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高中鲁科版 (2019)第3节 电势差与电场强度的关系优秀教案设计
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这是一份高中鲁科版 (2019)第3节 电势差与电场强度的关系优秀教案设计，共15页。
知识点一 电势差与静电力做功
[观图助学]
(1)身高与站的位置有关吗？
(2)思考讨论：电势差的值与零电势点的位置有关吗？
1.在物理学中，电场中两点间电势的差值称为电势差，也叫电压。
2.公式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，可见UAB＝－UBA。
3.电势差是标量，UAB为正值，A点的电势比B点的电势高；UAB为负值，A点的电势比B点的电势低。
4.电势差与静电力做功的关系：UAB＝eq \f(WAB,q)或WAB＝qUAB。
5.在研究原子和原子核时，常用电子伏特做能量单位，1__eV＝1.6×10－19__J。
[思考判断]
(1)电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关。(×)
(2)电势差是一个标量，但是有正值和负值之分。(√)
(3)由UAB＝eq \f(WAB,q)可知，UAB与WAB成正比，与q成反比。(×)
(4)UAB＝8 V，表示A点电势比B点高8 V。(√)
(5)若电场中两点间的电势差UAB＝1 V，则单位正电荷从A点移到B点静电力做功为1 J。(√)
知识点二 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[观图助学]
每个台阶一样高，所以10×0.2 m＝2 m，就是两人所在位置的高度差。在匀强电场中能否用电场强度乘以距离得到两点间的电势差？
1.匀强电场中电场强度与电势差的关系E＝eq \f(UAB,d)。
2.物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
3.场强的另一个单位：伏[特]每米，符号V/m，1 N/C＝1 V/m。
4.UAB＝Ed，其物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
[思考判断]
(1)场强公式E＝eq \f(UAB,d)和E＝eq \f(F,q)适用范围不同。(√)
(2)电场强度E与电势差UAB成正比，与两点沿电场方向的距离d成反比。(×)
(3)电场强度的两个单位N/C与V/m是等效的。(√)
电势差由电场本身的性质决定。电场中的电势是相对的，而电势差是绝对的，与零电势点选取无关。
UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点的过程中静电力所做的功。
(1)公式E＝eq \f(U,d)和U＝Ed适用于匀强电场中电场强度、电势差的分析和计算。
(2)在非匀强电场中，电势差与电场强度的关系要复杂得多，应用公式E＝eq \f(U,d)只能作出定性判断：它可以表示两点间的平均电场强度。
距离d表示匀强电场沿电场方向的距离。
证明
1 V/m＝eq \f(1 V,1 m)＝eq \f(1 J/C,1 m)＝eq \f(1 J,1 C·m)＝1 N/C
核心要点 电势差与静电力做功
[观察探究]
电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差为多少？哪个较大？
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势为多少？A、C及A、B间的电势差为多少？
[探究归纳]
1.关于电势差的三点说明
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关。
(2)求电势差时，必须明确所要求的是哪两点的电势差。A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正、负表示电场中两点间的电势的高低。
若UAB>0则φA>φB，若UAB<0则φA<φB。
2.对电势差公式UAB＝eq \f(WAB,q)的理解
(1)UAB＝eq \f(WAB,q)中，WAB为q从初位置A移动到末位置B静电力做的功，WAB可为正值，也可为负值，q为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值。
(2)公式UAB＝eq \f(WAB,q)不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是可以利用WAB、q来测量A、B两点间的电势差UAB。
(3)由UAB＝eq \f(WAB,q)可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点的过程中静电力所做的功WAB。
(4)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB仅是静电力做的功，式中各量均有正、负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。
(5)不管电场是否是匀强电场，静电力是否是恒力，都可以利用WAB＝qUAB来计算静电力做的功。
[试题案例]
[例1] 在电场中把2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，静电力做功1.5×10－7 J。再把这个电荷从B点移到C点，静电力做功－4.0×10－7 J。
(1)A、B、C三点中哪点电势最高？哪点电势最低？
(2)A、B间，B、C间，A、C间的电势差各是多大？
(3)把－1.5×10－9 C的电荷从A点移到C点，静电力做多少功？
