,而当型循环则是“先判断,后循环,条件满足时执行循环”.两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的,它们恰好相反.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算. ( )
(2)一个算法框图一定包含顺序结构,也包含选择结构和循环结构. ( )
(3)一个循环结构一定包含选择结构. ( )
(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止. ( )
[答案](1)× (2)× (3)√ (4)×
二、教材改编
1.执行如图所示的算法框图,则输出S的值为( )
A.- B. C.- D.
D [按照算法框图依次循环运算,当k=5时,停止循环,当k=5时,S=sin=.]
2.根据给出的算法框图,计算f(-1)+f(2)=( )
A.0 B.1
C.2 D.4
A [f(-1)=4×(-1)=-4,f(2)=22=4,∴f(-1)+f(2)=-4+4=0.]
3.如图为计算y=|x|函数值的算法框图,则此算法框图中的判断框内应填________.
x<0? [由y=|x|=知,判断框内应填x<0?.]
4.执行如图所示的算法框图,则输出的结果为________.
4 [进行第一次循环时,S==20,i=2,S=20>1;
进行第二次循环时,S==4,i=3,S=4>1;
进行第三次循环时,S=,i=4,S=<1,
此时结束循环,输出i=4.]
(对应学生用书第175页)
⊙考点1 顺序结构和选择结构
顺序结构和选择结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.解决此类问题,只需分清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可.
(2)选择结构中条件的判断关键是明确选择结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断.
(3)对于选择结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
1.(2019·长沙模拟)对于任意点P(a,b),要求P关于直线y=x的对称点Q,则算法框图中的①处应填入( )
A.b=a B.a=m
C.m=b D.b=m
D [因为(a,b)与(b,a)关于y=x对称,所以通过赋值,a赋值到m,b赋值给a,那么m赋值给b,完成a,b的交换,所以①处应该填写b=m,故选D.]
2.如图所示的算法框图,其作用是输入x的值,输出相应的y值,若x=y,则这样的x的值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C [当x≤2时,令y=x2=x⇒x(x-1)=0,解得x=0或x=1;当2<x≤5时,令y=2x-4=x⇒x=4;当x>5时,令y==x,无解.综上可得,这样的x的值有3个.]
对于第2题,应分三种情况求解.
⊙考点2 循环结构
与循环结构有关的问题的常见类型及解题策略
(1)已知算法框图,求输出的结果,可按算法框图的流程依次执行,最后得出结果.
(2)完善算法框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
(3)对于辨析算法框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断.
由算法框图求输出(输入)的结果
(1)(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的算法框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于( )
A.2- B.2-
C.2- D.2-
(2)执行如图所示的算法框图,如果输出的n=2,那么输入的a的值可以为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
(1)C (2)D [(1)ε=0.01,
x=1,s=0,s=0+1=1,x=,x<ε不成立;
s=1+,x=,x<ε不成立;
s=1++,x=,x<ε不成立;
s=1+++,x=,x<ε不成立;
s=1++++,x=,x<ε不成立;
s=1+++++,x=,x<ε不成立;
s=1++++++,x=,x<ε成立,
此时输出s=2-,故选C.
(2)执行算法框图,输入a,P=0,Q=1,n=0,此时P≤Q成立,P=1,Q=3,n=1,此时P≤Q成立,P=1+a,Q=7,n=2.因为输出的n的值为2,所以应该退出循环,即P>Q,所以1+a>7,结合选项,可知a的值可以为7,故选D.]
按照算法框图的运算次序进行,及时检验运行条件是否成立.
[教师备选例题]
(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的算法框图,如果输入的a=-1,则输出的S=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B [当K=1时,S=0+(-1)×1=-1,a=1,执行K=K+1后,K=2;
当K=2时,S=-1+1×2=1,a=-1,执行K=K+1后,K=3;
当K=3时,S=1+(-1)×3=-2,a=1,执行K=K+1后,K=4;
当K=4时,S=-2+1×4=2,a=-1,执行K=K+1后,K=5;
当K=5时,S=2+(-1)×5=-3,a=1,执行K=K+1后,K=6;
当K=6时,S=-3+1×6=3,执行K=K+1后,K=7>6,输出S=3.结束循环.
故选B.]
完善算法框图
(1)(2019·全国卷Ⅰ)下图是求的算法框图,图中空白框中应填入( )
A.A= B.A=2+
C.A= D.A=1+
(2)(2019·武汉模拟)执行如图所示的算法框图,如果输入的a依次为2,2,5时,输出的s为17,那么在判断框中可以填入( )
A.k<n? B.k>n? C.k≥n? D.k≤n?
(1)A (2)B [(1)对于选项A,第一次循环,A=,k=2;第二次循环,A=,此时k=3,不满足k≤2,输出A=的值.故A正确;经验证选项B,C,D均不符合题意.故选A.
(2)执行算法框图,输入的a=2,s=0×2+2=2,k=1;输入的a=2,s=2×2+2=6,k=2;输入的a=5,s=2×6+5=17,k=3,此时结束循环,又n=2,所以判断框中可以填“k>n?”,故选B.]
对于本例(1)可通过验证的方法得到答案.
[教师备选例题]
(2018·全国卷Ⅱ)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图所示的算法框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1 B.i=i+2
C.i=i+3 D.i=i+4
B [由题意可将S变形为S=-,则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.]
辨析算法框图的功能
如图所示的算法框图,该算法的功能是( )
A.计算(1+20)+(2+21)+(3+22)+…+(n+1+2n)的值
B.计算(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)的值
C.计算(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)的值
D.计算[1+2+3+…+(n-1)]2+(20+21+22+…+2n)的值
C [初始值k=1,S=0,第1次进入循环体时,S=1+20,k=2;当第2次进入循环体时,S=1+20+2+21,k=3,…;给定正整数n,当k=n时,最后一次进入循环体,则有S=1+20+2+21+…+n+2n-1,k=n+1,终止循环体,输出S=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1),故选C.]
解答此类题目,一般是运行2次或3次程序,找出规律,然后结合选项,给出答案.
1.(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的算法框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )
A.A>1 000?和n=n+1
B.A>1 000?和n=n+2
C.A≤1 000?和n=n+1
D.A≤1 000?和n=n+2
D [因为题目要求的是“满足3n-2n>1 000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由算法框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1 000?”.故选D.]
2.如果执行如图的算法框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则( )
A.A+B为a1,a2,…,aN的和
B.为a1,a2,…,aN的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
C [由于x=ak,且x>A时,将x值赋给A,因此A为a1,a2,…,aN中最大的数;由于x=ak,且x<B时,将x值赋给B,因此B为a1,a2,…,aN中最小的数,故选C.]