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2019版高中物理二轮专题复习教师用书：专题一第4讲万有引力定律及其应用
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第4讲万有引力定律及其应用
主干知识体系
核心再现及学科素养
知识规律
(1)一条黄金代换：GM＝gR2.
(2)两条基本思路．
①天体附近：G＝mg.
②环绕卫星：G＝m＝mrω2＝mr2.
(3)两类卫星．
①近地卫星：G＝mg＝m.
②同步卫星：G＝m(R＋h)2(T＝24 h)．
(4)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2
r1＋r2＝L
思想方法
(1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想．
(2)物理方法：放大法、假设法、近似法.
1．(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
BC [两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，
所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]
2．(2018·全国Ⅱ卷，16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109kg/m2 B．5×1012kg/m3
C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3
C [脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度
ρ＝＝kg/m3
≈5.2×1015kg/m3.]
3．(2018·全国Ⅲ卷，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
C [由G＝mr知，＝，则两卫星＝.
因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.]
4．(2018·天津卷，6)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
CD [设人造地球卫星的周期为T，地球质量和半径分别为M、R，卫星的轨道半径为r，则在地球表面：G＝mg，GM＝gR2①
对卫星：根据万有引力提供向心力，有
G＝m2r②
联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星离地高度．由v＝rω＝r，从而可求得卫星的线速度．
卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力Fn＝G也不能求出．故选项C、D正确．]
5．(2016·高考全国卷Ⅰ，17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
B [地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得＝.
解得T2≈4 h．]
[考情分析]
■命题特点与趋势
1．近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查对描述天体运动参量间的关系、天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力．
2．从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律，仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题．
■解题要领
1．正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量和密度的估算方法，熟悉一些天体的运行常识．
2．结合牛顿第二定律、向心力公式和万有引力定律分析计算卫星运行及卫星变轨问题．
高频考点一 万有引力定律及天体质量和密度的求解
[备考策略]
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
[题组突破]
1－1.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
A [选A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝＝＝∝，故选项A正确．]
1－2.(2018·湖北省麻城一中高考冲刺模拟)宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，它们的半径分别为RA和RB.两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示；T0为两颗行星近地卫星的周期，则( )
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．若两卫星轨道半径相等，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度
D [A.根据万有引力提供向心力，有：＝，解得T＝，对于环绕行星A表面运行的卫星，有：T0＝，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T0＝，联立解得＝，由图知RA>RB，所以MA>MB，故A错误；B.A行星质量为：MA＝ρA·πR，B行星的质量为：MB＝ρB·πR，代入解得＝，解得ρA＝ρB，故B错误；C、行星的近地卫星的线速度
即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：＝，解得
v＝＝＝R∝R，因为RA>RB，所以vA>vB，故C错误；D、根据＝ma知，a＝，由于MA>MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确；故选D.]
1－3.(2018·山东省潍坊市昌乐县二中高三下学期质检)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )
A．1∶16 B．16∶1 C．4∶1 D．1∶4
D [根据mg＝m得，第一宇宙速度v＝，因为星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的2倍，根据G＝mg知，M＝，知星球的质量是地球质量的2倍，根据ρ＝＝知，星球的平均密度与地球平均密度的比值为1∶4，故D正确，A、B、C错误．故选D.]
高频考点二 天体和卫星的运行
[备考策略]
1．熟记卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
(1)由G＝m，得v＝，则r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r，得ω＝，则r越大，ω越小．
(3)由G＝mr，得T＝2π，则r越大，T越大．
2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G＝m.
3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．
[命题视角]
考向1 卫星的a、v、ω、T与半径r的关系
例1 (多选)卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则( )
A．卫星A、B的运行周期的比值为＝
B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝
C．卫星A、B的运行加速度的比值为＝
D．卫星A、B至少经过时间t＝，两者再次相距最近
BD [由地球对卫星的引力提供向心力G＝mr知T＝2π∝，而rA＝4rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为＝，A项错误；同理，由G＝m得v＝∝，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝，B项正确；由G＝ma得a＝∝，所以卫星A、B的运行加速度的比值为＝，C项错误；由T＝2π及地球表面引力等于重力大小G＝
mg知T＝2π，由于B为近地卫星，所以TB＝2π，当卫星A、B再次相距最近时，卫星B比卫星A多运行了一周，即t＝2π，联立可得t＝，D项正确．]
考向2 同步卫星的理解
例2 (2018·高考物理全真模拟二)已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量均匀的球体，半径为R，则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为g)( )
A．地球的自转周期为T＝2π
B．地球的自转周期为T＝π
AC [在北极FN1＝G，在赤道G－FN2＝mR，根据题意，有FN1－FN2＝ΔN，联立计算得出：T＝2π，所以A正确的，B错误；万有引力提供同步卫星的向心力，则：G＝m′，联立可得：r3＝，又地球表面的重力加速度为g，则：mg＝G，得：r＝ R，C正确，D错误；故选A、C.]
