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2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（上）期末数学试卷
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2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（上）期末数学试卷
一、选择題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（0，﹣4）
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
5．（3分）已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．0的平方根是它本身
B．1的算术平方根是﹣1
C．是最简二次根式
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
8．（3分）如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B＝48°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．28° C．48° D．68°
9．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
10．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）﹣8的立方根是 ．
12．（4分）方程组的解是 ．
13．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ， ）．
14．（4分）如果一次函数y＝x﹣3的图象与y轴交于点A，那么点A的坐标是 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是 ．
16．（4分）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是 ．
17．（4分）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 千米．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（）÷
19．（6分）解方程组：
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（2）求线段DF的长．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 次，众数是 次；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了4次实践活动．
22．（8分）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电），已知每辆汽车可装运甲种家电20台，乙种家电30台．
（1）若用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？
（2）如果每台甲种家电的利润是180元，每台乙种家电的利润是300元，那么该公司售完这190台家电后的总利润是多少？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列问题：
（1）点C的坐标为 ；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）求点B的坐标．
五、解答题(三)(每小题10分,共20分）
24．（10分）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．
【解答】解：A、B、D中3.14，，＝3是有理数，C中是无理数．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（0，﹣4）
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点：纵坐标为0，进而得出答案．
【解答】解：∵在x轴上的点的纵坐标是0，
∴在x轴上的点为：（3，0）．
故选：B．
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+2中，k＝﹣2＜0，b＝2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
4．（3分）方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
【分析】各项方程与已知方程联立求出解，即可作出判断．
【解答】解：A、联立得：，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，符合题意；
B、联立得：，
①﹣②得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，不符合题意；
C、联立得：，
①+②得：5x＝13，
解得：x＝，不符合题意；
D、联立得：，
①×2﹣②得：3x＝11，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝﹣，不符合题意，
故选：A．
5．（3分）已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：x，y之和＝10，x＝y的2倍+3，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：C．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，方差为×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
故选：B．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．0的平方根是它本身
B．1的算术平方根是﹣1
C．是最简二次根式
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
【分析】根据算术平方根的概念、最简二次根式的概念、等边三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、0的平方根是它本身，本选项说法是真命题；
B、1的算术平方根是1，本选项说法是假命题；
C、＝不是最简二次根式，本选项说法是假命题；
D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是假命题；
故选：A．
8．（3分）如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B＝48°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．28° C．48° D．68°
【分析】要求∠D的度数，只需根据平行线的性质，求得∠B的同位角∠CFE的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠B＝48°．
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝48°﹣20°＝28°．
故选：B．
9．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
10．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【分析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），正确；
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（4分）方程组的解是 ．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入x+y＝5，
∴y＝4，
∴方程组的解为：，
故答案为：，
13．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ﹣1 ， ﹣1 ）．
【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．
【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．
故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．
14．（4分）如果一次函数y＝x﹣3的图象与y轴交于点A，那么点A的坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出点A的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，
∴点A的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是 54 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，即可解决问题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
∴BC＝＝＝9．
∴S△ABC＝×9×12＝54
故答案为：54．