(4)根据以上所得结果，定性地画出电场分布的示意图，标出A、B、C三点可能的位置。
解析 (1)正电荷从A到B，静电力做正功，A点电势比B点电势高。正电荷从B到C，静电力做负功，C点电势比B点电势高，但由B到C克服静电力做功较多，所以C点电势最高，B点电势最低。
(2)AB间的电势差UAB＝eq \f(WAB,q)＝75 V
BC间的电势差UBC＝eq \f(WBC,q)＝－200 V
AC间的电势差UAC＝UAB＋UBC＝－125 V。
(3)负电荷由A到C，静电力做功
WAC＝q′UAC＝1.875×10－7 J。
(4)电场分布示意图和A、B、C三点可能的位置如图所示。
电场分布示意图
答案 见解析
方法凝炼 (1)电势差的三种求解方法
①应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
②应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解。
③应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
(2)在应用公式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断。
[针对训练1] 如图所示是一匀强电场，已知场强E＝2×102 N/C，现让一个电荷量为q＝－4×10－8 C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离l＝30 cm。试求：
(1)电荷从M点移到N点电势能的变化；
(2)M、N两点间的电势差。
解析 (1)负电荷在该电场中所受静电力F为恒力，方向向左，因此从M点移到N点，电荷克服静电力做功，电势能增加，增加的电势能ΔEp等于电荷克服静电力做的功W。
电荷克服静电力做功为
W＝qEl＝4×10－8×2×102×0.3 J＝2.4×10－6 J，
故电势能增加了2.4×10－6 J。
(2)M、N两点间的电势差为UMN＝Ed＝2×102×0.3 V＝60 V，即M、N两点间的电势差为60 V。
答案 (1)电势能增加了2.4×10－6 J (2)60 V
核心要点 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[观察探究]
如图所示，B、C、D三点处在同一等势面上，沿A→B、A→C、A→D电势是升高还是降低？哪个方向电势降低最快？
答案 沿AB、AC、AD三个方向电势都降低，且电势下降的值相等。但AC沿电场线方向，距离最短，单位长度上电势下降最大，即电势降低最快。
[探究归纳]
匀强电场中电场强度和电势差的关系
(1)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(2)定性分析：电势和电场强度都是描述电场性质的物理量，都由电场本身决定，但这两个物理量之间无直接关系，电场强度是从力的角度描述电场性质的物理量，是矢量；而电势是从能量角度来描述电场性质的物理量，是标量。但是它们又有着定量的联系。
(3)定量关系：E＝eq \f(U,d)或U＝E·d
E＝eq \f(UAB,d)是利用比值定义法来定义电场强度的，表明电场强度和电势无直接关系，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间位置变化越快，则电场强度越大。
[试题案例]
[例2] 平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V。试问：
(1)两板间的电场强度是多大？
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差为多大？
(3)若B板接地，P1和P2两点的电势各是多少伏？
解析 (1)根据公式E＝eq \f(U,d)代入数据得E＝eq \f(60 V,5×10－2 m)＝1 200 V/m。
(2)P1P2沿电场方向的距离为
d12＝5 cm－(0.5＋0.5) cm＝4 cm
根据公式U12＝Ed12＝1 200×4×10－2 V＝48 V。
(3)由公式U1B＝φ1－φB＝Ed1B＝1 200×4.5×10－2 V＝54 V，得φ1＝54 V。
同理U2B＝φ2－φB＝Ed2B＝1 200×0.5×10－2 V＝6 V，
得φ2＝6 V。
答案 (1)1 200 V/m (2)48 V (3)54 V 6 V
[针对训练2] 如图所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm，则该电场的场强大小为________V/m，到A点距离为1.5 cm的P点电势为________V。
解析 因为电场是匀强电场，所以E＝eq \f(UBA,d)＝eq \f(UBA,ABsin 60°)＝eq \f(10,0.02×\f(\r(3),2)) V/m＝eq \f(1 000\r(3),3) V/m，
UBP＝E·PBsin 60°＝eq \f(1 000,\r(3))×0.005×eq \f(\r(3),2) V＝2.5 V，
因UBP＝φB－φP，φB＝0，得φP＝－2.5 V。
答案 eq \f(1 000\r(3),3) －2.5
1.(静电力做功与电势差的关系)电场中有a、b两点，a点电势为2 V，带电荷量为2×10－8 C的负离子仅在电场力作用下从a运动到b的过程中，电场力做正功4×10－8 J，则( )
A.b点电势是2 V B.a、b两点中，b点电势较高
C.该电荷的电势能增加 D.该电荷速度可能减小
解析 负离子仅在电场力作用下从a运动到b，电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增大，因而速度增大，C、D错误；由Uab＝eq \f(Wab,q)＝eq \f(4×10－8,－2×10－8) V＝－2 V，又Uab＝φa－φb，故φb＝φa－Uab＝4 V，b点电势较高，A错误，B正确。