[归纳反思]
解答卫星问题的三个关键点
1．若卫星做圆周运动：根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma分析，可得：v＝∝、ω＝∝、T＝∝、a＝∝，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．
2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．
3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM＝gR2的灵活应用．
[题组突破]
2－1.(2018·山东省青岛市高三统一质检)2018年1月19日，以周总理命名的“淮安号”恩来星在甘肃酒泉卫星发射中心，搭乘长征－11号火箭顺利发射升空．“淮安号”恩来星在距离地面高度为535 km的极地轨道上运行．已知地球同步卫星轨道高度约36000 km，地球半径约6400 km.下列说法正确的是( )
A．“淮安号”恩来星的运行速度小于7.9 km/s
B．“淮安号”恩来星的运行角速度小于地球自转角速度
C．经估算，“淮安号”恩来星的运行周期约为1.6 h
D．经估算，“淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的三分之二
AC [A.据G＝m，解得：v＝，则“淮安号”恩来星的运行速度小于第一宇宙速度7.9 km/s.故A项正确．B：据G＝mrω2，解得：ω＝，则“淮安号”恩来星的运行角速度大于地球同步卫星的角速度，即“淮安号”恩来星的运行角速度大于地球自转角速度．故B错误．C：据G＝mr2，解得：T＝2π，“淮安号”恩来星的运行周期与地球同步卫星的周期关系为＝，解得“淮安号”恩来星的运行周期约为
1.6 h．故C项正确．D：据G＝ma和G＝mg，解得“淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的0.85倍．故D项错误．]
2－2.(2018·武汉市高三毕业班调研)如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
A [根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，选项A正确．]
高频考点三 卫星的变轨
[备考策略]
1．熟记变轨现象
2．掌握卫星变轨过程中的能量变化
卫星在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒；在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加，点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少．
3．卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝＝ma比较得出．
[命题视角]
考向1 变轨过程中各参数的变化
例3 (2018·山东省潍坊市高三一模)如图所示，“嫦娥三号”从M点进入环月圆轨道Ⅰ，运行4天后再从M点进入椭圆轨道Ⅱ，N为椭圆轨道Ⅱ的近月点(可视为紧贴月球表面)，则“嫦娥三号”( )
A．在两轨道上运行的周期相同
B．在两轨道上运行的机械能相同
C．在N点的速度大于月球的第一宇宙速度
D．在N到M的过程机械能不断增加
C [A.根据开普勒第三定律＝k可得半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴(半径)大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运动的周期，故A错误；B.由于飞船经过点M时点火减速，使飞船由环月圆轨道Ⅰ从M点进入椭圆轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，所以轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅱ上的机械能，故B错误；C.第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，是绕月球做圆周运动的最大速度也可以称为近月N点的环绕速度，“嫦娥三号”在N点做椭圆轨道Ⅱ的离心运动，故速度应大于在N点上圆周运动的速度，即在N点的速度大于月球的第一宇宙速度，故C正确；D.沿椭圆轨道运动，动能和势能交替转化，不会有别的力做功改变其机械能，机械能守恒，故D错误；故选C.]
考向2 卫星的追及相遇问题
例4 (2018·内蒙古包头市高三模拟)2016年10月17日7时30分神舟十一号飞船发射升空，成功入轨后，经过5次远距离导引控制之后，飞船到达天宫二号后下方52公里左右的位置(如图所示)，两个航天器建立空空通信，转入到自主控制段.10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，开始在太空中的连体飞行．与前几次交会对接任务不同，此次交会对接轨道和返回轨道高度比之前增加了50公里，距地面高度为393公里．下列说法正确的是( )
A．神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，须向后喷气
B．在图示状态时，天宫二号的向心加速度大于神舟十一号的向心加速度
C．在图示状态时，天宫二号做匀速圆周运动的周期小于神舟十一号的周期
D．天宫二号和神舟十一号组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s
A [根据天宫二号和神舟十一号绕地球做圆周运动所需要的向心力是由地球对它们的万有引力提供的，则有G＝m2r＝m＝ma，即v＝，T＝，a＝G，由此可知：r越大，v越小，T越大，a越小，故B、C、D错误；神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，需加速做离心运动进入高轨道，才能实现对接，A正确；故选A.]
[归纳反思]
1．卫星变轨的两种常见情况
2．航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝判断．
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
[题组突破]
3－1.(2018·山东省实验中学高三第一次模拟考试)中国探月工程嫦娥四号任务计划于2018年执行两次发射：上半年发射嫦娥四号中继星，下半年发射嫦娥四号探测器，她将实现人类首次月球背面软着陆和巡视勘察，如图所示，设月球半径为R，假设“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做匀速圆周运动，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．月球的质量可表示为
B．在轨道Ⅲ上B点速率大于在轨道Ⅱ上B点的速率
C．“嫦娥四号”探测器沿椭圆轨道从A点向B点运动过程中，机械能保持不变
D．“嫦娥四号”探测器从远月点A向近月点B运动的过程中，加速度变小
C [在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝m(3R)，解得M＝，A错误；在轨道Ⅱ的B点需要减速做近心运动才能进入轨道Ⅲ做圆周运动，所以在轨道Ⅲ上B点速率小于在轨道Ⅱ上B点的速率，B错误；探测器沿椭圆轨道从A运动到B的过程中只受到地球引力作用，飞船的机械能保持不变，C正确；根据公式G＝ma可得a＝，所以轨道半径越大，向心加速度越小，故从远月点到近月点运动过程中，轨道变小，加速度变大，D错误．]
3－2.我国原计划在2017年底发射“嫦娥五号”探测器，实现月球软着陆以及采样返回，这意味着我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成．“嫦娥五号”探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探测器从圆轨道1上A点减速后变轨到椭圆轨道2.之后又在轨道2上的B点变轨到近月圆轨道3.已知探测器在1轨道上周期为T1，O为月球球心，C为轨道3上的一点，AC与AO最大夹角为θ，则下列说法正确的是( )
A．探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点点火加速
B．探测器在轨道1的速度小于在轨道2经过B点时的速度
C．探测器在轨道2上经过A点时速度最小，加速度最大
D．探测器在轨道3上运行的周期为 T1
BD [探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点减速，A错误；探测器在轨道1的速度小于在轨道3的速度，探测器在轨道2经过B点的速度大于在轨道3的速度，故探测器在轨道1的速度小于在轨道2经过B点时的速度，B正确；探测器在轨道2上经过A点时速度最小，A点是轨道2上距离月球最远的点，故由万有引力产生的加速度最小，C错误；由开普勒第三定律＝，其中＝sin θ，解得T3＝T1，D正确．]
高频考点四 双星和多星问题
[备考策略]
牢记双星系统模型以下特点
1．各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2.
2．两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
3．两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
[题组突破]
4－1.(2018·湖北省荆州中学高三全真模拟考试(一))2018年12月7日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为人类对暗物质的研究做出了重大贡献．假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动，理论计算的周期与实际观测的周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为L，质量均为m，据此推测，暗物质的质量为( )
A．(n－1)m B．nm C.m D.m
D [双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向心力得：G＝m·解得：T理论＝πL.根据观测结果，星体的运动周期且＝(n>1)，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．则有：G＋＝m·解得：T观测＝πL联立解得：m′＝m.故选D.]
