2020届二轮复习 三角函数的最值与综合应用 教案（全国通用）
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2020届二轮复习 三角函数的最值与综合应用_ 教案（全国通用）
类型一：三角函数的最值
例1．求函数的最大值.
【解析】原式
，
故所求函数最大值为.
【总结升华】运用三角函数公式化简成，通过二倍角降次，整理成
型，再利用有界性处理.
举一反三：
【变式1】求函数的值域.
【答案】
【解析】
∵， ∴ .
由正弦函数图象可知：
当即时，；当即时，.
所以函数值域为.
【变式2】函数在区间上的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．1+
【答案】C
【解析】。
又，∴，
∴. 故选C.
【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例4】
【变式3】已知函数。
（1）求的值；（2）求的最大值和最小值。
【答案】；
例2．求下列函数的值域.
（1）；（2）
【解析】(1) 由去分母得：,
移项整理，
由辅助角公式得：（）
∴,
∵, ∴, 即.
平方整理得:, 解出：，
所以函数值域为.
（2）由得
∴
令，则
∴,
当时，， 当时，.
所以函数值域为.
【总结升华】三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域.
举一反三：
【变式1】求下列函数的值域：
（1）； （22）； （3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）
∴当时，有最大值；
当时，有最小值－４.
∴值域为
（2）∵,∴，
即，解得，
∴值域为.
（3）∵，
∴值域为.
【变式2】对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】B
【解析】法一：，，得，是一个减函数，则只有最小值而无最大值.
法二：可通过，得出，由也可求出．故选B.
【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例5】
【变式3】在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a,b,c，若a,b,c成等比数列，求的取值范围.
【答案】
类型二：的图象和性质的综合应用
例3. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由对恒成立，可知的最大值为，从而有，即，即，，即，.
又，得，
故可取，即，由，，
得，，故选C.
【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.本例先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形的方法来求解.本例的关键之处就是确定的值.
举一反三：
【变式1】已知函数，若，则x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，得：
， ，
化简得：. 故选B.
【变式2】已知，且在区间有最小值，无最大值，则__________.
【答案】
【解析】由题意知直线为函数的一条对称轴，且，
∴. ①
又，∴. ②
由①②得 k=1，∴.
例4.已知函数，
(1)求函数的最小值以及相应的的取值的集合；
(2)写出函数在上的单调递增区间。
【解析】
，
（1）当即（）时，的最小值为-2，
故当时，.
（2）该函数是和的复合函数，
∵为增函数，要求的递增区间，只须求的递增区间
∵的递增区间为：()
∴由得：()
∵，∴时，时，
故该函数的单增区间是或.
【总结升华】
1.把三角函数式化简为（）是解决周期、最值、单调区间、对称性等问题的常用方法.
2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间
（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界。
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.
举一反三：
【变式1】已知函数．求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】；
【解析】，
∵当，∴，
∴当，即时；
当，即时.
∴,
当时，， 当时，.
所以函数值域为.
【变式2】设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值。
【答案】令，，
则，
开口向上，对称轴，
当，即时，函数在上递增，；
当，即时，函数在上递减，，得与矛盾；
当，即时，，解得或（舍），
∴，此时.
【高清课堂：三角函数的最值及综合应用xxxxxx 例6】
【变式3】设，满足，
求函数在上的最大值和最小值.
【答案】.
类型三：三角函数在实际生活中的应用
例5．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，
海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站，该岛的一个端点A位于
点C的正北方向km处，另一个端点B位于点A北偏东30°方向，
且与点A相距4.5 km，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立
一个核辐射监测站。
（1）设CP=x，∠APB=，试将tan表示成x的函数；
（2）若要求在监测站P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址何处？
【解析】
（1）连结AC，据题意，AC⊥CP。
过点B分别作CP、CA的垂线，垂足分别为D、E。
由题设AB=4.5，，∠BAE=30°，
所以，，
.
当时，点P在点D的右侧，，则。
当时，点P在点D的左侧，，
则。
又，则当x＞0，且时，
有。
当时，点P与点D重合，，满足上式，
所以。
（2）令x+4=t，
则
。
因为，所以，当且仅当，即t=10，
也即x=6时取等号，此时取最大值。因为为锐角，所以当x=6时取最大值。
故点P应选址在点C正东方向6 km处.
【总结升华】解决与最值有关的应用题的步骤是：（1）建立目标函数；（2）求最值.其中关键是建立目标函数.
举一反三：
【变式1】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成。该八边形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】等腰三角形的面积为，等腰三角形的底边长为
，所以八边形面积为
，故选A.
【变式2】如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)
的轨迹方程是，则的最小正周期为________；在
其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为________．
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．
【答案】4；π+1
【解析】当正方形PABC四边都滚动时P才回到左下角的位置，所以最小正周期是4，在其两个相邻零点间的图象如图。
面积是3个扇形和两个直角三角形，
。