16．（4分）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是 80° ．
【分析】首先求出∠AED＝∠CEF＝60°，在△ECF中，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AED＝∠CEF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠F﹣∠CEF＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故答案为80°．
17．（4分）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 450 千米．
【分析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
，
解得：．
∴A、B两地之间的距离为：5×90＝450千米．
故答案为：450．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（）÷
【分析】根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝2﹣
＝．
19．（6分）解方程组：
【分析】根据二元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：
由①﹣②得：﹣x＝﹣5，
∴x＝5，
将x＝5代入①得：10﹣y＝3，
∴y＝7，
∴该方程组的解为
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（2）求线段DF的长．
【分析】（1）分别作出点B与点C关于x轴的对称点，再与点A首尾顺次连接即可得．
（2）利用勾股定理进行计算可得线段DF的长．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）由勾股定理得，线段DF的长为＝．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 3 次，众数是 4 次；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了4次实践活动．
【分析】（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
（2）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；
（3）利用样本估计总体的方法，用1000×百分比即可．
【解答】解：（1）∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次，
∴这组数据的中位数是3次；
故答案为，3，4．
（2）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数＝＝3.3次，
则这组样本数据的平均数是3.3次．
（3）1000×＝360（人）
∴该校学生共参加4次活动约为360人．
22．（8分）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电），已知每辆汽车可装运甲种家电20台，乙种家电30台．
（1）若用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？
（2）如果每台甲种家电的利润是180元，每台乙种家电的利润是300元，那么该公司售完这190台家电后的总利润是多少？
【分析】（1）设装运甲种家电的汽车有x辆，装运乙种家电的汽车有y辆，根据用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台即可求得x、y的值；
（2）根据总利润＝甲种家电的利润+乙种家电的利润，列出算式计算即可求解．
【解答】解：（1）设装运甲种家电的汽车有x辆，装运乙种家电的汽车有y辆，依题意有
，
解得．
故装运甲种家电的汽车有5辆，装运乙种家电的汽车有3辆；
（2）20×5×180+30×3×300＝45000（元）．
答：该公司售完这190台家电后的总利润是45000元．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列问题：
（1）点C的坐标为 （5，0） ；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）求点B的坐标．
【分析】（1）将△AOC沿AC折叠得到△ABC，则AB＝OA，BC＝OC，而OA＝OC，故OA＝AB＝BC＝OC，故四边形ABCO为菱形，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（3）AB＝5，点A坐标为（﹣3，4），AB＝OC，故点B的坐标为：（2，4）．
【解答】解：（1）将△AOC沿AC折叠得到△ABC，则AB＝OA，BC＝OC，而OA＝OC，
故OA＝AB＝BC＝OC，故四边形ABCO为菱形；
点A（﹣3，4），则AO＝＝5，即菱形的边长为5，
即OA＝AB＝BC＝OC＝5，
故点C（5，0），
故答案为：（5，0）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
即直线AC的函数关系式为：y＝﹣x+；
（3）AB＝5，点A坐标为（﹣3，4），AB＝OC，
故点B的坐标为：（2，4）．
五、解答题(三)(每小题10分,共20分）
24．（10分）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
【分析】（1）根据方程组，可以得到∠α和∠β的度数；
（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；
（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C＝180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
【解答】解：（1），
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°；
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出△OBC的面积，进而求出△OBP的面积，进而求出点P的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论；
（3）分点P在OC和BC上两种情况，先求出直线BP的解析式，再联立成方程组，解得即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵点C（2，4）在直线AB上，
∴2k+6＝4，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，
∴﹣x+6＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴S△OBC＝OB•yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，
∴S△OPB＝×12＝3，
设P的纵坐标为m，
∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，
∴m＝1，
∵C（2，4），
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当点P在OC上时，x＝，
∴P（，1），
当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，
∴P（5，1），
即：点P（，1）或（5，1）；
（3）∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
当点P在OC上时，由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，
∴直线BP的解析式的比例系数为﹣，
∵B（6，0），
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3②，
联立①②，解得，
∴P（，），
当点P在BC上时，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6③，
∴直线OP的解析式为y＝x④，联立③④解得，，
∴P（3，3），
即：点P的坐标为（，）或（3，3）．
一、选择題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（0，﹣4）
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
5．（3分）已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．0的平方根是它本身
B．1的算术平方根是﹣1
C．是最简二次根式
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
8．（3分）如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B＝48°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．28° C．48° D．68°
9．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