4－2.2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是( )
B [双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，＝m12R1＝m22R2，由几何关系得：R1＋R2＝L，解得：＝·，已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以∝，故B正确，ACD错误．]
4－3.(2018·湖南省常德市高三模拟考试)(多选)2016年2月1日15时29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星．该卫星绕地球作圆周运动，质量为m，轨道半径约为地球半径R的4倍．重力加是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
BD [在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C项错误；由2Gcos 30°＝ma，得a＝，D项正确．]
课时跟踪训练(四)
一、选择题(1～8题为单项选择题，9～14题为多项选择题)
1．(2018·威海市高考模拟考试)2017年9月29日，世界首条量子保密通讯干线“京沪干线”与“墨子号”科学实验卫星进行天地链路，我国科学家成功实现了洲际量子保密通讯．设“墨子号”卫星绕地球做匀速圆周运动，在时间t内通过的弧长为L，该弧长对应的圆心角为θ，已知引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．“墨子号”的运行周期为t
B．“墨子号”的离地高度为
C．“墨子号”的运行速度大于7.9 km/s
D．利用题中信息可计算出地球的质量为
D [“墨子号”的运行周期为T＝＝＝，选项A错误；“墨子号”的离地高度为h＝r－R＝－R，选项B错误；任何卫星的速度均小于第一宇宙速度，选项C错误；根据G＝mω2r，其中ω＝，r＝，解得M＝，选项D正确；故选D.]
2．若太阳系内每个行星贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是R，已知引力常量G.则下列说法正确的是( )
A．可以求出该行星的质量
B．可以求出太阳的质量
C．ρT2是定值
D.是定值
C [因为不知道行星的半径，所以无法求出行星的质量，故A错误．T不是行星的公转周期，所以不能求出太阳的质量，故BD错误．对于卫星，由万有引力充当向心力得G＝mr，其中M＝ρV＝πρr3，整理可得ρT2＝是一个定值，故C正确．]
3．(2018·石家庄高三考前模拟)如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，地球处在运动轨道b位置时，地球和太阳连线所在的直线上的a与e位置、c与d位置均关于太阳对称．当一无动力的探测器处在a或c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度绕太阳做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．该探测器在a位置受到的太阳、地球引力的合力等于在c位置受到的太阳、地球引力的合力
B．该探测器在a位置受到的太阳、地球引力的合力大于在c位置受到的太阳、地球引力的合力
C．若地球和该探测器分别在b、d位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动
D．若地球和该探测器分别在b、e位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动
B [根据题述，探测器处在a位置和c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度ω绕太阳做圆周运动，设该探测器的质量为m，在a位置受到的太阳和地球引力的合力为Fa，在c位置受到的太阳和地球引力的合力为Fc，根据牛顿第二定律，可知Fa＝mω2ra，Fc＝mω2rc，由于ra>rc，所以Fa>Fc，选项A错误，B正确；若地球和探测器分别在b、d位置，探测器在d位置所受到的太阳和地球引力的合力与在c位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项C错误；若地球和探测器分别在b、e位置，探测器在e位置所受到的太阳和地球引力的合力与在a位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项D错误．]
4．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”．“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越．“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为( )
A. B. C. D.
A [双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有：G＝m1r1 G＝m2r2，解得：m2＝，m1＝，则双黑洞总质量为：m总＝m2＋m1＝，故选：A.]
5．(2018·福建厦门市毕业班调研)位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)．通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示．若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B.年 C.年 D.年
C [由题意可知，当观察者和水星的连线与水星的轨道相切时，水星与太阳的视角最大，由三角函数可得sin θ＝＝k，又由万有引力提供向心力有G＝m水r水，＝m地r地，联立以上可解得T水＝年，C正确．]
6．(2018·安徽省合肥一中高三二模)天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是两个黑洞并合的事件．该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞，绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小．若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两个黑洞运行的线速度v大小之比为36∶29
B．甲、乙两个黑洞运行的角速度ω大小之比为36∶29
C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期T也在减小
D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C [对两个黑洞，它们的角速度ω相等，由万有引力G＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙和v＝rω可以判断出线速度＝，AB错误．又r1＋r2＝L，结合万有引力公式可以得出G＝ω2，两个黑洞的间距缓慢减小，则角速度ω在增加，由T＝知T减小，而它们的向心加速度a＝，质量不等，相对应的向心加速度大小不相等，C正确，D错误．]
7．(2018·重庆市江津区高三下5月预测模拟)北斗导航已经用于多种手机，如图所示，导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道Ⅱ上飞行，到达A点时转移到圆轨道Ⅰ上．若圆轨道Ⅰ离地球表面的高度 h1，椭圆轨道Ⅱ近地点离地球表面的高度为h2.地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法不正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B．卫星在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
C．若卫星在圆轨道Ⅰ上运行的周期是T1，则卫星在轨道Ⅱ的时间T2＝T1
D．若“天宫一号”沿轨道Ⅱ运行经过A点的速度为vA，则“天宫一号”运行到B点的速度vB＝vA
D [卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ要在A点加速，则卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能选项A正确；卫星在轨道Ⅰ上：G＝m，又GM＝gR2，解得v＝，选项B正确；根据开普勒第三定律可得：＝，解得T2＝T1，选项C正确；根据开普勒第三定律得：vA(h1＋R)＝vB(h2＋R)，解得vB＝vA，选项D错误；此题选项不正确的选项，故选D.]
