2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第3章第1节　变化率与导数、导数的计算

第一节　变化率与导数、导数的计算

[最新考纲]　1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

(对应学生用书第39页)

1．导数与导函数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，用f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ .

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：

f′(x)＝ ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．

2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)＝(g(x)≠0)．

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．

3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　)

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．  (　　)

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　　)

(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x． (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)

A．xsin x　　　 B．－xsin x

C．xcos x D．－xcos x

B　[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．]

2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)

A．－9　　　B．－3  C．9　　　D．15

C　[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C.]

3．函数y＝f(x)的图像如图，则导函数f′(x)的大致图像为(　　)

A　　　　B　　 　　C　　　　D

B　[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]

4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.

－9.8t＋6.5　－9.8　[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]

(对应学生用书第40页)

⊙考点1　导数的计算

(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．

(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．

　已知函数解析式求函数的导数

　求下列各函数的导数：

(1)y＝x；(2)y＝tan x；

(3)y＝2sin2－1.

[解](1)先变形：y＝x，

再求导：y′＝(x)′＝x.

(2)先变形：y＝，再求导：

y′＝′＝＝.

(3)先变形：y＝－cos x，

再求导：y′＝－(cos x)′＝－(－sin x)＝sin x.

　求导之前先对函数进行化简减小运算量．如本例(1)(3)．

　抽象函数求导

　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.

－4　[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，

∴f′(1)＝2＋2f′(1)，

∴f′(1)＝－2，

∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]

　赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．

　1.已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．

e　[由题意得f′(x)＝exln x＋ex·，则f′(1)＝e.]

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.

－　[因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.]

3．求下列函数的导数：

(1)y＝cos x－sin x；

(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(3)y＝.

[解](1)y′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x.

(2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)

＝(x2＋3x＋2)(x＋3)

＝x3＋6x2＋11x＋6，

∴y′＝3x2＋12x＋11.

(3)y′＝＝

＝.

⊙考点2　导数的几何意义

　导数几何意义的应用类型及求解思路

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．

(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．

　求切线方程

(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．

(1)3x－y＝0　(2)x－y－1＝0　[(1)∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.

(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，

∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.

∴由解得x0＝1，y0＝0.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.]

(1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0,0)”，本例(2)是“过点(0，－1)”，要注意二者的区别．

　求切点坐标

　(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．

(e,1)　[设A(x0，y0)，由y′＝，得k＝，

所以在点A处的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．

因为切线经过点(－e，－1)，

所以－1－ln x0＝(－e－x0)．所以ln x0＝，

令g(x)＝ln x－(x＞0)，

则g′(x)＝＋，则g′(x)＞0，

∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数．

又g(e)＝0，∴ln x＝有唯一解x＝e.

∴x0＝e.∴点A的坐标为(e,1)．]

　f′(x)＝k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．

　求参数的值

(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1　　　 B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1

(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m＝________.

(1)D　(2)－2　[(1)∵y′＝aex＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切点为(1,1)，

将(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，

∴b＝－1，故选D.

(2)∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.

又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.

g′(x)＝x＋m，

设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，

∴m＝－2.]

　已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．

　导数与函数图像

(1)已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是(　　)

(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

(1)B　(2)0　[(1)由y＝f′(x)的图像是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图像的切线的斜率先增大后减小，故选B.

(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.

∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

又由题图可知f(3)＝1，

∴g′(3)＝1＋3×＝0.]

　函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图像升降的快慢．

　1.曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．

2x＋y＋1＝0　[根据题意可知切点坐标为(0，－1)，

f′(x)＝＝，

故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，

则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，

即2x＋y＋1＝0.]

2．(2019·大同模拟)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是________．

y＝0或4x＋y＋4＝0　[设切点坐标为(x0，x)，

∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，

∴x＝2x0(x0＋1)，

解得x0＝0或x0＝－2，

∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，

即y＝0或4x＋y＋4＝0.]

3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.

1　[由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，

则

由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.]