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    2020届二轮复习 变量间的相关关系、统计案例学案(全国通用)
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    2020届二轮复习 变量间的相关关系、统计案例学案(全国通用)

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    2020届二轮复习  变量间的相关关系、统计案例 学案
    五年高考
    考点 变量的相关性、统计案例
    1.(2018山东,5,5分)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为(  )
                        
    A.160 B.163
    C.166 D.170
    答案 C
    2.(2018福建,4,5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
    收入x(万元)
    8.2
    8.6
    10.0
    11.3
    11.9
    支出y(万元)
    6.2
    7.5
    8.0
    8.5
    9.8

    根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=-.
    据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(  )
    A.11.4万元 B.11.8万元
    C.12.0万元 D.12.2万元
    答案 B
    3.(2018湖北,4,5分)根据如下样本数据
    x
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    y
    4.0
    2.5
    -0.5
    0.5
    -2.0
    -3.0

    得到的回归方程为=bx+a,则(  )
                        
    A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
    C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
    答案 B
    4.(2018课标Ⅰ,19,12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.




    (xi-)2
    (wi-)2
    (xi-)(yi-)
    (wi-)(yi-)
    46.6
    563
    6.8
    289.8
    1.6
    1 469
    108.8


    (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
    (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
    (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:
    (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
    (ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
    附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
    =,=- .
    解析 (1)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2分)
    (2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程.由于
    ===68,
    =- =563-68×6.8=100.6,
    所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.(6分)
    (3)(i)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值
    =100.6+68=576.6,
    年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.(9分)
    (ii)根据(2)的结果知,年利润z的预报值
    =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.
    所以当==6.8,
    即x=46.24时,取得最大值.
    故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.(12分)
    教师用书专用(5—6)
    5.(2018重庆,3,5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(  )
    A.=0.4x+2.3 B.=2x-2.4
    C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4
    答案 A
    6.(2018课标Ⅱ,19,12分)某地区2018年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
    年 份
    2018
    2018
    2009
    2018
    2018
    2018
    2018
    年份代号t
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    人均纯收入y
    2.9
    3.3
    3.6
    4.4
    4.8
    5.2
    5.9

    (1)求y关于t的线性回归方程;
    (2)利用(1)中的回归方程,分析2018年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入.
    附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
    =,=-.
    解析 (1)由所给数据计算得
    =×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
    =×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,
    (ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
    (ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
    ===0.5,
    =-=4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为=0.5t+2.3.
    (2)由(1)知,=0.5>0,故2018年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.
    将2018年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得=0.5×9+2.3=6.8,
    故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
    三年模拟
    A组 2018—2018年模拟·基础题组
    考点 变量的相关性、统计案例
    1.(2018云南昆明一中第一次摸底,2)当变量x的取值为3,4,5,6,7时,变量y对应的值依次为4.0,2.5,-0.5,-1,-2;当变量u的取值为1,2,3,4时,变量v对应的值依次为2,3,4,6,则变量x和y,变量u和v的相关关系是(  )
    A.变量x和y是正相关,变量u和v是正相关
    B.变量x和y是正相关,变量u和v是负相关
    C.变量x和y是负相关,变量u和v是负相关
    D.变量x和y是负相关,变量u和v是正相关
    答案 D
    2.(2018湖南邵阳二模,3)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:

    y1
    y2
    总计
    x1
    a
    10
    a+10
    x2
    c
    30
    c+30
    总计
    60
    40
    100

    对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(  )
                        
    A.a=45,c=15 B.a=40,c=20
    C.a=35,c=25 D.a=30,c=30
    答案 A
    3.(2018湖南益阳调研,4)某公司2018~2018年的年利润(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:
    年份
    2018
    2018
    2018
    2018
    2018
    2018
    利润x(百万元)
    12.2
    14.6
    16
    18
    20.4
    22.3
    支出y(百万元)
    0.62
    0.74
    0.81
    0.89
    1.00
    1.11