8．(2018·山东省湖北重点学校协作体冲刺模拟)“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于2020年登陆火星．假如某志愿者登上火星后将一小球从高为h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间t小球落在火星表面，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转，则下列说法正确的是( )
A．火星的第一宇宙速度为
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．环绕火星表面运行的卫星的周期为t
C [由自由落体运动规律，h＝gt2，解得火星表面的重力加速度大小为g＝，火星的第一宇宙速度v1＝＝，A错误；在火星表面有G＝mg，解得火星的质量为M＝，B错误；火星的平均密度ρ＝＝＝，C正确；设环绕火星表面运行的卫星的周期为T，则T＝＝πt，D错误．]
9．(2018·河北衡水中学信息卷)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．如果该星体的自转周期T<2π，会解体
B．如果该星体的自转周期T>2π，会解体
C．该星体表面的引力加速度为
D．如果有卫星靠近该星体表面飞行，其速度大小为
AD [如果在该星体表面有一物质，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要的同心力时呈稳定状态，即G>m′R，化简得T>2π，即T>2π时，星体不会解体，而该星体的自转周期T<2π时，会解体，A正确；B错误；在该星体表面，有G＝m′g，所以g＝，C错误；如果有卫星靠近该星体表面飞行，有G＝m″，解得v＝，D正确．]
10．(2018·广东南宁市高三调研)如图为某着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，然后改在圆轨道Ⅱ上运动，最后在椭圆周轨道Ⅲ上运动，P点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点．且PQ＝2QS＝2L，着陆器在轨道Ⅰ上经过P点的速度为v1，在轨道Ⅱ上经过P点的速度为v2，在轨道Ⅲ上经过P点的速度为v3，下列说法正确的是( )
A．着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是
C．着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度可表示为
D．着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等
CD [着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，是向低轨道运动，所以应该减速才可以，故A错误；由开普勒第三定律知道，着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间和着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间都是各自周期的一半，根据开普勒第三定律＝k可得＝＝，着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是，故B错误；着陆器在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，就是向心加速度，所以a＝＝，着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度与着陆器在轨道Ⅱ上经过P点的加速度相同，故C正确；由于着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点到火星的球心之间的距离是相等的，所以加速度大小相等，故D正确．]
11．(2018·山东省济南市高三一模)2017年11月5日，又有两颗北斗导航系统组网卫星通过“一箭双星”发射升空，并成功进入预定轨道，两颗卫星绕地球运动均看作匀速圆周运动．如果两颗卫星的质量均为M，其中的1号卫星轨道距离地面高度为h,2号卫星轨道距离地面高度为h′，且h′>h，把地球看做质量分布均匀的球体，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．1号卫星绕地球运动的线速度R
B．1号卫星绕地球运动的周期T＝2π(R＋h)
C．1号卫星和2号卫星做匀速圆周运动的向心力大小之比为
D．稳定在轨运行时1号卫星的机械能小于2号卫星的机械能
AD [A项：根据公式G＝M和m0g＝G，解得v＝R，故A正确；B项：根据公式G＝M(R＋h)和m0g＝G，解得：T＝，故B错误；C项：F1＝G，F2＝G，所以＝，故C错误；D项：由于h
A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为
C．月球的平均密度为
D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
AC [在月球表面，重力等于万有引力，则得：G＝mg；对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得：G＝m(R＋h)，联立解得：g＝，故A正确；“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝R＋h，则它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为v＝＝，故B错误；根据G＝m(R＋h)，解得月球的质量为M＝，月球的平均密度为ρ＝＝，故C正确；设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，则有：
G＝mg＝m，解得v＝＝，故D错误；故选AC.]
13．(2018·衡水中学同步卷)我国发射天宫二号空间实验室后又发射了神舟十一号飞船，它们于2016年10月19日凌晨进行了自动交会对接．为实现飞船与空间实验室的对接，在地面测控中心的指挥下天宫二号从高空圆轨道下降至低空圆轨道与神舟十一号对接．已知天宫二号从捕获神舟十一号到实现对接用时为t，在这段时间内组合体绕地心转过的角度为θ.取地表重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法中正确的是( )
A．神舟十一号应在比天宫二号半径更小的轨道上加速后逐渐靠近，两者速度接近时才能实现对接
B．对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，至少还需两次点火加速
C．组合体在对接轨道上绕地运行的周期为
D．组合体在对接轨道上绕地运行时距离地表的高度是－R
ABD [飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，A正确；二者在低轨对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，还需点火加速一次脱离对接轨道而转移到椭圆轨道，达到椭圆轨道与圆轨道的交点处，还要再点火加速一次才能进入圆形轨道，B正确；组合体在对接轨道上绕地运行时ω＝，因此T＝＝，C错误；组合体在对接轨道上绕地运行时引力提供向心力G＝m(R＋H)ω2，又G＝g，整理可得H＝－R，D正确．]
14．(2018·天星教育考前预测)如图所示，已知地球的一颗同步卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α.另一颗其他卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β(图中未画出)，若α>β，两颗卫星围绕地球转动的方向相同，不考虑两卫星间的影响．若某时刻另一颗卫星位于地球和同步卫星连线中间的某位置．下列说法正确的是( )
A．另一颗卫星的周期为24小时
B．同步卫星和另一颗卫星的线速度之比为
C．至少经过小时，另一颗卫星再次到达地球和同步卫星连线中间某位置
D．经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为
AD [设地球的半径为R，则同步卫星做圆周运动的半径为r1＝，另一颗卫星做圆周运动的半径为r2＝.同步卫星绕地球做圆周运动的周期T1＝24小时，根据＝可得T2＝24小时，选项A正确；根据G＝m可知＝，选项B错误；根据t＝2π可得t＝小时，选项C错误；天体半径扫过的面积为s＝·πr2，而θ＝t，联立可得s＝，故经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为＝，选项D正确．]
主干知识体系
核心再现及学科素养
知识规律
(1)一条黄金代换：GM＝gR2.
(2)两条基本思路．
①天体附近：G＝mg.
②环绕卫星：G＝m＝mrω2＝mr2.
(3)两类卫星．
①近地卫星：G＝mg＝m.
②同步卫星：G＝m(R＋h)2(T＝24 h)．
(4)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2
r1＋r2＝L
思想方法
(1)物理思想：估算的思想、物理模型的思想．
(2)物理方法：放大法、假设法、近似法.
1．(2018·全国Ⅰ卷，20)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
BC [两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知，
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，
所以m1＋m2＝，
质量之和可以估算．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．质量之积和各自自转的角速度无法求解．]
2．(2018·全国Ⅱ卷，16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109kg/m2 B．5×1012kg/m3
C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3
C [脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，
又知M＝ρ·πr3
整理得密度
ρ＝＝kg/m3
≈5.2×1015kg/m3.]
3．(2018·全国Ⅲ卷，15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
C [由G＝mr知，＝，则两卫星＝.
因为rP∶rQ＝4∶1，故TP∶TQ＝8∶1.]
4．(2018·天津卷，6)(多选)2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )
A．密度 B．向心力的大小
C．离地高度 D．线速度的大小
CD [设人造地球卫星的周期为T，地球质量和半径分别为M、R，卫星的轨道半径为r，则在地球表面：G＝mg，GM＝gR2①
对卫星：根据万有引力提供向心力，有
G＝m2r②
联立①②式可求轨道半径r，而r＝R＋h，故可求得卫星离地高度．由v＝rω＝r，从而可求得卫星的线速度．
卫星的质量未知，故卫星的密度不能求出，万有引力即向心力Fn＝G也不能求出．故选项C、D正确．]
5．(2016·高考全国卷Ⅰ，17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
B [地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出他们间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝＝2R
由＝得＝.