答案 B
2.(电势差的理解)(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
解析 UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，选项A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，选项B正确；电势是标量，正、负号是相对于零电势点而言的，正号表示该点电势高于零电势，负号表示该点电势低于零电势，选项C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，选项D正确。
答案 BD
3.(电场强度与电势差的关系)如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A.UOP＝－10 sin θ(V)
B.UOP＝10 sin θ(V)
C.UOP＝－10 cs θ(V)
D.UOP＝10 cs θ(V)
解析 在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10 sin θ(V)，故A正确。
答案 A
4.(电势差的计算)
如图所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和
－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________。
解析 由电势差的定义可知，因A、B两点在同一个等势面上，故有φA＝φB＝10 V，而φC＝－2 V，所以A、B间的电势差为
UAB＝φA－φB＝10 V－10 V＝0
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝10 V－(－2 V)＝12 V
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φA＝－2 V－10 V＝－12 V。
答案 0 12 V －12 V
基础过关
1.对于电场中A、B两点，下列说法正确的是( )
A.电势差的定义式UAB＝eq \f(WAB,q)，说明两点间的电势差UAB与静电力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B.A、B两点间的电势差UAB与移动电荷的电荷量q无关
C.把负电荷从A点移到B点静电力做正功，则有UAB>0
D.电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时静电力做的功
解析 电场中两点间的电势差在数值上等于将单位正电荷从一点移到另一点时静电力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，把负电荷从A点移到B点电场力做正功，由公式UAB＝eq \f(WAB,q)可知，UAB<0，故只有选项B正确。
答案 B
2.如图所示，a、b是电场线上的两点，将一点电荷q从a点移到b点，静电力做功W，且已知a、b间的距离为d，以下说法中正确的是( )
A.a、b两点间的电势差为eq \f(W,q)
B.a点的电场强度为E＝eq \f(W,qd)
C.b点的电场强度为E＝eq \f(W,qd)
D.a点的电势为eq \f(W,q)
解析 由W＝qU知a、b两点间的电势差U＝eq \f(W,q)，所以A项正确；由于不知该电场是否是匀强电场，静电力可能不为恒力，所以B、C项错误；题中没有指明零电势点，所以D项错误。
答案 A
3.在点电荷Q形成的电场中有一点A，当一个电荷量为－q的检验电荷从无限远处电势能为零的O点被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点与无限远处的O点的电势差分别为( )
A.EpA＝－W，UAO＝eq \f(W,q) B.EpA＝W，UAO＝－eq \f(W,q)
C.EpA＝W，UAO＝eq \f(W,q) D.EpA＝－W，UAO＝－eq \f(W,q)
解析 依题意，检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则电荷的电势能减小W，无限远处O点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为EpA＝－W，A与无限远处的O点的电势差为UAO＝eq \f(－W,－q)＝eq \f(W,q)。
答案 A
4.在电场中将一带电荷量q＝－1×10－9 C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×10－6 J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6 J，则B、C间的电势差大小为( )
A.5 000 V B.3 000 V
C.2 000 V D.1 000 V
解析 电荷由B移到C，电场力做功为
WBC＝WBA＋WAC＝－2×10－6 J－3×10－6 J＝－5×10－6 J
UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(－5×10－6,－1×10－9) V＝5 000 V
所以B、C间的电势差大小为5 000 V。
答案 A
5.(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A.任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等
C.电势降低最快的方向必是场强方向
