（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（26）第三章三角函数、解三角形第七讲解三角形的综合应用（含解析）

 [练案26]第七讲　解三角形的综合应用A组基础巩固一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　D　)A．北偏东10°　　 B．北偏西10°C．南偏东80°　　 D．南偏西80°[解析]　由题意可知∠ACD＝40°，∠DCB＝60°，CA＝CB，所以∠CAB＝∠CBA＝40°，又因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，∠DBA＝10°，故灯塔A在B的南偏西80°.2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为(　D　)A．①②　　 B．②③C．①③　　 D．①②③[解析]　由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.3．如果D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　D　)A．10 m　　 B．5 mC．5(－1)m　　 D．5(＋1)m[解析]　－＝10，解得AB＝5(＋1)．故选D.4．(2020·广东中山上学期期末)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　A　)A．50 m　　 B．50  mC．25 m　　 D． m[解析]　由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB＝＝＝50 (m)．故选A.5．(2020·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　D　)A．10 n mile　　 B． n mileC．5 n mile　　 D．5 n mile[解析]　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝5.故选D.6．(2020·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为(　A　)A． m　　 B． mC. m　　 D． m[解析]　如图所示．在Rt△ACD中可得CD＝＝BE，在△ABE中，由正弦定理得＝⇒AB＝，所以DE＝BC＝200－＝(m)．7．(2020·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝　(　D　)A．5　　 B．15C．5　　 D．15[解析]　在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得＝，所以BC＝15.在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15.故选D.8．(2020·河北保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8 n mile，游轮由A处向正北方向航行到D处时再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　B　)A．20 n mile　　 B．8 n mileC．23 n mile　　 D．24 n mile[解析]　在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12 n mile，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝，可得AD＝＝＝24 n mile.在△ACD中，AD＝24 n mile，AC＝8 n mile，∠CAD＝30°，CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos ∠CAD＝242＋(8)2－2×24×8×cos 30°＝(8)2，∴CD＝8，故选B.二、填空题9．(2020·佛山模拟)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为　　千米．[解析]　∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．10．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°方向，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为__700__米．[解析]　由题意，△ABC中，AC＝300，BC＝500，∠ACB＝120°，利用余弦定理可得，AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，∴AB＝700.11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为　　.[解析]　由△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.由正弦定理，得＝⇒sin ∠ACB＝·sin ∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos ∠ACB＝.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos (∠ACB＋30°)＝cos ∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝.12．(2020·山西五校联考)如图，飞机的航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为__6_340__m.(取＝1.732) [解析]　∵108 s＝0.03 h，∴AB＝1 000×0.03＝30 km，∵∠C＝75°－15°＝60°，∴＝，∴BC＝，∴C到AB边的距离为h＝BCsin 75°＝20sin 15°sin 75°＝10sin 30°＝5＝5×1.732＝8.66 km，∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km＝6 340 m.三、解答题13．已知函数f(x)＝1＋2sin cos －2cos2，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f(A)的取值范围；(2)若A为锐角且f(A)＝，2sin A＝sin B＋sin C，△ABC的面积为，求b的值．[解析]　(1)f(x)＝sin x－cos x＝2sin (x－)，∴f(A)＝2sin (A－)，由题意知，0<A<π，则A－∈(－，)，∴sin (A－)∈(－，1]，故f(A)的取值范围为(－1,2]．(2)由题意知，sin (A－)＝，∴A－＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z，∵A为锐角，∴A＝.由正、余弦定理及三角形的面积得解得b＝.B组能力提升1．(2020·河北武邑中学调研)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　A　)A．10海里　　 B．10海里C．20海里　　 D．20海里[解析]　如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin 30°＝10.2．(2020·西安模拟)如图，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是(　D　)A．100 m　　 B．400 mC．200 m　　 D．500 m[解析]　设塔高为x m，则由已知可得BC＝x m，BD＝x m，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为(　B　)A．0.5小时　　 B．1小时C．1.5小时　　 D．2小时[解析]　根据题意画出相应的图形，如图所示．BE＝BF＝30 km，△ABD为等腰直角三角形且AB＝40 km，由勾股定理得AD＝BD＝20 km，由BD⊥AD，可得ED＝DF，在Rt△BED中，由勾股定理得ED＝＝10 km，所以EF＝2ED＝20 km，因此B市处于危险区内的时间为20÷20＝1(h)．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos ∠BCD＝，则BD＝__2__；三角形ABD的面积为　－1　.[解析]　在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2.在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin 105°＝sin (45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，则S△ABD＝×2(－1)×2×sin 30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面积为－1.5．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos ，sin )，n＝(cos ，sin )，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝a，试判断△ABC的形状．[解析]　(1)∵|m＋n|＝，∴m2＋n2＋2m·n＝3，又m＝(cos ，sin )，n＝(cos ，sin )，∴1＋1＋2(cos cos ＋sin sin )＝3，∴cos cos ＋sin sin ＝，即cos (－)＝，∴cos A＝，∵0°<A<180°，∴A＝60°.(2)∵cos A＝，∴由余弦定理得＝　①，又b＋c＝a　②，联立①②得bc＝b2＋c2－()2，即2b2－5bc＋2c2＝0，解得b＝2c或c＝2b.①若b＝2c，∵b＋c＝a，则a＝c，∴a2＋c2＝(c)2＋c2＝4c2＝b2，∴此时△ABC是以角B为直角的直角三角形．②若c＝2b，∵b＋c＝a，则a＝b，∴a2＋b2＝(b)2＋b2＝4b2＝c2，∴此时△ABC是以角C为直角的直角三角形．