解得T2≈4 h．]
[考情分析]
■命题特点与趋势
1．近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查对描述天体运动参量间的关系、天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力．
2．从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律，仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，会形成新情景的物理题．
■解题要领
1．正确理解万有引力及万有引力定律，掌握天体质量和密度的估算方法，熟悉一些天体的运行常识．
2．结合牛顿第二定律、向心力公式和万有引力定律分析计算卫星运行及卫星变轨问题．
高频考点一 万有引力定律及天体质量和密度的求解
[备考策略]
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
[题组突破]
1－1.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示，一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
A [选A.因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝＝＝∝，故选项A正确．]
1－2.(2018·湖北省麻城一中高考冲刺模拟)宇宙中有两颗相距很远的行星A和B，它们的半径分别为RA和RB.两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平方(T2)的关系如图所示；T0为两颗行星近地卫星的周期，则( )
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．若两卫星轨道半径相等，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度
D [A.根据万有引力提供向心力，有：＝，解得T＝，对于环绕行星A表面运行的卫星，有：T0＝，对于环绕行星B表面运行的卫星，有T0＝，联立解得＝，由图知RA>RB，所以MA>MB，故A错误；B.A行星质量为：MA＝ρA·πR，B行星的质量为：MB＝ρB·πR，代入解得＝，解得ρA＝ρB，故B错误；C、行星的近地卫星的线速度
即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：＝，解得
v＝＝＝R∝R，因为RA>RB，所以vA>vB，故C错误；D、根据＝ma知，a＝，由于MA>MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D正确；故选D.]
1－3.(2018·山东省潍坊市昌乐县二中高三下学期质检)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )
A．1∶16 B．16∶1 C．4∶1 D．1∶4
D [根据mg＝m得，第一宇宙速度v＝，因为星球和地球的第一宇宙速度相同，表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的2倍，根据G＝mg知，M＝，知星球的质量是地球质量的2倍，根据ρ＝＝知，星球的平均密度与地球平均密度的比值为1∶4，故D正确，A、B、C错误．故选D.]
高频考点二 天体和卫星的运行
[备考策略]
1．熟记卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系
(1)由G＝m，得v＝，则r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r，得ω＝，则r越大，ω越小．
(3)由G＝mr，得T＝2π，则r越大，T越大．
2．第一宇宙速度是指发射人造地球卫星的最小发射速度，也是人造卫星环绕地球运动的最大环绕速度．其求解方法是：G＝m.
3．同步卫星的周期与地球的自转周期相同，是24 h，同步卫星只能定点于赤道上空，其离地高度是一定的，速度大小是确定的．
[命题视角]
考向1 卫星的a、v、ω、T与半径r的关系
例1 (多选)卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则( )
A．卫星A、B的运行周期的比值为＝
B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝
C．卫星A、B的运行加速度的比值为＝
D．卫星A、B至少经过时间t＝，两者再次相距最近
BD [由地球对卫星的引力提供向心力G＝mr知T＝2π∝，而rA＝4rB，所以卫星A、B的运行周期的比值为＝，A项错误；同理，由G＝m得v＝∝，所以卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝，B项正确；由G＝ma得a＝∝，所以卫星A、B的运行加速度的比值为＝，C项错误；由T＝2π及地球表面引力等于重力大小G＝
mg知T＝2π，由于B为近地卫星，所以TB＝2π，当卫星A、B再次相距最近时，卫星B比卫星A多运行了一周，即t＝2π，联立可得t＝，D项正确．]
考向2 同步卫星的理解
例2 (2018·高考物理全真模拟二)已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量均匀的球体，半径为R，则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为g)( )
A．地球的自转周期为T＝2π
B．地球的自转周期为T＝π
AC [在北极FN1＝G，在赤道G－FN2＝mR，根据题意，有FN1－FN2＝ΔN，联立计算得出：T＝2π，所以A正确的，B错误；万有引力提供同步卫星的向心力，则：G＝m′，联立可得：r3＝，又地球表面的重力加速度为g，则：mg＝G，得：r＝ R，C正确，D错误；故选A、C.]
[归纳反思]
解答卫星问题的三个关键点
1．若卫星做圆周运动：根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma分析，可得：v＝∝、ω＝∝、T＝∝、a＝∝，即“高轨低速周期长，低轨高速周期短”．
2．若卫星做椭圆运动：根据开普勒行星运动定律分析求解．可根据开普勒第二定律分析卫星的速率变化规律，根据开普勒第三定律分析计算卫星的周期．
3．注意事项：注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系，注意黄金代换公式GM＝gR2的灵活应用．
[题组突破]
2－1.(2018·山东省青岛市高三统一质检)2018年1月19日，以周总理命名的“淮安号”恩来星在甘肃酒泉卫星发射中心，搭乘长征－11号火箭顺利发射升空．“淮安号”恩来星在距离地面高度为535 km的极地轨道上运行．已知地球同步卫星轨道高度约36000 km，地球半径约6400 km.下列说法正确的是( )
A．“淮安号”恩来星的运行速度小于7.9 km/s
B．“淮安号”恩来星的运行角速度小于地球自转角速度
C．经估算，“淮安号”恩来星的运行周期约为1.6 h
D．经估算，“淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的三分之二
AC [A.据G＝m，解得：v＝，则“淮安号”恩来星的运行速度小于第一宇宙速度7.9 km/s.故A项正确．B：据G＝mrω2，解得：ω＝，则“淮安号”恩来星的运行角速度大于地球同步卫星的角速度，即“淮安号”恩来星的运行角速度大于地球自转角速度．故B错误．C：据G＝mr2，解得：T＝2π，“淮安号”恩来星的运行周期与地球同步卫星的周期关系为＝，解得“淮安号”恩来星的运行周期约为
1.6 h．故C项正确．D：据G＝ma和G＝mg，解得“淮安号”恩来星的加速度约为地球表面重力加速度的0.85倍．故D项错误．]
2－2.(2018·武汉市高三毕业班调研)如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
A [根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，选项A正确．]
高频考点三 卫星的变轨
[备考策略]
1．熟记变轨现象
2．掌握卫星变轨过程中的能量变化
卫星在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒；在变轨过程中，点火加速，做离心运动，轨道升高，机械能增加，点火减速，做近心运动，轨道降低，机械能减少．
3．卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时，其加速度大小关系可用F＝＝ma比较得出．
[命题视角]
考向1 变轨过程中各参数的变化
例3 (2018·山东省潍坊市高三一模)如图所示，“嫦娥三号”从M点进入环月圆轨道Ⅰ，运行4天后再从M点进入椭圆轨道Ⅱ，N为椭圆轨道Ⅱ的近月点(可视为紧贴月球表面)，则“嫦娥三号”( )
A．在两轨道上运行的周期相同
B．在两轨道上运行的机械能相同
C．在N点的速度大于月球的第一宇宙速度
D．在N到M的过程机械能不断增加
C [A.根据开普勒第三定律＝k可得半长轴a越大，运动周期越大，显然轨道Ⅰ的半长轴(半径)大于轨道Ⅱ的半长轴，故沿轨道Ⅱ运动的周期小于沿轨道Ⅰ运动的周期，故A错误；B.由于飞船经过点M时点火减速，使飞船由环月圆轨道Ⅰ从M点进入椭圆轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，所以轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅱ上的机械能，故B错误；C.第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，是绕月球做圆周运动的最大速度也可以称为近月N点的环绕速度，“嫦娥三号”在N点做椭圆轨道Ⅱ的离心运动，故速度应大于在N点上圆周运动的速度，即在N点的速度大于月球的第一宇宙速度，故C正确；D.沿椭圆轨道运动，动能和势能交替转化，不会有别的力做功改变其机械能，机械能守恒，故D错误；故选C.]
