第06讲 一次方程(组)及其应用（解析版） 试卷

第6讲　一次方程(组)及其应用1．等式的基本性质性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝.2．方程及方程的解 (1)方程：含有未知数的等式． (2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． 3．一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程． (2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1.4．二元一次方程(1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程．(2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值．注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解．(3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解．5．二元一次方程组 (1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组． (2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法. ①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单； ②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法．6．三元一次方程组(1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组．(2)三元一次方程组的解法： 7．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设：设关键未知数； (3)找：找出各量之间的等量关系； (4)列：根据等量关系列方程(组)； (5)解：解方程(组)； (6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意； (7)答：规范作答，注意单位名称．8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程；水中航行问题：-(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量． (3)利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率； 售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ． (4)利息问题： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息．考点1：一元一次方程(组)的解法【例题1】(2017·广州)解方程组：【解答】　解：方法一：由①，得x＝5－y.③把③代入②，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1.把y＝1代入③，得x＝5－1＝4.∴原方程组的解为方法二：由①，得y＝5－x.③把③代入②，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4.把x＝4代入③，得y＝5－4＝1.∴原方程组的解为方法三：①×3－②，得x＝4.把x＝4代入①，得y＝1.∴原方程组的解为方法四：②－①×2，得y＝1.把y＝1代入①，得x＝4.∴原方程组的解为考点2：一元一次方程(组)的应用【例题2】（2019▪湖北黄石▪8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可；（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得x：600＝100：60∴x＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y＝200+y∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的几倍”、“比…几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等，正方形四边相等或裁剪拼接和折叠前后的对应关系等．考点3：二元一次方程(组)的解法【例题3】（2018•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　  　．【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．【解答】：由题意可知：，解得：∵x＜y，∴原式=5×12=60故答案为：60考点4：二元一次方程(组)的应用【例题4】(2019甘肃省陇南市)（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得：，解得：，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．一、选择题：1. （2019•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1【答案】A【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．故选：A．2. 若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（　　）A．﹣4 B．4 C．2 D．1【考点】解三元一次方程组．【答案】C【解答】：由题意可得方程x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则x=y=2；然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）=6；解得：a=2．故选C．3. （2019，四川巴中，4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B【解答】解：将代入得：，∴a+b＝2；故选：B．4. （2019•浙江宁波•4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）A．31元 B．30元 C．25元 D．19元【答案】A【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4，∴y＝x+7，∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．故选：A．5. ( 2019甘肃省兰州市) （4分）≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为    （    ）A. B. C. D. 【答案】C．【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x，故选C.  二、填空题：6. 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_______cm2.【答案】10×40＝400(cm2)【解析】：设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm，根据题意可得：2x＝x＋4(50－x)，解得：x＝40，故50－x＝10(cm)．则一个小长方形的面积为：10×40＝400(cm2) 7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．【答案】15【解答】∵当y=127时，解得：x=43；当y=43时，解得：x=15；当x=15时,解得不符合条件。则输入的最小正整数是15.故答案为：15.8. （2019•湖南岳阳•4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺．【答案】【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：x＝，即该女子第一天织布尺．故答案为：．9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是       ．【答案】﹣．【解答】：当y=﹣3时，3x+5×（﹣3）=﹣3，解得：x=4，把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得，3×（﹣3）﹣2a×4=a+2，解得：a=﹣．三、解答题：10. (2018·嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x＝3.解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③把①代入③，得3x＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”；(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．【解析(1)解法一中的解题过程有错误，由①－②，得3x＝3“×”．应为由①－②，得－3x＝3.(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.故原方程组的解是11. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.【解析(1)甲对，乙不对．理由：∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°.解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°.解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°.(2)依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.解得x＝2.12. (2017·海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运土多少立方米．【解答】　解：方法一：设甲种车每辆一次运土x立方米，乙种车每辆一次运土y立方米，由题意，得解得答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法二：设甲种车每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土(36－3x)立方米，由题意，得5x＋2(36－3x)＝64，解得x＝8.则36－3x ＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法三：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题意，得5×＋2x＝64，解得x＝12.则＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法四：设甲种车每辆一次运土x立方米，则乙种车每辆一次运土立方米，由题意，得3x＋＝36，解得x＝8.则＝12.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．方法五：设乙种车每辆一次运土x立方米，则甲种车每辆一次运土立方米，由题意，得3×＋x＝36，解得x＝12.则＝8.答：甲种车每辆一次运土8立方米，乙种车每辆一次运土12立方米．13. (2019安徽)（8分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，=10（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．14. 如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点O相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点O恰好到达点A处．(1)将这枚硬币从点A开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点B，则点B对应的数是－3；(2)将这枚硬币从表示数a的点C处开始，先向左滚动1周，得到点D，再向右滚动5周得到点E，最后向左滚动2周得到点F.若点D，E，F所代表的数字之和为8，求a的值．【解析】根据题意，点C表示的数为a，向左滚动1周得到点D，则点D表示的数为a－3，再向右滚动5周得到点E，则点E表示的数为a－3＋3×5，再向左滚动2周得到点F，则点F表示的数为a－3＋3×5－3×2，∴a－3＋(a－3＋15)＋(a－3＋15－6)＝8，解得a＝－.