2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题1解密高考① 三角函数问题重在“变”——变式、变角
展开
解密高考① 三角函数问题重在“变”——变式、变角 |
————[思维导图]————
————[技法指津]————
1．常用的变角技巧
(1)已知角与特殊角的变换，如：75°＝30°＋45°；
(2)已知角与目标角的变换，如：＋α＝－；
(3)角与其倍角的变换， 如：α＋β＝2·；
(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＝－等．
2．常用的变式技巧
(1)解决与三角函数性质有关的问题，常先将它的表达式统一化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
(2)涉及sin x±cos x、sin x·cos x的问题，常做换元处理，如令t＝sin x±cos x∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理；
(3)在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．
母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分 | |
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C. | 本题考查：三角恒等变换、正(余)弦定理等知识，等价转化、转化化归的能力，数学运算、逻辑推理等核心素养. |
[审题指导·发掘条件]
(1)看到sin A、sin B、sin C的等量关系，想到利用正(余)弦定理求A；
(2)看到边a，b，c的等量关系想到利用正弦定理化边为角，看到求sin C想到B＝180°－A－C；缺与角C的相关的三角函数值，借助同角三角函数的关系补找该条件．
[构建模板·四步解法] 三角函数类问题的求解策略
第一步 找条件 | 第二步 巧转化 | 第三步 得结论 | 第四步 再反思 |
分析寻找三角形中的边角关系 | 根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化 | 利用三角恒等变换进行变形，得出结论 | 审视转化过程的等价性与合理性 |
母题突破：2019年天津高考，本小题满分12分 |
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csin B＝4asin C.
(1)求cos B的值；
(2)求sin的值．
[解](1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a. 1分
又因为b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a. 2分
由余弦定理得
cos B＝＝＝－. 4分
(2)由(1)得sin B＝＝， 5分
从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－， 6分
cos 2B＝cos2B－sin2B＝－， 8分
故sin＝sin 2Bcos ＋cos 2Bsin 10分
＝－×－×＝－. 12分