考向2 卫星的追及相遇问题
例4 (2018·内蒙古包头市高三模拟)2016年10月17日7时30分神舟十一号飞船发射升空，成功入轨后，经过5次远距离导引控制之后，飞船到达天宫二号后下方52公里左右的位置(如图所示)，两个航天器建立空空通信，转入到自主控制段.10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，开始在太空中的连体飞行．与前几次交会对接任务不同，此次交会对接轨道和返回轨道高度比之前增加了50公里，距地面高度为393公里．下列说法正确的是( )
A．神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，须向后喷气
B．在图示状态时，天宫二号的向心加速度大于神舟十一号的向心加速度
C．在图示状态时，天宫二号做匀速圆周运动的周期小于神舟十一号的周期
D．天宫二号和神舟十一号组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s
A [根据天宫二号和神舟十一号绕地球做圆周运动所需要的向心力是由地球对它们的万有引力提供的，则有G＝m2r＝m＝ma，即v＝，T＝，a＝G，由此可知：r越大，v越小，T越大，a越小，故B、C、D错误；神舟十一号飞船从图示状态下要与天宫二号对接，需加速做离心运动进入高轨道，才能实现对接，A正确；故选A.]
[归纳反思]
1．卫星变轨的两种常见情况
2．航天器变轨问题的三点注意事项
(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝判断．
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．
(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．
[题组突破]
3－1.(2018·山东省实验中学高三第一次模拟考试)中国探月工程嫦娥四号任务计划于2018年执行两次发射：上半年发射嫦娥四号中继星，下半年发射嫦娥四号探测器，她将实现人类首次月球背面软着陆和巡视勘察，如图所示，设月球半径为R，假设“嫦娥四号”探测器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月做匀速圆周运动，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．月球的质量可表示为
B．在轨道Ⅲ上B点速率大于在轨道Ⅱ上B点的速率
C．“嫦娥四号”探测器沿椭圆轨道从A点向B点运动过程中，机械能保持不变
D．“嫦娥四号”探测器从远月点A向近月点B运动的过程中，加速度变小
C [在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝m(3R)，解得M＝，A错误；在轨道Ⅱ的B点需要减速做近心运动才能进入轨道Ⅲ做圆周运动，所以在轨道Ⅲ上B点速率小于在轨道Ⅱ上B点的速率，B错误；探测器沿椭圆轨道从A运动到B的过程中只受到地球引力作用，飞船的机械能保持不变，C正确；根据公式G＝ma可得a＝，所以轨道半径越大，向心加速度越小，故从远月点到近月点运动过程中，轨道变小，加速度变大，D错误．]
3－2.我国原计划在2017年底发射“嫦娥五号”探测器，实现月球软着陆以及采样返回，这意味着我国探月工程“绕、落、回”三步走的最后一步即将完成．“嫦娥五号”探测器在月球表面着陆的过程可以简化如下，探测器从圆轨道1上A点减速后变轨到椭圆轨道2.之后又在轨道2上的B点变轨到近月圆轨道3.已知探测器在1轨道上周期为T1，O为月球球心，C为轨道3上的一点，AC与AO最大夹角为θ，则下列说法正确的是( )
A．探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点点火加速
B．探测器在轨道1的速度小于在轨道2经过B点时的速度
C．探测器在轨道2上经过A点时速度最小，加速度最大
D．探测器在轨道3上运行的周期为 T1
BD [探测器要从轨道2变轨到轨道3需要在B点减速，A错误；探测器在轨道1的速度小于在轨道3的速度，探测器在轨道2经过B点的速度大于在轨道3的速度，故探测器在轨道1的速度小于在轨道2经过B点时的速度，B正确；探测器在轨道2上经过A点时速度最小，A点是轨道2上距离月球最远的点，故由万有引力产生的加速度最小，C错误；由开普勒第三定律＝，其中＝sin θ，解得T3＝T1，D正确．]
高频考点四 双星和多星问题
[备考策略]
牢记双星系统模型以下特点
1．各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2.
2．两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
3．两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
[题组突破]
4－1.(2018·湖北省荆州中学高三全真模拟考试(一))2018年12月7日是我国发射“悟空”探测卫星三周年的日子，该卫星的发射为人类对暗物质的研究做出了重大贡献．假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动，理论计算的周期与实际观测的周期有出入，且＝(n>1)，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球球心连线长度为L，质量均为m，据此推测，暗物质的质量为( )
A．(n－1)m B．nm C.m D.m
D [双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，理论上，由相互间的万有引力提供向心力得：G＝m·解得：T理论＝πL.根据观测结果，星体的运动周期且＝(n>1)，这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．则有：G＋＝m·解得：T观测＝πL联立解得：m′＝m.故选D.]
