2019版二轮复习数学（文）通用版讲义：第一部分第二层级重点增分专题十二　概　率

重点增分专题十二　概　率

 [全国卷3年考情分析]

(1)对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题．

(2)选择题或填空题常出现在第3～8题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般．

(3)概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率交汇考查，二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．

    保分考点·练后讲评

 [大稳定]

1.(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．0.6　　　　　　　　 B．0.5

C．0.4  D．0.3

解析：选D　设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为＝0.3.

2.从1,2,3,4,5,6中任取两个数，记第一个数为x，第二个数为y.则事件“x＋y＝5”的概率为________．

解析：从1,2,3,4,5,6中任取两个数x，y，则x＋y的所有结果如表所示：

从上表中可看出，基本事件共有36个，其中和为5的结果出现4次，所以所求概率P＝＝.

答案：

[解题方略]　求古典概型概率的两个关键点

(1)会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m；

(2)会运用古典概型的概率计算公式P(A)＝求事件A发生的概率．

[小创新]

1.已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b>0的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b>0，即x－2y>0，满足x－2y>0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝＝.

2.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C.

3.已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈(A∪B)”的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由已知得A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|－2<x<3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈(A∪B)”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝＝.

    保分考点·练后讲评

 [大稳定]

1.在[－1,2]内任取一个数a，则点(1，a)位于x轴下方的概率为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　在[－1,2]内任取一个数a，则点(1，a)位于x轴下方的概率为＝，故选C.

2.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　在区间[0,2]中随机取两个数，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中较大的数大于”为“这两个数都小于”的对立事件，且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于所构成的平面区域的面积为×＝，故两个数中较大的数大于的概率P＝1－＝.故选A.

3.已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于的概率为________．

解析：当四棱锥O­ABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则有×22×h＝，解得h＝.

如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.

因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，

又四棱锥P­ABCD与四棱锥P­EFGH相似，

所以四棱锥O­ABCD的体积不小于的概率为P＝＝3＝3＝.

答案：

[解题方略]　几何概型的适用条件及应用关键

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

[小创新]

1.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　如图，在单位圆中作其内接正六边形，

则所求概率P＝＝＝.

2.若不等式组表示的区域为Ω，不等式2＋y2≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为(　　)

A．114  B．10

C．150  D．50

解析：选A　作出平面区域Ω如图中△ABC.

则区域Ω的面积为S△ABC＝×3×＝，区域Γ表示以D为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′＝×2＋×2＝＋.

所以芝麻落入区域Γ的概率为＝.

所以落在区域Γ中芝麻数约为360×＝30π＋20≈114.

1.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过1的概率是(　　)

A．0.8　　　　　　　　　 B．0.6

C．0.4  D．0.2

解析：选A　设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1”，事件M为“所选3人中女生人数为1”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M，N是互斥事件．

4名男生分别记为1,2,3,4；2名女生分别记为a，b.

从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3,4}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{1，a，b}，{2,3,4}，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{2，a，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，{3，a，b}，{4，a，b}．

事件M所含的基本事件分别为{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，共12个，

所以P(M)＝＝；

事件N所含的基本事件分别为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4个，

所以P(N)＝＝；

所以事件Q的概率为P(Q)＝P(M)＋P(N)＝＋＝0.8，故选A.

2.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________．

解析：设事件M为“3个图形颜色不全相同”，则其对立事件为“3个图形颜色全相同”，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有8种情况．其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或蓝色，所以P()＝＝，所以P(M)＝1－P()＝1－＝.

答案：

[解题方略]　互斥事件、对立事件概率的求法

(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．

(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

  概率与统计的综合问题  增分考点·广度拓展

 [分点研究]

题型一　概率与频率分布直方图的综合应用

[例1]　(2019届高三·昆明高三摸底)某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物的情况，从这一天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额(单位：元)进行统计，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)该商家决定对这100份订单中购物金额不低于1 000元的订单按区间[1 000,1 200)，[1 200,1 400]采用分层抽样的方法抽取6份，对买家进行售后回访，再从这6位买家中随机抽取2位赠送小礼品．求获赠小礼品的2位买家中，至少有1位买家的购物金额位于区间[1 200,1 400]内的概率．

(2)若该商家制订了两种不同的促销方案：

方案一：全场商品打八折；

方案二：全场商品优惠如下表.

利用直方图的数据，计算说明哪种方案的优惠力度更大(同一组中的数据用该组区间中点值表示)．

[解]　(1)在这100份订单中，购物金额位于区间[1 000，1 200)内的有100×0.000 50×200＝10份，

位于区间[1 200,1 400]内的有100×0.000 25×200＝5份，则购物金额位于区间[1 000,1 400]内的订单共有15份．

利用分层抽样抽取6份，则位于区间[1 000,1 200)内的有4份，记为X1，X2，X3，X4，位于区间[1 200,1 400]内的有2份，记为Y1，Y2.