D.在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大
解析 U＝Ed中的d为A、B两点沿电场线方向的距离，选项A错误；由U＝Ed可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B、C正确；在相同距离上的两点，电势差大，场强不一定大，若两点沿电场线方向距离相同，电势差大的其场强必定大，选项D错误。
答案 BC
6.(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是( )
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析 根据电场线和等势面的关系，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN
答案 AD
7.如图所示，在匀强电场中取一点O，过O点作射线OA＝OB＝OC＝OD＝10 cm，已知O、A、B、C和D各点电势分别为0、7 V、8 V、7 V、5 V，则匀强电场场强的大小和方向最接近于( )
A.70 V/m，沿AO方向 B.70 V/m，沿CO方向
C.80 V/m，沿BO方向 D.80 V/m，沿CO方向
解析 由O、A、B、C、D各点电势值可知，O点电势最低，为零，A、C在同一等势面上，所以电场线与AC连线垂直，最接近BO方向，大小接近E＝eq \f(U,d)＝eq \f(UBO,OB)＝eq \f(8,0.1) V/m＝80 V/m，选项C正确。
答案 C
能力提升
8. (多选)如图所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设a、b所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则( )
A.带电粒子带负电
B.a、b两点间的电势差Uab＝eq \f(mgh,q)
C.b点场强大于a点场强
D.a点场强大于b点场强
解析 带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时速度为零，动能没有增大，说明静电力做负功，根据动能定理有mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝eq \f(mgh,q)，故B正确；因为a点电势高于b点电势，故Uab>0，而静电力做负功，所以粒子带负电，选项A正确；带电粒子由a运动到b过程中，在重力和静电力的共同作用下，先加速运动后减速运动，因此重力为恒力，所以静电力为变力，且静电力先小于重力后大于重力，由此可见b点场强大于a点场强，选项C正确，D错误。
答案 ABC
9.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
A.场强的方向由C指向B
B.场强的方向垂直AD连线斜向上
C.场强的大小为10 V/m
D.场强的大小为eq \f(20\r(3),3) V/m
解析 由题意知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，则BC连线的中点D的电势为φD＝eq \f(φB＋φC,2)＝eq \f(－5＋15,2) V＝5 V，则φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直，可知场强的方向垂直于AD连线斜向下，如图所示，A、B项错误；场强的大小E＝eq \f(UAB,lABcs 30°)＝eq \f(10,\f(\r(3),2)) V/m＝eq \f(20,\r(3)) V/m＝eq \f(20,3)eq \r(3) V/m，C错误，D正确。
答案 D
10.如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，lab＝5 cm，lbc＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一电子(其电荷量大小为e＝1.6×10－19 C)从a移到b电场力做功为Wab＝3.2×10－18 J。
(1)求匀强电场的场强大小及方向；
(2)求电子从b移到c，电场力对它做的功；
(3)设φa＝0，求电子在c点的电势能；
(4)求a、c两点的电势差。
解析 (1)电子从a点移到b点电场力做正功，可知电场力方向向右，则电场强度方向向左，由Wab＝eUba，
Uba＝Elab，得E＝eq \f(Wab,elab)＝400 V/m
(2)电子从b点移到c点，电场力做功
Wbc＝eElbccs 60°＝3.84×10－18 J。
(3)电子从a点移到c点，电场力做功
Wac＝Wab＋Wbc＝7.04×10－18 J
电子电势能减少7.04×10－18 J
设φa＝0，则电子在c点的电势能为－7.04×10－18 J。
(4)a、c两点的电势差Uac＝eq \f(Wac,－e)＝－44 V。
答案 见解析
11.如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为eq \r(3gh)，求：
(1)小球由A到B的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差。
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有电场力做功WAB和重力做功mgh，
由动能定理得WAB＋mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
代入已知条件vB＝eq \r(3gh)得电场力做的功为
WAB＝eq \f(1,2)m·3gh－mgh＝eq \f(1,2)mgh。
(2)B、C在同一条等势线上，可知φB＝φC，
