第04讲 分式（原卷版）

第04讲  分式

1．分式的基本概念

(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．

(2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0 时，分式的值为零.

2．分式的性质

(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即＝，＝；(M是不等于零的整式)

(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即＝－＝－＝.

3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．

4．分式的运算

(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

(2)确定最简公分母：

确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．

(3)约分：把分式中分子与分母的___ ____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．

(4)分式的运算法则：

①加减法：

同分母加减法：±＝__；

异分母加减法：±＝.

②乘除法：

·＝；　÷＝___．

③乘方：()n＝.

考点1： 分式的化简

【例题1】下列变形错误的是（    ）

A.    B.  C.   D.

考点2： 分式的化简

【例题2】（2018包头）化简；÷（﹣1）=　　．

考点3：分式的加减乘除运算

【例题3】先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a2－a－6＝0.

归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的．

2．分式化简求值的一般步骤：

第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；

第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法；

第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；

第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减；

第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．

一、选择题：

1. （2018•金华）若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．3    B．﹣3     C．3或﹣3     D．0

2. （2018•台州）计算，结果正确的是（　　）

A．1 B．x C． D．

3. （2019•江苏扬州•3分）分式可变形为( D )

A.      B.-     C.      D.

4.（2019•河北省•2分）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　）

A．段① B．段② C．段③ D．段④

5. （2019•四川省达州市•3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（　　）

A．5 B．﹣ C． D．

二、填空题：

6. （2019•江苏泰州•3分）若分式有意义，则x的取值范围是　　．

7. （2018•襄阳）计算﹣的结果是　　．

8. （2018·四川自贡·4分）化简+结果是　　．

9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：

一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．

设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是　　；

②铅笔的零售价每支应为　　元；

③批发价每支应为　　元．（用含x、m的代数式表示）．

三、解答题：

10. （2018•玉林）先化简再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣．

11.（2017张家界）先化简（1﹣）÷，再从不等式2x﹣1＜6的正整数解中选一个适当的数代入求值．

12. (2018·遵义)化简分式(＋)÷，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a的值代入求值．

13. (2018·石家庄模拟)化简÷－，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．

14. 问题探索：

（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．

（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？

（3）请你用上面的结论解释下面的问题：

建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．