2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分第一层级基础送分专题二平面向量

基础送分专题二　平面向量

[题组练透]

1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－ 　　　　 B.－

C.＋  D.＋

解析：选A　法一：作出示意图如图所示．

＝＋＝  ＋

＝×(＋)＋(－)

＝－.故选A.

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，

D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，

＝(1,0)－＝，

即＝－.

2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)

A．1∶3   B．3∶1

C．1∶2   D．2∶1

解析：选D　由＝＋，得－＝2(－)，即＝2，所以||∶||＝2∶1，故选D.

3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则        λ＝________.

解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，

所以4λ＝2，解得λ＝.

答案：

4．(2018·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________.

解析：如图，∵＝＋＝＋＝＋，①

＝＋＝＋， ②

由①②得＝－，＝－，

∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋，

∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝.

答案：

[题后悟通]

[题组练透]

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A．4   B．3

C．2   D．0

解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.

∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

2．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则t＝(　　)

A．0   B．－3

C．3   D．－1

解析：选B　法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)·(m－n)＝0，

即m2＝n2，故(t＋1)2＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3.

法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，

∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3.

3．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，点D在边AC上，且2＝，则·的值是(　　)

A．48   B．24

C．12   D．6

解析：选B　法一：由题意得，·＝0，·＝·(－)＝||2＝36，∴·＝·(＋)＝·＝0＋×36＝24.

法二：(特例法)若△ABC为等腰直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(6,0)，C(0,6)．

由2＝，得D(4,2)．

∴·＝(6,0)·(4,2)＝24.

4.(2018·贵阳摸底考试)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，则·的值为(　　)

A．10   B．11

C．12   D．13

解析：选B　以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.

5．(2019届高三·益阳、湘潭调研)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为，则t的值为________．

解析：因为a·b＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为，所以＝cos，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因为t>0，所以t＝.

答案：

6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．

解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x,1)，Q(2，y)，

由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.

∵||＝||，

∴|x|＝|y|，∴x＝－y.

∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，

∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，

∴当x＝时，·取得最小值，为.

答案：

[题后悟通]

一、选择题

1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)

A．－　　　　　　　　 　B．－

C.   D.

解析：选A　因为c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，

又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.

2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角的余弦值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选C　因为向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，所以b＝(2,0)，

则向量a，b的夹角的余弦值为＝.

3．已知在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，则点C的坐标为(　　)

A．(11,8)   B．(3,2)

C．(－11，－6)   D．(－3,0)

解析：选C　设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6)．

4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)

A.＋    B.＋

C.＋    D.＋

解析：选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.

5．(2019届高三·武汉调研)设非零向量a，b满足|2a＋b|＝|2a－b|，则(　　)

A．a⊥b   B．|2a|＝|b|

C．a∥b   D．|a|<|b|

解析：选A　法一：∵|2a＋b|＝|2a－b|，∴(2a＋b)2＝(2a－b)2，化简得a·b＝0，       ∴a⊥b，故选A.

法二：记c＝2a，则由|2a＋b|＝|2a－b|得|c＋b|＝|c－b|，由平行四边形法则知，以向量c，b为邻边的平行四边形的对角线相等，∴该四边形为矩形，故c⊥b，即a⊥b，故选A.

6．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为(　　)

A．－   B．－3

C.   D．3

解析：选C　因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝.

7．已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角θ为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　由m＝a＋tb，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcos θ＋1＝(2t＋cos θ)2＋sin2θ，由题意得，当t＝时，cos θ＝－，则向量a，b的夹角θ为，故选C.

8．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由|＋|＝|－|知⊥，以A为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨设E，F，则·＝·＝＋＝.

9．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ) ，则λ＝(　　)

A．－3   B．3

C．1   D．－1

解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a，知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．

若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，

即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.

10．(2018·兰州诊断考试)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

解析：选A　如图，∵＝2，∴＝＋，

∴·(＋)＝－2，

∵AM＝1且＝2，∴||＝，

∴·(＋)＝－.

11．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.

∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60°，

∴||·||＝4.∴S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为.

12．(2018·南昌调研)已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为(　　)

A．3   B．4

C．3－1   D．3＋1

解析：选D　法一：∵A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，

∴设A(cos θ，sin θ)，B(－cos θ，－sin θ)，C(cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，

∵M(1,1)，∴＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，

∴|＋＋|＝

＝

＝ ，

当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1.

法二：连接AB，∵AC⊥BC，∴AB为圆O的直径，

∴＋＝2，

∴|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，

易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，

∴||≤＋1，∴|＋＋|≤3＋1，故选D.

二、填空题

13．(2018·潍坊统一考试)已知单位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝，若向量a＝e1－2e2，则|a|＝________.

解析：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1|·|e2|cos＋4＝1－4×1×1×＋4＝3，即|a|＝.

答案：

14．已知a，b是非零向量，f(x)＝(ax＋b)·(bx－a)的图象是一条直线，|a＋b|＝2，|a|＝1，则f(x)＝________.

解析：由f(x)＝a·bx2－(a2－b2)x－a·b的图象是一条直线，可得a·b＝0.因为|a＋b|＝2，所以a2＋b2＝4.

因为|a|＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以f(x)＝2x.

答案：2x

15．在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．

解析：如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.

答案：

16．(2019届高三·唐山五校联考)在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．

解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，即(－3)·(－)＝0，则2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0<A<π，所以0<A≤，即角A的最大值为.

答案：