即UAC＝UAB，
由W＝qU得UAC＝UAB＝eq \f(WAB,－q)＝－eq \f(mgh,2q)。
答案 (1)eq \f(mgh,2) (2)－eq \f(mgh,2q)
核心素养
物理观念
科学思维
1.了解电势差的含义。
2.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
3.会应用静电力做功的公式进行相关计算。
1.通过推导理解电场力做功与电势差的关系。
2.通过推导电场强度的单位“伏特每米”与“牛顿每库仑”，理解电势差与电场强度的物理意义。
知识点一 电势差与静电力做功
[观图助学]
(1)身高与站的位置有关吗？
(2)思考讨论：电势差的值与零电势点的位置有关吗？
1.在物理学中，电场中两点间电势的差值称为电势差，也叫电压。
2.公式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，可见UAB＝－UBA。
3.电势差是标量，UAB为正值，A点的电势比B点的电势高；UAB为负值，A点的电势比B点的电势低。
4.电势差与静电力做功的关系：UAB＝eq \f(WAB,q)或WAB＝qUAB。
5.在研究原子和原子核时，常用电子伏特做能量单位，1__eV＝1.6×10－19__J。
[思考判断]
(1)电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关。(×)
(2)电势差是一个标量，但是有正值和负值之分。(√)
(3)由UAB＝eq \f(WAB,q)可知，UAB与WAB成正比，与q成反比。(×)
(4)UAB＝8 V，表示A点电势比B点高8 V。(√)
(5)若电场中两点间的电势差UAB＝1 V，则单位正电荷从A点移到B点静电力做功为1 J。(√)
知识点二 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[观图助学]
每个台阶一样高，所以10×0.2 m＝2 m，就是两人所在位置的高度差。在匀强电场中能否用电场强度乘以距离得到两点间的电势差？
1.匀强电场中电场强度与电势差的关系E＝eq \f(UAB,d)。
2.物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向的距离之比。也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
3.场强的另一个单位：伏[特]每米，符号V/m，1 N/C＝1 V/m。
4.UAB＝Ed，其物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
[思考判断]
(1)场强公式E＝eq \f(UAB,d)和E＝eq \f(F,q)适用范围不同。(√)
(2)电场强度E与电势差UAB成正比，与两点沿电场方向的距离d成反比。(×)
(3)电场强度的两个单位N/C与V/m是等效的。(√)
电势差由电场本身的性质决定。电场中的电势是相对的，而电势差是绝对的，与零电势点选取无关。
UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点的过程中静电力所做的功。
(1)公式E＝eq \f(U,d)和U＝Ed适用于匀强电场中电场强度、电势差的分析和计算。
(2)在非匀强电场中，电势差与电场强度的关系要复杂得多，应用公式E＝eq \f(U,d)只能作出定性判断：它可以表示两点间的平均电场强度。
距离d表示匀强电场沿电场方向的距离。
证明
1 V/m＝eq \f(1 V,1 m)＝eq \f(1 J/C,1 m)＝eq \f(1 J,1 C·m)＝1 N/C
核心要点 电势差与静电力做功
[观察探究]
电场中A、B、C、D四点的电势如图所示。
(1)A、C及A、B间的电势差为多少？哪个较大？
(2)若取D点电势为零，则A、B、C三点的电势为多少？A、C及A、B间的电势差为多少？
[探究归纳]
1.关于电势差的三点说明
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关。
(2)求电势差时，必须明确所要求的是哪两点的电势差。A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正、负表示电场中两点间的电势的高低。
若UAB>0则φA>φB，若UAB<0则φA<φB。
2.对电势差公式UAB＝eq \f(WAB,q)的理解
(1)UAB＝eq \f(WAB,q)中，WAB为q从初位置A移动到末位置B静电力做的功，WAB可为正值，也可为负值，q为电荷所带电荷量，正电荷取正值，负电荷取负值。
(2)公式UAB＝eq \f(WAB,q)不能认为UAB与WAB成正比、与q成反比，只是可以利用WAB、q来测量A、B两点间的电势差UAB。
(3)由UAB＝eq \f(WAB,q)可以看出，UAB在数值上等于单位正电荷由A点移到B点的过程中静电力所做的功WAB。
(4)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，UAB为电场中A、B两点间的电势差，WAB仅是静电力做的功，式中各量均有正、负，计算中W与U的角标要对应，即WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。
(5)不管电场是否是匀强电场，静电力是否是恒力，都可以利用WAB＝qUAB来计算静电力做的功。
[试题案例]
[例1] 在电场中把2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，静电力做功1.5×10－7 J。再把这个电荷从B点移到C点，静电力做功－4.0×10－7 J。
(1)A、B、C三点中哪点电势最高？哪点电势最低？
(2)A、B间，B、C间，A、C间的电势差各是多大？