    根据统计资料,则(  )
    A.年利润中位数是16,y与x具有正的线性相关关系
    B.年利润中位数是17,y与x具有正的线性相关关系
    C.年利润中位数是17,y与x具有负的线性相关关系
    D.年利润中位数是18,y与x具有负的线性相关关系
    答案 B
    4.(2018江西鹰潭一模,3)以下四个命题:
    ①从匀速传送的产品生产流水线上,质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样.
    ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1.
    ③在回归直线方程=0.2x+12中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量平均增加0.2个单位.
    ④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,“X与Y有关系”的把握程度越大
    其中正确的是(  )
    A.①④ B.②③
    C.①③ D.②④
    答案 B
    5.(2018广东惠州第三次调研,14)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表):
    零件数x(个)
    10
    20
    30
    40
    50
    加工时间y(分钟)
    62
    68
    75
    81
    89

    由最小二乘法求得回归方程为=0.67x+,则的值为    .  
    答案 54.9
    B组 2018—2018年模拟·提升题组
    (满分:40分 时间:50分钟)
    一、选择题(每小题5分,共15分)
    1.(2018山东实验中学上学期第二次诊断,11)某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关,通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下列联表:



    总计
    爱好
    40
    20
    60
    不爱好
    20
    30
    50
    总计
    60
    50
    110

    由K2=并参照附表,得到的正确结论是 (  )
    附表:
    P(K2≥k)
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828

    A.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别有关”
    B.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别无关”
    C.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”
    D.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”
    答案 A
    2.(2018江西南城一中、高安中学等九校3月联考,7)随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.

    非一线
    一线
    总计
    愿生
    45
    20
    65
    不愿生
    13
    22
    35
    总计
    58
    42
    100

    由K2=,
    得K2=≈9.616.
    参照下表,
    P(K2≥k)
    0.050
    0.010
    0.001
    k
    3.841
    6.635
    10.828

    正确的结论是(  )
    A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
    B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
    C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
    D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
    答案 C
    3.(2018福建福州外国语学校适应性考试(一),5)如下表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归方程为=0.8x-155,后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清,此位置数据记为m(如表所示),则利用回归方程可求得实数m的值为(  )
                        
    x
    196
    197
    200
    203
    204
    y
    1
    3
    6
    7
    m

    A.8.3 B.8.2 C.8.1 D.8
    答案 D

    二、解答题(共25分)
    4.(2018广东东莞模拟,19)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数AQI的监测数据,结果统计如下:
    AQI
    [0,
    50]
    (50,
    100]
    (100,
    150]
    (150,
    200]
    (200,
    250]
    (250,
    300]
    >300
    空气
    质量


    轻微
    污染
    轻度
    污染
    中度
    污染
    中度
    重污染
    重度
    污染
    天数
    4
    13
    18
    30
    9
    11
    15

    记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位:元),空气质量指数AQI为ω.在区间[0,100]对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型(当AQI为150时,造成的经济损失为500元,当AQI为200时,造成的经济损失为700元);当AQI大于300时,造成的经济损失为2 000元.
    (1)试写出S(ω)的表达式;
    (2)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率;
    (3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该城市本年空气重度污染与供暖有关.

    非重度污染
    重度污染
    合计
    供暖季



    非供暖季



    合计


    100

    附:
    P(K2≥k0)
    0.25
    0.15
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k0
    1.32
    2.07
    2.70
    3.84
    8.02
    6.63
    7.87
    10.82

    K2=.
    解析 (1)由已知可得S(ω)=
    (2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A,
    由200 ∴P(A)=.
    (3)根据题中数据得到下表:

    非重度污染
    重度污染
    合计
    供暖季
    22
    8
    30
    非供暖季
    63
    7
    70
    合计
    85
    15
    100

    K2的观测值k0=≈4.575>3.84,
    所以有95%的把握认为该城市本年空气重度污染与供暖有关.
    5.(2018河南百校联盟4月模拟,18)国内某知名连锁店分店开张营业期间,在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可参加一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该分店经理对开业前7天参加抽奖活动的人数进行统计,y表示开业第x天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:
    x
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    y
    5
    8
    8
    10
    14
    15
    17

