2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十　圆锥曲线的方程与性质

重点增分专题十　圆锥曲线的方程与性质
[全国卷3年考情分析]
年份
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
2018
椭圆的几何性质·T4
双曲线的几何性质·T6
双曲线的几何性质及点到直线的距离·T10
椭圆的定义及几何性质·T11
2017
双曲线的性质、三角形的面积公式·T5
双曲线的几何性质·T5
双曲线的标准方程、渐近线方程·T14
2016
椭圆的几何性质·T5
抛物线的基本性质·T5


(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～11题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等．
(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大．
保分考点·练后讲评
1.设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D　如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝.
2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于(　　)
A．8 B．4
C．2 D．8
解析：选A　由题意可知2b＝4，e＝＝，于是a＝2.∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，∴|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8.
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.
答案：4

[解题方略]　圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
[注意]　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评
[大稳定]
1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　易知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2.结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.
2.若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为，则椭圆的标准方程为________．
解析：设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
由已知得又a2＝b2＋c2，∴
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
3.若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．
解析：因为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6，
若设该点为P，则P(x0，±6)．
因为P到抛物线焦点F的距离为10，
根据抛物线的定义得x0＋＝10.①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝36x.
答案：y2＝4x或y2＝36x
[解题方略]　求解圆锥曲线标准方程的思路
定型
就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程
计算
即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)

[小创新]
1.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16.②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1.
2.抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)
A. B．－
C．± D．－



解析：选B　将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.
3.如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：
①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值；
②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称；
③曲线C所围区域的面积必小于36；
④曲线C的总长度不大于6π.
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，若点P在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.
答案：②③
增分考点·深度精研
[析母题]
[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.

(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为，△AOB的面积为2，则p＝(　　)
A．2 B．1
C．2 D．3
(3)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2(e为双曲线离心率)的值为________．
[解析]　(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
(2)不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为，得1＋＝e2＝5，解得＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±2x.又抛物线的准线方程为x＝－，则交点的坐标为A，B，所以|AB|＝2p.由△AOB的面积为2，得|AB|·＝2，即×2p×＝2，解得p＝2，故选A.

(3)如图所示，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|，
所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a.
所以|AF1|＝2a，
|AF2|＝2a－2a.
因为|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，
所以(2c)2＝(2a)2＋(2a－2a)2，
所以e2＝5－2.
[答案]　(1)D　(2)A　(3)5－2
[练子题]
1．本例(3)若变为：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.
解析：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，
因为△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.
由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a，
所以4a＝2m＋m，即m＝2(2－)a.
所以|AF2|＝2a－m＝(2－2)a.
因为|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2，
所以e2＝9－6.
答案：9－6
2．本例(3)若变为：F1，F2为双曲线的两个焦点，点A在双曲线上，且△AF2F1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．
解析：注意到|F2A|≠|F1A|，
不妨设|F2A|＞|F1A|.
因为△AF2F1为等腰直角三角形，
则|F2A|∶|F1F2|∶|F1A|＝∶1∶1.
所以e＝＝＝＝＋1.
答案：＋1
3．本例(3)中，若双曲线上存在一点P，使得＝，求双曲线离心率的取值 范围．
解：如图所示，
由
得|PF1|＝，
且|PF2|＝.
又由|PF1|≥a＋c，可得≥a＋c，即e2－2e－1≤0，
解得1－≤e≤＋1，又因为e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1]．
[解题方略]
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．

2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
[多练强化]
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
2．(2018·阜阳模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　∵F1，F2是椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，
∴F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2.
设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2.
联立方程组整理得，x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥.
又0＜e＜1，∴≤e＜1.
3．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
4．(2018·惠州调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立
解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2 答案：(1,2)
增分考点·广度拓展
[分点研究]
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
[例1]　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，
即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，
解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．


[解题方略]
1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定
通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论
直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．

题型二　直线与圆锥曲线的弦长
[例2]　已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长度的取值范围．
[解]　(1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，
所以b＝c＝1，即a＝＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝，
即M.
所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，
设点P(xP，yP)，令y＝0，得xP＝－.
因为xP∈，所以0＜k2＜.
|AB|＝
＝
＝＝.
因为0＜k2＜，
所以＜1＋＜2，即＜|AB|＜2.
故线段AB长度的取值范围是.
[解题方略]　直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法
解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝·＝·＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝ 求之．
[多练强化]
已知点M在椭圆G：＋＝1(a>b>0)上，且点M到两焦点的距离之和 为4.
(1)求椭圆G的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
解：(1)∵2a＝4，∴a＝2.
又点M在椭圆上，
∴＋＝1，解得b2＝4，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.　①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1 则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵AB是等腰△PAB的底边，∴PE⊥AB.
∴PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，
∴y1＝－1，y2＝2，∴|AB|＝3.
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，
∴△PAB的面积S＝|AB|·d＝.