(3)把－1.5×10－9 C的电荷从A点移到C点，静电力做多少功？
(4)根据以上所得结果，定性地画出电场分布的示意图，标出A、B、C三点可能的位置。
解析 (1)正电荷从A到B，静电力做正功，A点电势比B点电势高。正电荷从B到C，静电力做负功，C点电势比B点电势高，但由B到C克服静电力做功较多，所以C点电势最高，B点电势最低。
(2)AB间的电势差UAB＝eq \f(WAB,q)＝75 V
BC间的电势差UBC＝eq \f(WBC,q)＝－200 V
AC间的电势差UAC＝UAB＋UBC＝－125 V。
(3)负电荷由A到C，静电力做功
WAC＝q′UAC＝1.875×10－7 J。
(4)电场分布示意图和A、B、C三点可能的位置如图所示。
电场分布示意图
答案 见解析
方法凝炼 (1)电势差的三种求解方法
①应用定义式UAB＝φA－φB来求解。
②应用关系式UAB＝eq \f(WAB,q)来求解。
③应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。
(2)在应用公式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断。
[针对训练1] 如图所示是一匀强电场，已知场强E＝2×102 N/C，现让一个电荷量为q＝－4×10－8 C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离l＝30 cm。试求：
(1)电荷从M点移到N点电势能的变化；
(2)M、N两点间的电势差。
解析 (1)负电荷在该电场中所受静电力F为恒力，方向向左，因此从M点移到N点，电荷克服静电力做功，电势能增加，增加的电势能ΔEp等于电荷克服静电力做的功W。
电荷克服静电力做功为
W＝qEl＝4×10－8×2×102×0.3 J＝2.4×10－6 J，
故电势能增加了2.4×10－6 J。
(2)M、N两点间的电势差为UMN＝Ed＝2×102×0.3 V＝60 V，即M、N两点间的电势差为60 V。
答案 (1)电势能增加了2.4×10－6 J (2)60 V
核心要点 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[观察探究]
如图所示，B、C、D三点处在同一等势面上，沿A→B、A→C、A→D电势是升高还是降低？哪个方向电势降低最快？
答案 沿AB、AC、AD三个方向电势都降低，且电势下降的值相等。但AC沿电场线方向，距离最短，单位长度上电势下降最大，即电势降低最快。
[探究归纳]
匀强电场中电场强度和电势差的关系
(1)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(2)定性分析：电势和电场强度都是描述电场性质的物理量，都由电场本身决定，但这两个物理量之间无直接关系，电场强度是从力的角度描述电场性质的物理量，是矢量；而电势是从能量角度来描述电场性质的物理量，是标量。但是它们又有着定量的联系。
(3)定量关系：E＝eq \f(U,d)或U＝E·d
E＝eq \f(UAB,d)是利用比值定义法来定义电场强度的，表明电场强度和电势无直接关系，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间位置变化越快，则电场强度越大。
[试题案例]
[例2] 平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是60 V。试问：
(1)两板间的电场强度是多大？
(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差为多大？
(3)若B板接地，P1和P2两点的电势各是多少伏？
解析 (1)根据公式E＝eq \f(U,d)代入数据得E＝eq \f(60 V,5×10－2 m)＝1 200 V/m。
(2)P1P2沿电场方向的距离为
d12＝5 cm－(0.5＋0.5) cm＝4 cm
根据公式U12＝Ed12＝1 200×4×10－2 V＝48 V。
(3)由公式U1B＝φ1－φB＝Ed1B＝1 200×4.5×10－2 V＝54 V，得φ1＝54 V。
同理U2B＝φ2－φB＝Ed2B＝1 200×0.5×10－2 V＝6 V，
得φ2＝6 V。
答案 (1)1 200 V/m (2)48 V (3)54 V 6 V
[针对训练2] 如图所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm，则该电场的场强大小为________V/m，到A点距离为1.5 cm的P点电势为________V。
解析 因为电场是匀强电场，所以E＝eq \f(UBA,d)＝eq \f(UBA,ABsin 60°)＝eq \f(10,0.02×\f(\r(3),2)) V/m＝eq \f(1 000\r(3),3) V/m，
UBP＝E·PBsin 60°＝eq \f(1 000,\r(3))×0.005×eq \f(\r(3),2) V＝2.5 V，
因UBP＝φB－φP，φB＝0，得φP＝－2.5 V。
答案 eq \f(1 000\r(3),3) －2.5
1.(静电力做功与电势差的关系)电场中有a、b两点，a点电势为2 V，带电荷量为2×10－8 C的负离子仅在电场力作用下从a运动到b的过程中，电场力做正功4×10－8 J，则( )
A.b点电势是2 V B.a、b两点中，b点电势较高
C.该电荷的电势能增加 D.该电荷速度可能减小
解析 负离子仅在电场力作用下从a运动到b，电场力做正功，电荷的电势能减小，动能增大，因而速度增大，C、D错误；由Uab＝eq \f(Wab,q)＝eq \f(4×10－8,－2×10－8) V＝－2 V，又Uab＝φa－φb，故φb＝φa－Uab＝4 V，b点电势较高，A错误，B正确。
