2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级基础送分专题三不等式

基础送分专题三　不等式

[题组练透]

1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　　)

A．ac2>bc2　　　　　　　  B.>1

C．a－c>b－c   D．a2>b2

解析：选C　若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；若b<0，则<1，故B错；不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.

2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝(　　)

A．2   B．－2

C．－   D.

解析：选B　根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2.

3．设p：x2－x－20>0，q：<0，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A　p：由x2－x－20>0，解得x>5或x<－4.q：由<0⇒(1－x2)(|x|－2)<0，当x≥0时，可化为(x＋1)(x－1)(x－2)>0，解得0≤x<1或x>2.

当x<0时，可化为(x－1)(x＋1)(x＋2)<0，解得－1<x<0或x<－2，故<0的解为x<－2或－1<x<1或x>2，所以由p⇒q，但qp，故选A.

4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.∪{2}

解析：选B　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2<a<.综上，实数a的取值范围为，故选B.

5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．

解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.

答案：

[题后悟通]

[题组练透]

1．(2019届高三·重庆调研)若实数x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为(　　)

A．3　　　　　　　　　 　B．4

C．5   D．7

解析：选B　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.

2．(2018·广州测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：选D　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故zmin＝－1＝－.

3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x，y满足约束条件若z＝x＋2y的最大值为4，则实数m的值为(　　)

A．－4   B．－2

C．－1   D．1

解析：选B　作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z＝x＋2y过A点时z取得最大值4，由得A(0,2)，所以m＝2×0－2＝－2.

4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)

A．320千元   B．360千元

C．400千元   D．440千元

解析：选B　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则每月利润z＝2x＋y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)时，z取得最大值，为360.

5．(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．

由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.

作直线l0：y＝－x.

平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，

z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

答案：6

[题后悟通]

[题组练透]

1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3   B．4

C．5   D．6

解析：选C　由正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，

所以m＋n＝a＋b＋＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，

故m＋n的最小值为5.

2．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当＋取最小值时，a2的值为(　　)

A.   B．2

C.   D．3

解析：选C　∵P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，∴a2＋b2＝4.又a≠0，b≠0，

∴＋＝·(a2＋b2)＝≥＝，

当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝，选C.

3．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为________．

解析：y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0.当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．

答案：0

4．(2018·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．

解析：因为直线l经过点(2,3)，

所以2a＋3b－ab＝0，

即＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．

答案：5＋2

5．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则＋的最小值为________．

解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y－6)＋5＋7＋10＝0，解得y＝4.由x，G，y成等比数列，可得G2＝xy＝4，由正实数a，b满足a，G，b成等差数列，可得G＝2，a＋b＝2G＝4，所以＋＝·(a＋b)＝      ≥×(5＋4)＝(当且仅当b＝2a时取等号)．故＋的最小值为.

答案：

[题后悟通]

一、选择题

1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝(　　)

A．1　　　 　B．0　　　　

C．－1　　　　  D．－3

解析：选D　由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.

2．若x>y>0，m>n，则下列不等式正确的是(　　)

A．xm>ym　　　　　 　B．x－m≥y－n

C.>   D．x>

解析：选D　A不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m可能为0或负数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，因为m，n的正负不确定．故选D.

3．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为(　　)

A．(－3，＋∞)   B．(－3,2)

C．(－∞，2)∪(3，＋∞)   D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)

解析：选D　∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.

4．(2018·成都一诊)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0，＋∞)   B．[－1，＋∞)

C．[－1,1]   D．[0，＋∞)

解析：选B　法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；

当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.

当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；

当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝     －a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

5．已知函数f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)   B．[－2,2]

C．(－∞，2]   D．[0,2]

解析：选C　由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x＞0时，x2－ax≥－1，即为a≤＝x＋，由x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，可得a≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2]．

6．若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是(　　)

A．①④   B．②③

C．①③   D．②④

解析：选C　法一：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.

法二：由<<0，可知b<a<0.

①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<，故①正确；

②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；

③中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故③正确；

④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．

由以上分析，知①③正确．

7．(2018·长春质检)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)

A．8   B．9

C．12   D．16

解析：选B　由4x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.

8．如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选B　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．

则A(1,2)，B(1，－1)，C(3,0)，

因为目标函数z＝kx－y的最小值为0，

所以目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B处取得，

所以若在A处取得，则k－2＝0，得k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；

若在B处取得，则k＋1＝0，得k＝－1，此时，z＝－x－y，

在B点取得最大值，故不成立，故选B.

9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　)

A．15万元   B．16万元

C．17万元   D．18万元

解析：选D　设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知

z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，

直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，

由得∴M(2,3)，

故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.

10．已知实数x，y满足约束条件若y≥kx－3恒成立，则实数k的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(－∞，0]∪   D.∪[0，＋∞)

解析：选A　由约束条件

作出可行域如图中阴影分部所示，

则A，B(3，－3)，C(3,8)，

由题意得

解得－≤k≤0.

所以实数k的取值范围是.

11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，则实数n的取值范围是(　　)

A.   B.∪(1，＋∞)

C．(1，＋∞)   D.

解析：选B　因为不等式x＋－n2－＜0有解，

所以min＜n2＋，

因为x＞0，y＞0，且＋＝1，

所以x＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，

当且仅当＝，即x＝，y＝5时取等号，

所以min＝，

故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，

所以实数n的取值范围是∪(1，＋∞)．

12．(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a＞0，若的最大值为2，则a的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时，a＝，又此时直线y＝x的斜率的最小值为－，即－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.

二、填空题

13．(2018·岳阳模拟)不等式≥1的解集为________．

解析：不等式≥1可转化成－1≥0，即≥0，

等价于解得≤x＜2，

故不等式的解集为.

答案：

14．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．

由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.

答案：9

15．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为xx＜－1或x＞，则关于x的不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0的解集为________．

解析：由题意知－1，是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

所以且a＜0，

所以

所以不等式c(lg x)2＋lg xb＋a＜0化为

－a(lg x)2＋blg x＋a＜0，

即－a(lg x)2＋alg x＋a＜0.

所以(lg x)2－lg x－2＜0，

所以－1＜lg x＜2，所以＜x＜100.

答案：

16．设x＞0，y＞0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________.

解析：∵x＞0，y＞0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2 ＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.

答案：12