数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解
[典例]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x 轴的上方)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若＝2，且直线l与圆O：x2＋y2＝相切于点N，求|MN|.
[解]　(1)由题意知
得(a2－4)(4a2－3)＝0，
又a2＝3＋b2＞3，故a2＝4，则b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m,0)，直线l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝2，得y1＝－2y2.
由得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝.
由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，
得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，
所以＝－22，
化简得(m2－4)(t2＋4)＝－8t2m2.
易知原点O到直线l的距离d＝，
又直线l与圆O：x2＋y2＝相切，
所以＝，即t2＝m2－1.
由
得21m4－16m2－16＝0，
即(3m2－4)(7m2＋4)＝0，
解得m2＝，此时t2＝，满足Δ＞0，
所以M.
在Rt△OMN中，|MN|＝＝.


[素养通路]
本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M，A，B的坐标及直线l的方程x＝ty＋m，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m与t的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M的坐标进而得|MN|.考查了数学运算这一核心素养．


A组——“6＋3＋3”考点落实练
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
2．一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.
3．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选B　设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1,2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.
4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B．2
C. D．2
解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.
5．已知双曲线x2－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．2＋1
解析：选C　设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4.

6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D.－1
解析：选D　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，
不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝，
由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，
2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，
所以离心率e＝＝＝－1.
二、填空题
7．已知双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，则其焦距为________．
解析：由渐近线方程y＝±x，可得＝，解得a＝，故c＝＝2，故焦距为4.
答案：4
8．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意可知，直线l过焦点，且垂直于x轴，将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±，
则|AB|＝，由|AB|＝2×2a，
则b2＝2a2，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：
9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为________．
解析：依题意易得抛物线的方程为y2＝4x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段MN的中点为(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1≠x2，由两式相减得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
三、解答题
10．(2018·石家庄模拟)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，故直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x1,2＝1±.
从而|AB|＝|x1－x2|＝2.
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝，
所以直线AB的方程为y＝x＋.

11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
12．已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
直线x＋ky－3＝0所经过的定点是(3,0)，
即点F(3,0)．
因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，
所以a＋3＝8，a＝5，所以b2＝52－32＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，
所以＋＝1，即n2＝16－.
又原点到直线l：mx＋ny＝1的距离d＝＝<1，
所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交．
则l2＝4(12－d2)＝4，
因为－5≤m≤5，所以≤l≤.
故直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围为.
B组——大题专攻补短练
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．
(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；
(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.
证明：直线AN与抛物线相切．
解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p.
又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1.
∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，
由消去y得，x2－2kpx－p2＝0.
∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.
其中A，B.
∴M，N.
∴kAN＝＝＝＝＝.
又x2＝2py，即y＝，∴y′＝.
∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.
∴直线AN与抛物线相切．
2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，·＝0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点．若k1，k2分别为直线MH，MG的斜率，求k1＋k2的值．
解：(1)由·＝0，得b＝c.①
因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，
且|AB|＝，所以＝.②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③，解得a2＝2，b2＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k－1，
将y＝kx－2k－1代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，
由题设可知Δ＝－16k(k＋2)>0，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－(2k＋1)＝－1，
所以k1＋k2＝－1.
3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求直线l的方程．
解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，
知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2.
此时直线l的方程为y＝±x＋1.
4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．
解：(1)由已知|AB|＝|BF|，
得 ＝a，
即4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
所以e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，
所以椭圆C的方程可化为＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由＋＝1，＋＝1，
可得＋＝0，
即＋＝0，
即＋(y1－y2)＝0，从而kPQ＝＝2，
所以直线l的方程为y－＝2，
即2x－y＋2＝0.
联立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0.
则Δ＝322＋16×17×(b2－4)>0⇔b>，
x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为OP⊥OQ，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0，
从而－＋4＝0，解得b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
综上，直线l的方程为2x－y＋2＝0，
椭圆C的方程为＋y2＝1.