4－2.2017年10月16日，南京紫金山天文台对外发布一项重大发现，我国南极巡天望远镜追踪探测到首例引力波事件光学信号．关于引力波，早在1916年爱因斯坦基于广义相对论预言了其存在.1974年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星，这双星系统在互相公转时，由于不断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据．科学家们猜测该双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星球表面的物质，达到质量转移的目的，则关于赫尔斯—泰勒脉冲双星周期T随双星之间的距离L变化的关系图象正确的是( )
B [双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，＝m12R1＝m22R2，由几何关系得：R1＋R2＝L，解得：＝·，已知此双星系统中体积较小的星球能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，每个星球的质量变化，但质量之和不变，所以∝，故B正确，ACD错误．]
4－3.(2018·湖南省常德市高三模拟考试)(多选)2016年2月1日15时29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星．该卫星绕地球作圆周运动，质量为m，轨道半径约为地球半径R的4倍．重力加是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
BD [在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＋G＝m，解得v＝，A项错误；由周期T＝知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T＝4π，B项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°＝mω2·，解得ω＝，C项错误；由2Gcos 30°＝ma，得a＝，D项正确．]
课时跟踪训练(四)
一、选择题(1～8题为单项选择题，9～14题为多项选择题)
1．(2018·威海市高考模拟考试)2017年9月29日，世界首条量子保密通讯干线“京沪干线”与“墨子号”科学实验卫星进行天地链路，我国科学家成功实现了洲际量子保密通讯．设“墨子号”卫星绕地球做匀速圆周运动，在时间t内通过的弧长为L，该弧长对应的圆心角为θ，已知引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．“墨子号”的运行周期为t
B．“墨子号”的离地高度为
C．“墨子号”的运行速度大于7.9 km/s
D．利用题中信息可计算出地球的质量为
D [“墨子号”的运行周期为T＝＝＝，选项A错误；“墨子号”的离地高度为h＝r－R＝－R，选项B错误；任何卫星的速度均小于第一宇宙速度，选项C错误；根据G＝mω2r，其中ω＝，r＝，解得M＝，选项D正确；故选D.]
2．若太阳系内每个行星贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，该行星的平均密度是ρ，到太阳的距离是R，已知引力常量G.则下列说法正确的是( )
A．可以求出该行星的质量
B．可以求出太阳的质量
C．ρT2是定值
D.是定值
C [因为不知道行星的半径，所以无法求出行星的质量，故A错误．T不是行星的公转周期，所以不能求出太阳的质量，故BD错误．对于卫星，由万有引力充当向心力得G＝mr，其中M＝ρV＝πρr3，整理可得ρT2＝是一个定值，故C正确．]
3．(2018·石家庄高三考前模拟)如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，地球处在运动轨道b位置时，地球和太阳连线所在的直线上的a与e位置、c与d位置均关于太阳对称．当一无动力的探测器处在a或c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度绕太阳做圆周运动，下列说法正确的是( )
A．该探测器在a位置受到的太阳、地球引力的合力等于在c位置受到的太阳、地球引力的合力
B．该探测器在a位置受到的太阳、地球引力的合力大于在c位置受到的太阳、地球引力的合力
C．若地球和该探测器分别在b、d位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动
D．若地球和该探测器分别在b、e位置，它们也能以相同的角速度绕太阳运动
B [根据题述，探测器处在a位置和c位置时，它仅在太阳和地球引力的共同作用下，与地球一起以相同的角速度ω绕太阳做圆周运动，设该探测器的质量为m，在a位置受到的太阳和地球引力的合力为Fa，在c位置受到的太阳和地球引力的合力为Fc，根据牛顿第二定律，可知Fa＝mω2ra，Fc＝mω2rc，由于ra>rc，所以Fa>Fc，选项A错误，B正确；若地球和探测器分别在b、d位置，探测器在d位置所受到的太阳和地球引力的合力与在c位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项C错误；若地球和探测器分别在b、e位置，探测器在e位置所受到的太阳和地球引力的合力与在a位置时不同，所以不能以相同的角速度绕太阳做圆周运动，选项D错误．]
4．2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”．“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国X射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越．“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象．在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为( )
A. B. C. D.
A [双黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，有：G＝m1r1 G＝m2r2，解得：m2＝，m1＝，则双黑洞总质量为：m总＝m2＋m1＝，故选：A.]
5．(2018·福建厦门市毕业班调研)位于贵州的“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜(FAST)．通过FAST测得水星与太阳的视角为θ(水星、太阳分别与观察者的连线所夹的角)，如图所示．若最大视角的正弦值为k，地球和水星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，则水星的公转周期为( )
A.年 B.年 C.年 D.年
C [由题意可知，当观察者和水星的连线与水星的轨道相切时，水星与太阳的视角最大，由三角函数可得sin θ＝＝k，又由万有引力提供向心力有G＝m水r水，＝m地r地，联立以上可解得T水＝年，C正确．]
6．(2018·安徽省合肥一中高三二模)天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是两个黑洞并合的事件．该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞，绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小．若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( )
A．甲、乙两个黑洞运行的线速度v大小之比为36∶29
B．甲、乙两个黑洞运行的角速度ω大小之比为36∶29
C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期T也在减小
D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等
C [对两个黑洞，它们的角速度ω相等，由万有引力G＝m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙和v＝rω可以判断出线速度＝，AB错误．又r1＋r2＝L，结合万有引力公式可以得出G＝ω2，两个黑洞的间距缓慢减小，则角速度ω在增加，由T＝知T减小，而它们的向心加速度a＝，质量不等，相对应的向心加速度大小不相等，C正确，D错误．]
7．(2018·重庆市江津区高三下5月预测模拟)北斗导航已经用于多种手机，如图所示，导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道Ⅱ上飞行，到达A点时转移到圆轨道Ⅰ上．若圆轨道Ⅰ离地球表面的高度 h1，椭圆轨道Ⅱ近地点离地球表面的高度为h2.地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法不正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B．卫星在轨道Ⅰ上的运行速率v＝
C．若卫星在圆轨道Ⅰ上运行的周期是T1，则卫星在轨道Ⅱ的时间T2＝T1
D．若“天宫一号”沿轨道Ⅱ运行经过A点的速度为vA，则“天宫一号”运行到B点的速度vB＝vA
D [卫星从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ要在A点加速，则卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能选项A正确；卫星在轨道Ⅰ上：G＝m，又GM＝gR2，解得v＝，选项B正确；根据开普勒第三定律可得：＝，解得T2＝T1，选项C正确；根据开普勒第三定律得：vA(h1＋R)＝vB(h2＋R)，解得vB＝vA，选项D错误；此题选项不正确的选项，故选D.]
