2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第四章第1节曲线运动运动的合成与分解

第四章  曲线运动　万有引力与航天

[全国卷5年考情分析]

第1节　曲线运动　运动的合成与分解

一、曲线运动

1．速度方向：质点在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向。[注1]

2．运动性质：曲线运动一定是变速运动。[注2]

3．曲线运动的条件

二、运动的合成与分解

1．分解原则：一般根据运动的实际效果进行分解。

2．运算法则：位移、速度、加速度的合成或分解遵循平行四边形定则或三角形定则。

3．合运动与分运动的关系 [注3]

[注解释疑]

[注1] 速度方向时刻在变，但速度的大小可能不变。

[注2] 加速度不为零，合外力不为零。

a恒定→匀变速曲线运动，如平抛运动。

a改变→变加速曲线运动，如匀速圆周运动。

[注3] 实际运动为合运动。

[注4] 时间是分运动与分运动、分运动与合运动建立联系的关键量，即t是运动规律方程组所共有的“元”。

[深化理解]

1．物体做直线运动还是做曲线运动由物体的速度与合外力是否在同一直线上决定。

2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看合速度与合加速度是否在同一直线上。

3．运动的分解应考虑运动的实际效果，类似于力的分解考虑力的作用效果；但力的分解也常常考虑解题的方便不根据作用效果进行分解，运动的分解则常常沿两个互相垂直的方向分解，方便计算。

[基础自测]

一、判断题

(1)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。(×)

(2)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。(×)

(3)曲线运动可能是匀变速运动。(√)

(4)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)

(5)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)

(6)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)

(7)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(√)

二、选择题

1．(多选)关于曲线运动的性质，以下说法正确的是(　　)

A．曲线运动一定是变速运动

B．曲线运动一定是变加速运动

C．变速运动不一定是曲线运动

D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动

解析：选AC　曲线运动一定是变速运动，但不一定是变加速运动，A正确，B错误；变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，C正确；运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动不一定是直线运动，如匀速圆周运动，D错误。

2．[人教版必修2 P6演示实验改编]如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小铁球运动的说法正确的是(　　)

A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动

B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动

C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动

D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动

解析：选D　磁铁放在A处时，小铁球受磁力作用向前加速，逐渐靠近磁铁，磁力增大，加速度增大，故A、B均错误；磁铁放在B处时，小铁球受到的磁力与速度方向不共线，做曲线运动，因磁力的大小和方向均随距离的变化而变化，故加速度大小是变化的，C错误，D正确。

3．[人教版必修2 P7 T2改编](多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目。如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响。下列说法中正确的是(　　)

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

解析：选BC　水平方向的风力对竖直方向的运动没有影响，运动员下落时间与风力无关。无风时，运动员在水平方向速度为零，有风时，运动员在水平方向上因风力作用做加速运动，风力越大，着地时水平方向速度越大，着地速度也越大，故B、C正确，A、D错误。

高考对本节内容的考查，主要集中在曲线运动的特点及条件、应用运动的合成与分解处理小船过河以及关联速度问题，通常以选择题的形式呈现，难度一般。而运动的合成与分解知识可与能量、电磁场知识相结合，以计算题的形式呈现，难度较大。

考点一　物体做曲线运动的条件与轨迹分析[基础自修类]

[题点全练]

1．[曲线运动的条件及特点]

(多选)(2016·全国卷Ⅰ)一质点做匀速直线运动。现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则(　　 )

A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同

B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直

C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同

D．质点单位时间内速率的变化量总是不变

解析：选BC　质点原来做匀速直线运动，说明所受合外力为0，当对其施加一恒力后，恒力的方向与原来运动的速度方向关系不确定，则质点可能做直线运动，也可能做曲线运动，但加速度的方向一定与该恒力的方向相同，且加速度大小不变，选项B、C正确，A错误；由a＝可知，质点单位时间内速度的变化量Δv总是不变的，但速率的变化量不确定，D错误。

2．[曲线运动轨迹判断]

春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福。如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的(　　)

A．直线OA　　　　　　　　 B．曲线OB

C．曲线OC   D．曲线OD

解析：选D　孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，则合外力沿Oy方向，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知运动轨迹可能为曲线OD，故D正确。

3．[加速度方向与速率变化的关系]

如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直。在质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．质点经过C点的速率比经过D点的大

B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°

C．质点经过D点时的加速度比经过B点的大

D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小

解析：选A　质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，C错误；由于在D点时速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C到D速率减小，所以经过C点的速率比经过D点的大，A正确；质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角逐渐减小，D错误。

[名师微点]

