2020届二轮复习 函数的图象与性质 学案（全国通用）
展开培优点一 函数的图象与性质
1.单调性的判断
例１：（1）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）的单调递增区间为________．
【答案】（1）D；（2），
【解析】（1）因为，在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，
即求函数的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为．
（2）由题意知，当时，；当时，，二次函数的图象如图．
由图象可知，函数在，上是增函数．
2．利用单调性求最值
例2：函数的最小值为________．
【答案】1
【解析】易知函数在上为增函数，∴时，．
3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式
例3：（1）已知函数的图象向左平移1个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
（2）定义在R上的奇函数在上递增，且，则满足的的集合为________________．
【答案】（1）D；（2）
【解析】（1）根据已知可得函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，
因为，且，所以．
（2）由题意知，，由得或
解得或．
４．奇偶性
例４：已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以其图象关于轴对称，又在上单调递增，
，所以，所以．
５．轴对称
例５：已知定义域为的函数在上只有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．404 B．804 C．806 D．402
【答案】C
【解析】，为偶函数，，关于
，轴对称，为周期函数，且，
将划分为
关于，轴对称，
，，
在中只含有四个零点，而共201组
所以；在中，含有零点，共两个，
所以一共有806个零点
６．中心对称
例６：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
【答案】D
【解析】从已知条件入手可先看的性质，由，为奇函数分别可得到：，，所以关于，中心对称，双对称出周期可求得，所以C不正确，且由已知条件无法推出一定符合A，B．
对于D选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，
所以为图像向左平移3个单位，即关于对称，所以为奇函数，D正确．
７．周期性的应用
例７：已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，
则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】由题意，得，∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
∴，，∴，
∴，∴，∴的周期为4，
∴，，
又∵，∴．
一、选择题
1．若函数的单调递增区间是，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【解析】由图象易知函数的单调增区间是，令，∴．
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使在上是增函数，则且，即．
3．设函数，则是（ ）
A．奇函数，且在内是增函数
B．奇函数，且在内是减函数
C．偶函数，且在内是增函数
D．偶函数，且在内是减函数
【答案】A
【解析】易知的定义域为，且，则为奇函数，
又在上是增函数，所以在上是增函数．
4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，
，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数图象关于对称，∴，又在上单调递增，
∴，即，故选B．
5．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由已知得，，则有解得，故选B．
6．函数的图象可能为（ ）
【答案】D
【解析】因为，且，所以函数为奇函数，排除A，B．当时，，排除C，故选D．
7．奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】∵为偶函数，∴，则，
又为奇函数，则，且．
从而，的周期为4．
∴，故选A．
8．函数的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线关于轴对称，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与的图象关于轴对称的函数为．依题意，的图象向右平移一个单位，
得的图象．∴的图象由的图象向左平移一个单位得到．∴．
9．使成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在同一坐标系内作出，的图象，知满足条件的，故选A．
10．已知偶函数对于任意都有，且在区间上是单调递增的，
则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，∴函数的周期是2．
∵函数为偶函数，∴，．
∵在区间上是单调递增的，∴，即．
11．对任意的实数都有，若的图象关于对称，且，
则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】的图象关于对称，则函数的图象关于对称，
即函数是偶函数，令，则，
∴，即，则，
即，则函数的周期是2，又，
则．
12．已知函数，，若存在，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，，
若，则，即，即，
解得．所以实数的取值范围为，故选D．
二、填空题
13．设函数，，则函数的递减区间是_______．
【答案】
【解析】由题意知，函数的图象如图所示的实线部分，
根据图象，
的减区间是．
14．若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，
则________．
【答案】
【解析】由于函数是周期为4的奇函数，所以．
15．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取
值范围是________．
【答案】
【解析】如图作出函数与的图象，观察图象可知：当且仅当，即时，不等式恒成立，因此的取值范围是．
16．设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，，则________．
【答案】
【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴
．
三、解答题
17．已知函数，其中是大于0的常数．
（1）求函数的定义域；
（2）当时，求函数在上的最小值；
（3）若对任意恒有，试确定的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）由，得，
当时，恒成立，定义域为，
当时，定义域为，
当时，定义域为．
（2）设，当，时，∴．
因此在上是增函数，∴在上是增函数．则．
（3）对任意，恒有．即对恒成立．
∴．令，．
由于在上是减函数，∴．
故时，恒有．因此实数的取值范围为．
18．设是定义域为的周期函数，最小正周期为2，且，当时，．
（1）判定的奇偶性；
（2）试求出函数在区间上的表达式．
【答案】（1）是偶函数；（2）．
【解析】（1）∵，∴．
又，∴．又的定义域为，∴是偶函数．
（2）当时，，则；
进而当时，，．
故．