    经过进一步统计分析,发现y与x具有线性相关关系.
    (1)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;
    (2)若该分店此次抽奖活动自开业起,持续10天,参加抽奖的每位顾客抽到一等奖(奖品价值200元)的概率为,抽到二等奖(奖品价值100元)的概率为,抽到三等奖(奖品价值10元)的概率为.试估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值多少元的奖品.
    参考公式:=,=-.
    解析 (1)依题意知=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,
    =×(5+8+8+10+14+15+17)=11,

    ===2,=-=11-2×4=3,
    则y关于x的线性回归方程为=2x+3.
    (2)设一位参加抽奖的顾客获得的奖品价值X元,则X的分布列为
    X
    200
    100
    10
    P




    EX=200×+100×+10×=.
    由y关于x的线性回归方程为=2x+3,
    得x=8时,=19,x=9时,=21,x=10时,=23,
    则此次活动参加抽奖的人数约为5+8+8+10+14+15+17+19+21+23=140,又140×=8 800,
    所以估计该分店在此次抽奖活动结束时共送出价值8 800元的奖品.
    C组 2018—2018年模拟·方法题组

    方法1 回归直线方程的求解
                        
    1.(2018陕西汉中一模,3)已知两个随机变量x,y之间的相关关系如表所示:
    x
    -4
    -2
    1
    2
    4
    y
    -5
    -3
    -1
    -0.5
    1

    根据上述数据得到的回归方程为=x+,则大致可以判断(  )
    A.>0,>0 B.>0,<0
    C.<0,>0 D.<0,<0
    答案 C
    2.(2018重庆南开二诊模拟,18)某品牌新款夏装即将上市,为了对夏装进行合理定价,在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售,得到如下数据:
    连锁店
    A店
    B店
    C店
    售价x(元)
    80
    86
    82
    88
    84
    90
    销售量y(件)
    88
    78
    85
    75
    82
    66

    (1)以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为样本数据,求出售价与销量的回归直线方程=x+;
    (2)在大量投入市场后,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该夏装成本价为40元/件,为使该款夏装在销售上获得最大利润,该款夏装的单价应定为多少元?(保留整数)
    附:==-.
    解析 (1)A,B,C三家连锁店平均售价和销量分别为(83,83),(85,80),(87,74),∴=85,=79,∴==-2.25,
    ∴=-=270.25,∴=-2.25x+270.25.
    (2)设该款夏装的单价为x元,利润为f(x)元,则f(x)=(x-40)(-2.25x+270.25)=-2.25x2+360.25x-10 810,∴当x≈80时, f(x)取得最大值.故该款夏装的单价应定为80元.
    方法2 独立性检验
    3.(2018湖南师大附中月考(三),14)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:

    感染
    未感染
    总计
    服用
    10
    40
    50
    未服用
    20
    30
    50
    总计
    30
    70
    100

    参照附表,在犯错误的概率不超过    (填百分比)的前提下,可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”. 
    参考公式:K2=.
    P(K2≥k0)
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k0
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    10.828

    答案 5%
    4.(2018安徽合肥二模,18)某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了180名学生对社会科学类,自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人.
    (1)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会科学类的学生数;
    (2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为课程的选择与性别有关.

    选择自然科学类
    选择社会科学类
    合计
    男生

    45
    105
    女生

    45

    合计


    180

    附:K2=,其中n=a+b+c+d.
    P(K2≥k0)
    0.50
    0.40
    0.25
    0.15
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k0
    0.455
    0.708
    1.323
    2.072
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    10.828

    解析 (1)由条件知,抽取的男生为105人,女生为180-105=75人,
    男生选择社会科学类的频率为,女生选择社会科学类的频率为,
    由题意知,高一年级的男生总数为1 200×=700,女生总数为1 200×=500,所以估计实际选课中选择社会科学类的学生数为700×+500×=600人.
    (2)根据统计数据,可得列联表如下:

    选择自然科学类
    选择社会科学类
    合计
    男生
    60
    45
    105
    女生
    30
    45
    75
    合计
    90
    90
    180

    K2==≈5.1429>5.024,
    所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为课程的选择与性别有关.

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