2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章第1节　空间几何体的结构特征、三视图和直观图

第一节　空间几何体的结构特征、三视图和直观图

[最新考纲]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

(对应学生用书第121页)

1．旋转体的形成

2.多面体的结构特征

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：

①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；  

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.

4．三视图

(1)三视图的画法规则：

主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．

(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：

①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．

1．特殊的四棱柱

2．球的截面的性质

(1)球的任何截面是圆面；

(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.

3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：

S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． (　　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (　　)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．  (　　)

(4)菱形的直观图仍是菱形．  (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．下列说法正确的是(　　)

A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

D　[根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]

2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

B　[俯视图中显然应有一个被遮挡的图，所以内部为虚线，故选B.]

3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为(　　)

A．2,2　　 B．2，2

C．4,2 D．2,4

D　[由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，故底面边长为4，故选D.]

4．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是(　　)

A．三棱锥 B．四棱锥

C．三棱柱 D．组合体

B　[如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.

]

(对应学生用书第122页)

⊙考点1　空间几何体的结构特征

　空间几何体概念辨析题的常用方法

　1.下列结论正确的是(　　)

A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B．六条棱长均相等的四面体是正四面体

C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台

B　[底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．]

2．下列命题正确的是(　　)

A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．存在每个面都是直角三角形的四面体

C．直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

B　[如图1所示，可排除A，如图2所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC.四个面都是直角三角形，故B正确．

图1　　　　　　　　图2

选项C中，应以直角腰所在直线为旋转轴，故C错．

选项D中，只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．故选B.]

3．下列结论正确的是   (　　)

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转

形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

D　[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

图1　　　　　　　　　　图2

B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．

C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]

　把一摞书摆成长方体形状，沿一个方向轻轻一推，成为一个平行六面体，此时平行六面体有两个平行的面是矩形．

⊙考点2　空间几何体的三视图

　已知几何体识别三视图

　识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

(2)根据三视图的有关定义和规则先确定主视图，再确定俯视图，最后确定左视图；

(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．

　(1)(2019·武汉模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A­BCD的主视图、俯视图是(注：选项中的上图为主视图，下图为俯视图)(　　)

A　　　B　　　　C　　　　D

(2)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

(1)A　(2)A　[(1)主视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.

(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]

　画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的实虚．

　已知三视图判断几何体特征

　由三视图确定几何体的步骤

(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1 B．2　　　　

C．3　　　　 D．4

(2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2 B．2 

C．3 D．2

(1)C　(2)B　[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P­ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.

(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．

图1　　　　　　　　　　图2

圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝×16＝4，OM＝2，

∴MN＝＝＝2.

故选B.]

　有三条侧棱互相垂直的三棱锥、四棱锥，都可把它们放置在长方体或正方体中来解决问题．

　由三视图中的部分视图确定剩余视图

　由几何体的部分视图确定剩余视图的方法

解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．

　如图是一个空间几何体的主视图和俯视图，则它的左视图为  (　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D

A　[由主视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合主视图的宽及俯视图的直径可知左视图应为A，故选A.]

　根据主视图和俯视图的长、宽，可知道左视图的长、宽．

　1.如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其主视图的是 (　　)

A　　　B　　　　C　　　　D

C　[根据该几何体的直观图和俯视图知，其主视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.故选C.]

2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)

A．10 B．12 

C．14 D．16

B　[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.]

⊙考点3　空间几何体的直观图

1．用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．

2．原图形与直观图面积的关系

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观图．

　(1)[一题多解]已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为(　　)

A. B. 

C. D．2

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)

A．正方形 B．矩形

C．菱形 D．一般的平行四边形

(1)C　(2)C　[(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，

因为OE＝＝1，

所以O′E′＝，E′F′＝.

所以直观图A′B′C′D′的面积为

S′＝×(1＋3)×＝，

故选C.

法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝×(1＋3)×1＝2.

由S直观图＝S原图形，

得S直观图＝×2＝，故选C.

(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.

所以OC＝＝＝6(cm)，

所以OA＝OC，由题意得OA BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]

　在画直观图或原图时，应先确定坐标轴上的点，非坐标轴上的点，应通过与x轴或y轴平行的线段来确定．

1．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．

2＋　[把直观图还原，原平面图形如图所示：

在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝＋1，AD＝1，

所以面积为(2＋)×2＝2＋.]

2．如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.

8　[由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]