答案 B
2.(电势差的理解)(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
解析 UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，选项A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，选项B正确；电势是标量，正、负号是相对于零电势点而言的，正号表示该点电势高于零电势，负号表示该点电势低于零电势，选项C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，选项D正确。
答案 BD
3.(电场强度与电势差的关系)如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
A.UOP＝－10 sin θ(V)
B.UOP＝10 sin θ(V)
C.UOP＝－10 cs θ(V)
D.UOP＝10 cs θ(V)
解析 在匀强电场中，UOP＝－E·Rsin θ＝－10 sin θ(V)，故A正确。
答案 A
4.(电势差的计算)
如图所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和
－2 V，则UAB＝________，UBC＝________，UCA＝________。
解析 由电势差的定义可知，因A、B两点在同一个等势面上，故有φA＝φB＝10 V，而φC＝－2 V，所以A、B间的电势差为
UAB＝φA－φB＝10 V－10 V＝0
B、C间的电势差为
UBC＝φB－φC＝10 V－(－2 V)＝12 V
C、A间的电势差为
UCA＝φC－φA＝－2 V－10 V＝－12 V。
答案 0 12 V －12 V
基础过关
1.对于电场中A、B两点，下列说法正确的是( )
A.电势差的定义式UAB＝eq \f(WAB,q)，说明两点间的电势差UAB与静电力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B.A、B两点间的电势差UAB与移动电荷的电荷量q无关
C.把负电荷从A点移到B点静电力做正功，则有UAB>0
D.电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时静电力做的功
解析 电场中两点间的电势差在数值上等于将单位正电荷从一点移到另一点时静电力所做的功，仅由电场及两点的位置决定，与移动电荷的电荷量及做功的多少无关，把负电荷从A点移到B点电场力做正功，由公式UAB＝eq \f(WAB,q)可知，UAB<0，故只有选项B正确。
答案 B
2.如图所示，a、b是电场线上的两点，将一点电荷q从a点移到b点，静电力做功W，且已知a、b间的距离为d，以下说法中正确的是( )
A.a、b两点间的电势差为eq \f(W,q)
B.a点的电场强度为E＝eq \f(W,qd)
C.b点的电场强度为E＝eq \f(W,qd)
D.a点的电势为eq \f(W,q)
解析 由W＝qU知a、b两点间的电势差U＝eq \f(W,q)，所以A项正确；由于不知该电场是否是匀强电场，静电力可能不为恒力，所以B、C项错误；题中没有指明零电势点，所以D项错误。
答案 A
3.在点电荷Q形成的电场中有一点A，当一个电荷量为－q的检验电荷从无限远处电势能为零的O点被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则检验电荷在A点的电势能及电场中A点与无限远处的O点的电势差分别为( )
A.EpA＝－W，UAO＝eq \f(W,q) B.EpA＝W，UAO＝－eq \f(W,q)
C.EpA＝W，UAO＝eq \f(W,q) D.EpA＝－W，UAO＝－eq \f(W,q)
解析 依题意，检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A点时，静电力做的功为W，则电荷的电势能减小W，无限远处O点的电势能为零，则电荷在A点的电势能为EpA＝－W，A与无限远处的O点的电势差为UAO＝eq \f(－W,－q)＝eq \f(W,q)。
答案 A
4.在电场中将一带电荷量q＝－1×10－9 C的负电荷从B点移至A点时，克服电场力做功2×10－6 J，将该电荷从A点移至C点，则需克服电场力做功3×10－6 J，则B、C间的电势差大小为( )
A.5 000 V B.3 000 V
C.2 000 V D.1 000 V
解析 电荷由B移到C，电场力做功为
WBC＝WBA＋WAC＝－2×10－6 J－3×10－6 J＝－5×10－6 J
UBC＝eq \f(WBC,q)＝eq \f(－5×10－6,－1×10－9) V＝5 000 V
所以B、C间的电势差大小为5 000 V。
答案 A
5.(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A.任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等
C.电势降低最快的方向必是场强方向
D.在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大
解析 U＝Ed中的d为A、B两点沿电场线方向的距离，选项A错误；由U＝Ed可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B、C正确；在相同距离上的两点，电势差大，场强不一定大，若两点沿电场线方向距离相同，电势差大的其场强必定大，选项D错误。
答案 BC
6.(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是( )
A.M点的电势比P点的电势高