10．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）﹣8的立方根是 ．
12．（4分）方程组的解是 ．
13．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ， ）．
14．（4分）如果一次函数y＝x﹣3的图象与y轴交于点A，那么点A的坐标是 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是 ．
16．（4分）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是 ．
17．（4分）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 千米．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（）÷
19．（6分）解方程组：
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（2）求线段DF的长．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 次，众数是 次；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了4次实践活动．
22．（8分）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电），已知每辆汽车可装运甲种家电20台，乙种家电30台．
（1）若用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？
（2）如果每台甲种家电的利润是180元，每台乙种家电的利润是300元，那么该公司售完这190台家电后的总利润是多少？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列问题：
（1）点C的坐标为 ；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）求点B的坐标．
五、解答题(三)(每小题10分,共20分）
24．（10分）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广东省清远市英德市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择題（每小題3分，共30分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】A、B、C、D根据无理数的概念“无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数”即可判定选择项．
【解答】解：A、B、D中3.14，，＝3是有理数，C中是无理数．
故选：C．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点位于x轴上的是（ ）
A．（1，﹣2） B．（3，0） C．（﹣1，3） D．（0，﹣4）
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点：纵坐标为0，进而得出答案．
【解答】解：∵在x轴上的点的纵坐标是0，
∴在x轴上的点为：（3，0）．
故选：B．
3．（3分）一次函数y＝﹣2x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+2中，k＝﹣2＜0，b＝2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
4．（3分）方程2x+y＝5与下列方程构成的方程组的解为的是（ ）
A．x﹣y＝4 B．x+y＝4 C．3x﹣y＝8 D．x+2y＝﹣1
【分析】各项方程与已知方程联立求出解，即可作出判断．
【解答】解：A、联立得：，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，符合题意；
B、联立得：，
①﹣②得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，不符合题意；
C、联立得：，
①+②得：5x＝13，
解得：x＝，不符合题意；
D、联立得：，
①×2﹣②得：3x＝11，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝﹣，不符合题意，
故选：A．
5．（3分）已知两数x，y之和是10，且x比y的2倍大3，则下列所列方程组正确的值是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：x，y之和＝10，x＝y的2倍+3，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：C．
6．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是0 C．平均数3 D．方差是2.8
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，
则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，方差为×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，
故选：B．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．0的平方根是它本身
B．1的算术平方根是﹣1
C．是最简二次根式
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
【分析】根据算术平方根的概念、最简二次根式的概念、等边三角形的判定定理判断．
【解答】解：A、0的平方根是它本身，本选项说法是真命题；
B、1的算术平方根是1，本选项说法是假命题；
C、＝不是最简二次根式，本选项说法是假命题；
D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是假命题；
故选：A．
8．（3分）如图，AB∥CD，BE交CD于点F，∠B＝48°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20° B．28° C．48° D．68°
【分析】要求∠D的度数，只需根据平行线的性质，求得∠B的同位角∠CFE的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠B＝48°．
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝48°﹣20°＝28°．
故选：B．
9．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
10．（3分）如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）
【分析】依据内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），正确；
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），正确；
C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），错误；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）﹣8的立方根是 ﹣2 ．
【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
12．（4分）方程组的解是 ．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入x+y＝5，
∴y＝4，
∴方程组的解为：，
故答案为：，
13．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（ ﹣1 ， ﹣1 ）．
【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．
【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．
故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．
14．（4分）如果一次函数y＝x﹣3的图象与y轴交于点A，那么点A的坐标是 （0，﹣3） ．
【分析】代入x＝0求出与之对应的y值，进而可得出点A的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，
∴点A的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝15，AC＝12，那么Rt△ABC的面积是 54 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长度，即可解决问题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，AC＝12，
∴BC＝＝＝9．
∴S△ABC＝×9×12＝54
故答案为：54．
16．（4分）如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是 80° ．