8．(2018·山东省湖北重点学校协作体冲刺模拟)“嫦娥之父”欧阳自远透露：我国计划于2020年登陆火星．假如某志愿者登上火星后将一小球从高为h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经过时间t小球落在火星表面，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星自转，则下列说法正确的是( )
A．火星的第一宇宙速度为
B．火星的质量为
C．火星的平均密度为
D．环绕火星表面运行的卫星的周期为t
C [由自由落体运动规律，h＝gt2，解得火星表面的重力加速度大小为g＝，火星的第一宇宙速度v1＝＝，A错误；在火星表面有G＝mg，解得火星的质量为M＝，B错误；火星的平均密度ρ＝＝＝，C正确；设环绕火星表面运行的卫星的周期为T，则T＝＝πt，D错误．]
9．(2018·河北衡水中学信息卷)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G.下列说法正确的是( )
A．如果该星体的自转周期T<2π，会解体
B．如果该星体的自转周期T>2π，会解体
C．该星体表面的引力加速度为
D．如果有卫星靠近该星体表面飞行，其速度大小为
AD [如果在该星体表面有一物质，质量为m′，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要的同心力时呈稳定状态，即G>m′R，化简得T>2π，即T>2π时，星体不会解体，而该星体的自转周期T<2π时，会解体，A正确；B错误；在该星体表面，有G＝m′g，所以g＝，C错误；如果有卫星靠近该星体表面飞行，有G＝m″，解得v＝，D正确．]
10．(2018·广东南宁市高三调研)如图为某着陆器经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，着陆器先在轨道Ⅰ上运动，然后改在圆轨道Ⅱ上运动，最后在椭圆周轨道Ⅲ上运动，P点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，P、Q两点分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点．且PQ＝2QS＝2L，着陆器在轨道Ⅰ上经过P点的速度为v1，在轨道Ⅱ上经过P点的速度为v2，在轨道Ⅲ上经过P点的速度为v3，下列说法正确的是( )
A．着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速
B．着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间与着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是
C．着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度可表示为
D．着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等
CD [着陆器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，是向低轨道运动，所以应该减速才可以，故A错误；由开普勒第三定律知道，着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间和着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间都是各自周期的一半，根据开普勒第三定律＝k可得＝＝，着陆器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是着陆器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间之比是，故B错误；着陆器在轨道Ⅱ上经过P点的加速度，就是向心加速度，所以a＝＝，着陆器在轨道Ⅲ上经过P点的加速度与着陆器在轨道Ⅱ上经过P点的加速度相同，故C正确；由于着陆器在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点到火星的球心之间的距离是相等的，所以加速度大小相等，故D正确．]
11．(2018·山东省济南市高三一模)2017年11月5日，又有两颗北斗导航系统组网卫星通过“一箭双星”发射升空，并成功进入预定轨道，两颗卫星绕地球运动均看作匀速圆周运动．如果两颗卫星的质量均为M，其中的1号卫星轨道距离地面高度为h,2号卫星轨道距离地面高度为h′，且h′>h，把地球看做质量分布均匀的球体，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．1号卫星绕地球运动的线速度R
B．1号卫星绕地球运动的周期T＝2π(R＋h)
C．1号卫星和2号卫星做匀速圆周运动的向心力大小之比为
D．稳定在轨运行时1号卫星的机械能小于2号卫星的机械能
AD [A项：根据公式G＝M和m0g＝G，解得v＝R，故A正确；B项：根据公式G＝M(R＋h)和m0g＝G，解得：T＝，故B错误；C项：F1＝G，F2＝G，所以＝，故C错误；D项：由于h
A．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
B．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为
C．月球的平均密度为
D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为
AC [在月球表面，重力等于万有引力，则得：G＝mg；对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得：G＝m(R＋h)，联立解得：g＝，故A正确；“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为r＝R＋h，则它绕月球做匀速圆周运动的速度大小为v＝＝，故B错误；根据G＝m(R＋h)，解得月球的质量为M＝，月球的平均密度为ρ＝＝，故C正确；设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，则有：
G＝mg＝m，解得v＝＝，故D错误；故选AC.]
13．(2018·衡水中学同步卷)我国发射天宫二号空间实验室后又发射了神舟十一号飞船，它们于2016年10月19日凌晨进行了自动交会对接．为实现飞船与空间实验室的对接，在地面测控中心的指挥下天宫二号从高空圆轨道下降至低空圆轨道与神舟十一号对接．已知天宫二号从捕获神舟十一号到实现对接用时为t，在这段时间内组合体绕地心转过的角度为θ.取地表重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法中正确的是( )
A．神舟十一号应在比天宫二号半径更小的轨道上加速后逐渐靠近，两者速度接近时才能实现对接
B．对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，至少还需两次点火加速
C．组合体在对接轨道上绕地运行的周期为
D．组合体在对接轨道上绕地运行时距离地表的高度是－R
ABD [飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，做离心运动可使飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，A正确；二者在低轨对接成功后，欲使天宫二号恢复到原轨运行，还需点火加速一次脱离对接轨道而转移到椭圆轨道，达到椭圆轨道与圆轨道的交点处，还要再点火加速一次才能进入圆形轨道，B正确；组合体在对接轨道上绕地运行时ω＝，因此T＝＝，C错误；组合体在对接轨道上绕地运行时引力提供向心力G＝m(R＋H)ω2，又G＝g，整理可得H＝－R，D正确．]
14．(2018·天星教育考前预测)如图所示，已知地球的一颗同步卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为2α.另一颗其他卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为2β(图中未画出)，若α>β，两颗卫星围绕地球转动的方向相同，不考虑两卫星间的影响．若某时刻另一颗卫星位于地球和同步卫星连线中间的某位置．下列说法正确的是( )
A．另一颗卫星的周期为24小时
B．同步卫星和另一颗卫星的线速度之比为
C．至少经过小时，另一颗卫星再次到达地球和同步卫星连线中间某位置
D．经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为
AD [设地球的半径为R，则同步卫星做圆周运动的半径为r1＝，另一颗卫星做圆周运动的半径为r2＝.同步卫星绕地球做圆周运动的周期T1＝24小时，根据＝可得T2＝24小时，选项A正确；根据G＝m可知＝，选项B错误；根据t＝2π可得t＝小时，选项C错误；天体半径扫过的面积为s＝·πr2，而θ＝t，联立可得s＝，故经过相同时间，同步卫星与另一颗卫星半径扫过的面积之比为＝，选项D正确．]
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