B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
解析 根据电场线和等势面的关系，可以判断M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN
答案 AD
7.如图所示，在匀强电场中取一点O，过O点作射线OA＝OB＝OC＝OD＝10 cm，已知O、A、B、C和D各点电势分别为0、7 V、8 V、7 V、5 V，则匀强电场场强的大小和方向最接近于( )
A.70 V/m，沿AO方向 B.70 V/m，沿CO方向
C.80 V/m，沿BO方向 D.80 V/m，沿CO方向
解析 由O、A、B、C、D各点电势值可知，O点电势最低，为零，A、C在同一等势面上，所以电场线与AC连线垂直，最接近BO方向，大小接近E＝eq \f(U,d)＝eq \f(UBO,OB)＝eq \f(8,0.1) V/m＝80 V/m，选项C正确。
答案 C
能力提升
8. (多选)如图所示，在a点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设a、b所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则( )
A.带电粒子带负电
B.a、b两点间的电势差Uab＝eq \f(mgh,q)
C.b点场强大于a点场强
D.a点场强大于b点场强
解析 带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而粒子运动到b点时速度为零，动能没有增大，说明静电力做负功，根据动能定理有mgh－qUab＝0，解得a、b两点间电势差为Uab＝eq \f(mgh,q)，故B正确；因为a点电势高于b点电势，故Uab>0，而静电力做负功，所以粒子带负电，选项A正确；带电粒子由a运动到b过程中，在重力和静电力的共同作用下，先加速运动后减速运动，因此重力为恒力，所以静电力为变力，且静电力先小于重力后大于重力，由此可见b点场强大于a点场强，选项C正确，D错误。
答案 ABC
9.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
A.场强的方向由C指向B
B.场强的方向垂直AD连线斜向上
C.场强的大小为10 V/m
D.场强的大小为eq \f(20\r(3),3) V/m
解析 由题意知φA＝5 V，φB＝－5 V，φC＝15 V，则BC连线的中点D的电势为φD＝eq \f(φB＋φC,2)＝eq \f(－5＋15,2) V＝5 V，则φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直，可知场强的方向垂直于AD连线斜向下，如图所示，A、B项错误；场强的大小E＝eq \f(UAB,lABcs 30°)＝eq \f(10,\f(\r(3),2)) V/m＝eq \f(20,\r(3)) V/m＝eq \f(20,3)eq \r(3) V/m，C错误，D正确。
答案 D
10.如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，lab＝5 cm，lbc＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角，一电子(其电荷量大小为e＝1.6×10－19 C)从a移到b电场力做功为Wab＝3.2×10－18 J。
(1)求匀强电场的场强大小及方向；
(2)求电子从b移到c，电场力对它做的功；
(3)设φa＝0，求电子在c点的电势能；
(4)求a、c两点的电势差。
解析 (1)电子从a点移到b点电场力做正功，可知电场力方向向右，则电场强度方向向左，由Wab＝eUba，
Uba＝Elab，得E＝eq \f(Wab,elab)＝400 V/m
(2)电子从b点移到c点，电场力做功
Wbc＝eElbccs 60°＝3.84×10－18 J。
(3)电子从a点移到c点，电场力做功
Wac＝Wab＋Wbc＝7.04×10－18 J
电子电势能减少7.04×10－18 J
设φa＝0，则电子在c点的电势能为－7.04×10－18 J。
(4)a、c两点的电势差Uac＝eq \f(Wac,－e)＝－44 V。
答案 见解析
11.如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正点电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为eq \r(3gh)，求：
(1)小球由A到B的过程中电场力做的功；
(2)A、C两点的电势差。
解析 (1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有电场力做功WAB和重力做功mgh，
由动能定理得WAB＋mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,B)，
代入已知条件vB＝eq \r(3gh)得电场力做的功为
WAB＝eq \f(1,2)m·3gh－mgh＝eq \f(1,2)mgh。
(2)B、C在同一条等势线上，可知φB＝φC，
即UAC＝UAB，
由W＝qU得UAC＝UAB＝eq \f(WAB,－q)＝－eq \f(mgh,2q)。
答案 (1)eq \f(mgh,2) (2)－eq \f(mgh,2q)
核心素养
物理观念
科学思维
1.了解电势差的含义。
2.知道匀强电场中电势差与电场强度的关系。
3.会应用静电力做功的公式进行相关计算。
1.通过推导理解电场力做功与电势差的关系。
2.通过推导电场强度的单位“伏特每米”与“牛顿每库仑”，理解电势差与电场强度的物理意义。
相关教案
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