从X1，X2，X3，X4，Y1，Y2中抽取2份，所有可能的结果有(X1，X2)，(X1，X3)，(X1，X4)，(X2，X3)，(X2，X4)，(X3，X4)，(X1，Y1)，(X1，Y2)，(X2，Y1)，(X2，Y2)，(X3，Y1)，(X3，Y2)，(X4，Y1)，(X4，Y2)，(Y1，Y2)，共15种．

设事件A表示“获赠小礼品的2位买家中，至少有1位买家的购物金额位于区间[1 200,1 400]内”，其所含基本事件有(X1，Y1)，(X1，Y2)，(X2，Y1)，(X2，Y2)，(X3，Y1)，(X3，Y2)，(X4，Y1)，(X4，Y2)，(Y1，Y2)，共9个，则P(A)＝＝.

(2)由频率分布直方图知，各组的频率依次为0.1,0.2,0.25，0.3，0.1,0.05，

方案一：商家优惠金额的平均值为

(300×0.1＋500×0.2＋700×0.25＋900×0.3＋1 100×0.1＋1 300×0.05)×0.2＝150(元)．

方案二：商家优惠金额的平均值为

30×0.1＋50×0.2＋140×0.25＋160×0.3＋280×0.1＋320×0.05＝140(元)．

由于150>140，所以方案一的优惠力度更大．

[解题方略]

破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤

题型二　概率与茎叶图的综合应用

[例2]　(2018·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示．

(1)求甲在比赛中得分的均值和方差的大小；

(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．

[解]　(1)甲在比赛中得分的均值＝×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.

(2)甲比赛得分在20分以下的分数为：

7,8,10,15,17,19.

从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：

(7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)，(8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共15种，

其中抽到2场都不超过均值的情形是：

(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共6种，

所以所求概率P＝＝.

[解题方略]　破解茎叶图与概率问题需过“两关”

(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据；

(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率．

题型三　概率与统计案例的综合应用

[例3]　(2018·石家庄模拟)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：

(1)要从5名学生中任选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有1人的物理成绩高于90分的概率．

(2)根据以上数据，画出散点图并用散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关关系，请说明理由．

参考公式：回归直线的方程是＝x＋，

其中＝＝.

＝－.

参考数据：(xi－)2＝40，(xi－)(yi－)＝30.

[解]　(1)从5名学生中任选2名学生的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种．

其中至少有1人的物理成绩高于90分的情况有(A1，A2)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A4，A5)，共7种，

故选中的学生中至少有1人的物理成绩高于90分的概率为.

(2)散点图如图所示：

从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，

故物理成绩y与数学成绩x正相关．

设y与x的线性回归方程是＝x＋，根据所给的数据，可以计算出＝93，＝90，

＝＝0.75，＝90－0.75×93＝20.25，

所以y与x的线性回归方程是＝0.75x＋20.25.

[解题方略]　解决概率与统计综合问题的一般步骤

[多练强化]

(2018·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁) 的工人300名，25周岁以下的工人200名，为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；

(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附：K2＝.

解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×＝60名，则“25周岁以下组”应抽取工人40名．

(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×≈73件．

综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件．

(2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3名，设其分别为m1，m2，m3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2名，设其分别为n1，n2，则所有基本事件为(m1，m2)，(m1，m3)，(m1，n1)，(m1，n2)，(m2，m3)，(m2，n1)，(m2，n2)，(m3，n1)，(m3，n2)，(n1，n2)，共10个．

记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A，事件A包含的基本事件共7个．故P(A)＝.

(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15名，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15名，

则2×2列联表如下：

K2＝≈1.786<2.706.

综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

数据分析——概率与统计综合问题的求解

[典例]　某高中学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见图表．规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.

为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．

(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；

(2)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A等级的概率．

[解]　(1)由题意可知，样本容量n＝＝50，

x＝＝0.004，y＝＝0.018.

因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45，

所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，

依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是.

(2)由茎叶图知，A等级学生共有3名，由频率分布直方图知D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，

则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件．

记“至少有1名学生是A等级”为事件E，

则其对立事件的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种．

所以P(E)＝1－P()＝1－＝.

[素养通路]

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论．

本题分析频率分布直方图和茎叶图中数据得n＝50，x＝0.004，结合频率之和为1得y＝0.018，从而求出样本中成绩是合格等级的频率，由样本估计总体的思想得结果；再分析茎叶图中数据分别求出A，D等级的学生数，用列举法求出基本事件数，利用古典概型计算公式求解．考查了数据分析这一核心素养．