苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试优秀巩固练习

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用本章综合与测试优秀巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十五) 函数的实际应用


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T． 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )








A B C D


B [水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．]


2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )





A．8元 B．9元 C．10元 D．12元


C [设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t．


当t＝100时，100k1＋20＝100k2，


所以k2－k1＝eq \f(1,5)，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq \f(1,5)－20＝10(元)．]


3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )


A.2020年 B.2021年


C.2022年 D.2023年


B [若2018年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研经费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元.故选B.]


4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )


A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100


C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100


C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．]


5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a．若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )


A．60 B．75


C．90 D．100


B [由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(eq \f(1,50))．


设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq \f(8,27)＝(e－k)t1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(eq \f(t1,50))，∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75．]


二、填空题


6．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．03元，购买饲料每次支付运费300元，则该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．


10 [设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．


因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0．03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝eq \f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1．8＝eq \f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq \f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．]


7．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．


18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]


8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤______次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)


8 [设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(n)≤0．1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，


所以nlg eq \f(2,3)≤－1－lg 2，所以n≥7．39，所以n＝8．]


三、解答题


9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？


[解] 由题意知40－24＝(88－24)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(20,h))，


即eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(20,h))，解得h＝10．


故T－24＝(88－24)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,10))，


当T＝32时，32－24＝64·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,10))，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(t,10))＝eq \f(1,8)，解得t＝30，


因此，需30 min可降温到32 ℃．


10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq \f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，


(1)求每年砍伐面积的百分比；


(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？


(3)今后最多还能砍伐多少年？


[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0

即(1－x)10＝eq \f(1,2)，


解得x＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,10))．


(2)设经过m年剩余面积为原来的eq \f(\r(2),2)，


则a(1－x)m＝eq \f(\r(2),2)a，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(m,10))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,2))，eq \f(m,10)＝eq \f(1,2)，


解得m＝5，


故到今年为止，已砍伐了5年．


(3)设从今年开始，再砍伐n年，


则n年后剩余面积为eq \f(\r(2),2)a(1－x)n．


令eq \f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq \f(1,4)a，即(1－x)n≥eq \f(\r(2),4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(n,10))≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(3,2))，eq \f(n,10)≤eq \f(3,2)，解得n≤15．故今后最多还能砍伐15年．





1．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下





叙述：


①这个指数函数的底数为2；


②第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；


③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1．5个月；


④浮萍每月增加的面积都相等；


⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3．其中正确的是( )


A．①②④ B．①④⑤


C．①②⑤ D．②③⑤


C [①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3．5时，y＝11．31<12，故经过1．5个月并不能使浮萍的面积达到12 m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m2，故④不正确；当浮萍面积为2 m2时，t1＝1，当浮萍面积为3 m2时，t2＝lg2 3，当浮萍面积为6 m2时，t3＝lg2 6，而1＋lg2 3＝lg2 6，故⑤正确．]


2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26．7，天狼星的星等是－1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )


A． 1010．1 B． 10．1


C． lg 10．1 D． 10－10．1


A [根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26．7，m2＝－1．45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，把m1与m2的值分别代入上式得，－1．45－(－26．7)＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，得lg eq \f(E1,E2)＝10．1，所以eq \f(E1,E2)＝1010．1，故选A．]


3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．


60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，


所以eq \f(c,\r(A))＝15，①


所以必有4

联立①②解得c＝60，A＝16．]


4．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(400－6x，040.))


(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；


(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．


[解] (1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；


当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360．


所以W＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，040.))


(2)①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，


所以Wmax＝W(32)＝6 104．


②当x＞40时，W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360＝7 360－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40 000,x)＋16x))≤7 360－2eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝5 760，


当且仅当eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，等号成立，


即W的最大值为5 760．


综上知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6 104万美元．