课时作业(三十三) 数列的综合应用 练习

课时作业(三十三)　数列的综合应用1．(2017·山西省第二次四校联考)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，公比为q；等差数列{bn}中，b1＝3，且{bn}的前n项和为Sn，a3＋S3＝27，q＝.(1)求{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和Tn.解析：(1)设数列{bn}的公差为d，∵a3＋S3＝27，q＝，∴q2＋3d＝18,6＋d＝q2，联立方程可求得q＝3，d＝3，∴an＝3n－1，bn＝3n.(2)由题意得：Sn＝，cn＝＝··＝－，∴Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.2．(2017·广州市综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2 log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.解析：(1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．(2)因为an＝2n，所以bn＝2 log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.3．(2016·全国卷甲)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意有解得所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.4．某集团打算投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．[f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额](1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该集团为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．哪种方案最合算？解析：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N*，知从第三年开始获利．(2)①平均利润为＝40－2≤16，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6，②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128.故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．5．(2017·陕西商洛模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)当an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2.解析：(1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，∴f(n)＝n.(2)证明：设Tn为{an}的前n项和，∵an＝n·f(n)＝n·n，∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，两式相减得Tn＝＋2＋…＋n－n×n＋1，∴Tn＝2－n－1－n×n<2.6．(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.解析：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立，所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.由e2＝＝2解得q＝，所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．