(1)物体做曲线运动时，速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹凹侧，可以速记为“无力不弯，力速两边”。

(2)因为速度不能发生突变，所以曲线运动的轨迹也不能突变，除非速度和加速度同时减小为零并立刻开始沿其他方向加速运动。

考点二　运动的合成与分解的应用[师生共研类]

1．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

2．合运动的性质和轨迹的判断

(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。

(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。

[典例]　如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场。若飞机在水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前(　　)

A．飞机的运动轨迹为曲线

B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等

C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等

D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s

[解析]　由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝－v0xt19－axt192＝21 m，竖直位移y＝v0yt20＋ayt202－v0yt19－ayt192＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确。

[答案]　D

[延伸思考]

若飞机在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动。

(1)飞机的运动轨迹是直线还是曲线？

(2)当飞机竖直速度减为零时，飞机恰好着陆，则着陆前飞机的位移为多大？

提示：(1)飞机的初速度方向斜向下方，而加速度方向竖直向上，故飞机的运动轨迹为曲线。

(2)飞机竖直方向减速运动的时间t＝＝30 s，竖直方向的位移h＝t＝90 m 。

水平方向的位移x＝v水平·t＝1 800 m，故飞机在这段时间内的位移大小为s＝＝ m≈1 802 m。

 [题点全练]

1．[由运动特点分析运动轨迹]

在长约一米的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个大小适当的圆柱形红蜡块，玻璃管的开口端用胶塞塞紧，保证将其迅速竖直倒置时，红蜡块能沿玻璃管由管口匀速上升到管底。现将此玻璃管倒置安装在置于桌面上的小车上的同时，小车从A位置在恒力F作用下开始运动。经过一段时间后，小车运动到虚线表示的B位置。按照图中建立的坐标系，在这一过程中红蜡块实际运动的轨迹可能是(　　)

解析：选C　红蜡块在竖直方向做匀速直线运动，水平方向随小车一起向右做匀加速直线运动，合力沿水平向右方向，其运动轨迹应如题图C所示。故选项C正确。

2．[由分运动的图像分析物体的运动规律]

质量为2 kg的质点在x­y平面上运动，x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图所示，则质点(　　)

A．初速度为4 m/s

B．所受合外力为4 N

C．做匀变速直线运动

D．初速度的方向与合外力的方向垂直

解析：选B　由题图可知，质点在x轴方向的初速度为vx＝4 m/s，在y轴方向的初速度vy＝3 m/s，则质点的初速度v0＝＝5 m/s，故A错误；由题图可知，质点在x轴方向的加速度a＝2 m/s2，在y轴方向做匀速直线运动，所以质点所受合力F合＝ma＝4 N，故B正确；质点在x轴方向的合力恒定不变，在y轴方向做匀速直线运动，在y轴方向合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；质点的合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，所以质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误。

3．[利用运动轨迹分析运动时间问题]

如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动。现从t＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点。则t1∶t2为(　　)

A．2∶1　　　　　　　　 B．1∶

C．1∶   D．1∶(－1)

解析：选A　雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t1∶t2＝∶＝2∶1，选项A正确。

考点三　小船渡河模型[方法模型类]

[典例]　小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸。求：

(1)水流的速度；

(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。

[典例识模]

[解析]　(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。

由x＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s。

(2)船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示。

v2＝v1cos α

d＝v1sin α·t2

由图甲可得d＝v1t1

联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。

[答案]　(1)0.2 m/s　(2)0.33 m/s　200 m　53°

[系统建模]

1．小船渡河的两类模型

2．小船渡河模型的分析思路

[熟练用模]

1．[小船渡河轨迹分析]

如图所示，某河段两岸平行，越靠近中央水流速度越大，一条小船保持船头垂直于河岸的方向匀速航行。现沿水流方向及垂直于河岸方向建立直角坐标系xOy，则该小船渡河的大致轨迹是(　　)

解析：选C　小船垂直于河岸方向航行的速度不变，但水流速度越靠近中央越大，因此小船过河过程中先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，结合曲线运动的轨迹特点可知，加速度方向应指向轨迹的凹侧，故只有选项C正确。

2．[小船渡河的位移最短模型]

一小船过河时，船头与上游河岸夹角为α，其航线恰好垂直于河岸。已知小船在静水中的速度为v。现水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能准时到达河对岸，下列措施中可行的是(　　)

A．减小α角，减小船速v　　　　 B．减小α角，增大船速v

C．增大α角，增大船速v   D．增大α角，减小船速v

解析：选B　由题意可知，小船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，如图所示，当水流速度v1稍有增大，为保持航线不变，且准时到达对岸，则船速变化如图v′所示，可知B正确。