【分析】首先求出∠AED＝∠CEF＝60°，在△ECF中，利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AED＝∠CEF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠F﹣∠CEF＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
故答案为80°．
17．（4分）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地后，立即按原路以相同速度匀速返回（停留时间不作考虑），直到两车相遇．若甲、乙两车之间的距离y（千米）与两车行驶的时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则A、B两地之间的距离为 450 千米．
【分析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．
【解答】解：设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
，
解得：．
∴A、B两地之间的距离为：5×90＝450千米．
故答案为：450．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：（）÷
【分析】根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝2﹣
＝．
19．（6分）解方程组：
【分析】根据二元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：
由①﹣②得：﹣x＝﹣5，
∴x＝5，
将x＝5代入①得：10﹣y＝3，
∴y＝7，
∴该方程组的解为
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，0），B（﹣3，﹣3），C（﹣1，﹣3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；
（2）求线段DF的长．
【分析】（1）分别作出点B与点C关于x轴的对称点，再与点A首尾顺次连接即可得．
（2）利用勾股定理进行计算可得线段DF的长．
【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）由勾股定理得，线段DF的长为＝．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21．（8分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：
（1）这50个样本数据的中位数是 3 次，众数是 4 次；
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了4次实践活动．
【分析】（1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
（2）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；
（3）利用样本估计总体的方法，用1000×百分比即可．
【解答】解：（1）∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次，
∴这组数据的中位数是3次；
故答案为，3，4．
（2）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数＝＝3.3次，
则这组样本数据的平均数是3.3次．
（3）1000×＝360（人）
∴该校学生共参加4次活动约为360人．
22．（8分）某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售（规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电），已知每辆汽车可装运甲种家电20台，乙种家电30台．
（1）若用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？
（2）如果每台甲种家电的利润是180元，每台乙种家电的利润是300元，那么该公司售完这190台家电后的总利润是多少？
【分析】（1）设装运甲种家电的汽车有x辆，装运乙种家电的汽车有y辆，根据用8辆汽车装运甲、乙两种家电共190台即可求得x、y的值；
（2）根据总利润＝甲种家电的利润+乙种家电的利润，列出算式计算即可求解．
【解答】解：（1）设装运甲种家电的汽车有x辆，装运乙种家电的汽车有y辆，依题意有
，
解得．
故装运甲种家电的汽车有5辆，装运乙种家电的汽车有3辆；
（2）20×5×180+30×3×300＝45000（元）．
答：该公司售完这190台家电后的总利润是45000元．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，在△AOC中，OA＝OC，点A坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，将△AOC沿AC折叠得到△ABC，请解答下列问题：
（1）点C的坐标为 （5，0） ；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）求点B的坐标．
【分析】（1）将△AOC沿AC折叠得到△ABC，则AB＝OA，BC＝OC，而OA＝OC，故OA＝AB＝BC＝OC，故四边形ABCO为菱形，即可求解；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（3）AB＝5，点A坐标为（﹣3，4），AB＝OC，故点B的坐标为：（2，4）．
【解答】解：（1）将△AOC沿AC折叠得到△ABC，则AB＝OA，BC＝OC，而OA＝OC，
故OA＝AB＝BC＝OC，故四边形ABCO为菱形；
点A（﹣3，4），则AO＝＝5，即菱形的边长为5，
即OA＝AB＝BC＝OC＝5，
故点C（5，0），
故答案为：（5，0）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
即直线AC的函数关系式为：y＝﹣x+；
（3）AB＝5，点A坐标为（﹣3，4），AB＝OC，
故点B的坐标为：（2，4）．
五、解答题(三)(每小题10分,共20分）
24．（10分）如图，CD∥EF，AC⊥AE，且∠α和∠β的度数满足方程组
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求证：AB∥CD．
（3）求∠C的度数．
【分析】（1）根据方程组，可以得到∠α和∠β的度数；
（2）根据（1）∠α和∠β的度数，可以得到AB∥EF，再根据CD∥EF，即可得到AB∥CD；
（3）根据AB∥CD，可得∠BAC+∠C＝180°，再根据AC⊥AE和∠α的度数可以得到∠BAC的度数，从而可以得到∠C的度数．
【解答】解：（1），
①﹣②，得
3∠α＝165°，
解得，∠α＝55°，
把∠α＝55°代入②，得
∠β＝125°，
即∠α和∠β的度数分别为55°，125°；
（2）证明：由（1）知，∠α＝55°，∠β＝125°，
则∠α+∠β＝180°，
故AB∥EF，
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠C＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
又∵∠α＝55°，
∴∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4）动点P沿路线O→C→B运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出△OBC的面积，进而求出△OBP的面积，进而求出点P的纵坐标，再分两种情况，代入直线解析式中即可得出结论；
（3）分点P在OC和BC上两种情况，先求出直线BP的解析式，再联立成方程组，解得即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，6），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+6，
∵点C（2，4）在直线AB上，
∴2k+6＝4，
∴k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6，
令y＝0，
∴﹣x+6＝0，
∴x＝6，
∴B（6，0），
∴S△OBC＝OB•yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，
∴S△OPB＝×12＝3，
设P的纵坐标为m，
∴S△OPB＝OB•m＝3m＝3，
∴m＝1，
∵C（2，4），
∴直线OC的解析式为y＝2x，
当点P在OC上时，x＝，
∴P（，1），
当点P在BC上时，x＝6﹣1＝5，
∴P（5，1），
即：点P（，1）或（5，1）；
（3）∵△OBP是直角三角形，
∴∠OPB＝90°，
当点P在OC上时，由（2）知，直线OC的解析式为y＝2x①，
∴直线BP的解析式的比例系数为﹣，
∵B（6，0），
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+3②，
联立①②，解得，
∴P（，），
当点P在BC上时，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+6③，
∴直线OP的解析式为y＝x④，联立③④解得，，
∴P（3，3），
即：点P的坐标为（，）或（3，3）．
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