浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2021届高三第一次联考 数学（含答案） 试卷
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数学试题卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
参考公式：
如果事件，互斥那么．
如果事件，相互独立，那么．
如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为
台体的体积公式
其中，分别表示台体的上、下底面积，表示为台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式
球的体积公式
其中表示球的半径
选择题部分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是实数，则“”是“的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间中，是两条不同直线，是平面，则（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知数列的前项和为，，当且时，，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正实数，，满足，则的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．已知平面向量，，满足，且，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
10．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．2
非选择题部分
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．已知向量，，，且，，则________，________．
12．若二项式的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于________，此时其展开式各
项系数和为________．
13．函数的最小正周期是________，最大值是________．
14．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧视图面积为________，体积为_________．
15．已知数列满足，，则________．
16．甲从集合中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数，乙从集合中任取三个不同的元素，并按降序排列得到十进制三位数，则的概率为________．
17．已知、为双曲线的左、右焦点，点为直线上的动点，则
的最大值是________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．在中，角，，的对边分别为，，，且，
（1）求角的值；
（2）求的取值范围．
19．如图，在三棱台中，平面平面，，四边形是等腰
梯形，且．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，其前项和为，证明：．
21．已知点在椭圆上，点为椭圆的右焦点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点，点为抛物线上的动点，若过作抛物线的切线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．
22．已知函数，若有两个不同的极值点，，且．
（1）求实数的取值范围；
（1）证明：；
（2）证明：．
Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2021届第一次联考
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B
10．解析：令，原不等式整理得：
，
即，
∴，即，
两边处得：，
所以，
在上递减，上递增，又，，
且，所以．
则．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．12，6 12．3，7 13．，
14．， 15． 16． 17．
15．解析：法一：，，，，
猜想：，用数学归纳法可证上述等式成立．
法二：∵，∴，
累加可得：，
所以，则．
16．解析：，按甲取9或不取9分类，可得的概率：
．
17．解析：由平面几何知识可得：当的外接圆与直线相切时，取到最大值，且圆心在轴上，设点，则，
即，解得，所以由正弦定理知当时，
最大值．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解析：
（1）∵ （4分）
∴，即． 6分
（2）由正弦定理得，
∴， 10分
∵， 12分
又∵，∴，∴． 14分
19．解析
（1）证明：连接，由是等腰梯形，，得
∵平面平面，平面平面
平面，∴平面 4分
又∵平面，∴．
又∵，，平面
∴平面． 7分
（2）设到平面的高学科网为，连接
则到平面的高也为，
故所求角的正弦值即为． 10分
设，则，
，则， 12分
又由得，
∵平面，∴，所以，
故所求角的正弦值． 15分
20．证明：
（1）由已知得，同理，
两式相减得：， 3分
即，所以，
所以数列是首项为2，公差为的等差数列，通项公式． 7分
（2）∵
12分
所以
15
（也可利用数学归纳法求证．）
21．解析：
（1）点，所以，又∵，∴，，， 4分
椭圆的标准方程为：． 6分
（2）设点，所以切线，即，
联立椭圆方程得：，
则，
， 9分
， 11分
又因为，
所以 13分
则由基本不等式得：
，
当，即，解得，
的最大值为． 15分
22．解析：
（1），令，
则为方程的两个不同实根，，
即在上递增，在上递减， 2分
极大值为，
所以，且 4分
（2）要证，只须证，即，
只须证在上成立 ， 6分
因为，
所以在上递增，，得证． 8分
（3）引理：不等式在上成立， 10分
所以，
且在上递增，上递减，
令为方程，即的两个实根，，
其中．
由于，即， 12分
所以
，得证． 15分