3．[小船渡河的两类模型对比分析]

有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v的大河。一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为。回程与去程所用时间之比为(　　)

A．3∶2　　　　　　　　　 B．2∶1

C．3∶1   D．2∶1

解析：选B　设河宽为d，则去程所用的时间t1＝＝；返程时的合速度：v′＝ ＝，回程的时间为：t2＝＝；故回程与去程所用时间之比为t2∶t1＝2∶1，选项B正确。

考点四　绳(杆)端速度分解模型[方法模型类]

[典例]　如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1<m2。若将m2从位置A由静止释放，当落到位置B时，m2的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ。这时m1的速度大小v1等于(　　)

A．v2sin θ　　　　　　　　　 B．

C．v2cos θ   D．

[解析]　物体m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，m1的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出m1的速度大小v1＝v2cos θ，C正确。

[答案]　C

[系统建模]

1．绳(杆)端速度的分解思路

2．四种常见的速度分解模型

[熟练用模]

1．[绳端速度分解模型]

如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A。汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是(　　)

A．将竖直向上做匀速运动

B．将处于超重状态

C．将处于失重状态

D．将竖直向上先加速后减速

解析：选B　设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α减小，v′增大，物块向上加速运动，A、D错误；物块加速度向上，处于超重状态，B正确，C错误。

2．[杆端速度分解模型]

如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙面和水平地面滑动。当AB杆和墙面的夹角为θ时，杆的A端沿墙面下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2。v1、v2的关系是(　　)

A．v1＝v2   B．v1＝v2cos θ

C．v1＝v2tan θ   D．v1＝v2sin θ

解析：选C　将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确。

3．[杆端速度分解模型的动态分析]

如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动。运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将(　　)

A．逐渐增大　　　　 B．先减小后增大

C．先增大后减小   D．逐渐减小

解析：选A　设经过时间t，∠OAB＝ωt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点运动的线速度v＝ω·。将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点运动的线速度v，则小环M的速度v′＝＝，随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故A正确，B、C、D错误。

4．[绳端、杆端速度分解的综合问题]

(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M。C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角)。此过程中下列说法正确的是(　　)

A．重物M做匀速直线运动

B．重物M做匀变速直线运动

C．重物M的最大速度是ωL

D．重物M的速度先增大后减小

解析：选CD　与杆垂直的速度v是C点的实际速度，vT是细绳的速度，即重物M的速度。设vT与v的夹角是θ，则vT＝vcos θ，开始时θ减小，则vT增大；当杆与细绳垂直(θ＝0)时，重物M的速度最大，为vmax＝ωL，然后再减小，C、D正确。

“STS问题”巧迁移——生活中的运动合成分解

(一)骑马射箭

1．(多选)民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则(　　)

A．运动员放箭处离目标的距离为

B．运动员放箭处离目标的距离为

C．箭射到固定目标的最短时间为

D．箭射到固定目标的最短时间为

[思维转换提示]　箭相对地面的速度(指向目标)是箭射出的速度v2(箭相对于马)与马前进速度v1的合速度，而且为保证箭在空中飞行时间最短，v2必须垂直于v1。

解析：选BC　要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为，C对，D错；运动员放箭处离目标的距离为，又x＝v1t＝v1·，故＝ ＝，A错，B对。

(二)转台投篮

2．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是(　　)

[思维转换提示]　篮球的实际速度是运动员投篮球的速度与运动员所在位置平台转动速度的合速度。

解析：选C　当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐。故C正确，A、B、D错误。

(三)下雨打伞

3．雨滴在空中以4 m/s的速度竖直下落，人打伞以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？

[思维转换提示]　雨滴相对于人的速度是雨滴下落的速度与地相对于人的速度(以3 m/s的速度向东)的合速度，伞柄的指向与合速度方向正对。

解析：雨滴相对于人的速度方向即为伞柄的指向。雨滴相对人有向东3 m/s的速度v1，有竖直向下的速度v2＝4 m/s，如图所示，雨滴对人的合速度v＝＝5 m/s。

tan α＝＝，即α＝37°。

答案：向西倾斜，与竖直方向成37°角

(四)风中骑车

4．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为(　　)

A．西北风　风速为4 m/s

B．西北风　风速为4  m/s

C．东北风　风速为4 m/s

D．东北风　风速为4  m/s

[思维转换提示]　风相对骑车人的速度是风相对于地的速度与地相对于自行车的速度的合速度。

解析：选D　以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速v＝4 m/s，D正确。