2020届二轮复习(文)第2部分专题6解密高考⑥　函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”学案

解密高考⑥　函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”

——————[思维导图]——————

——————[技法指津]——————

函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参数函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点，对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题．

[审题指导·发掘条件]

(1)看到证明f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点，想到解决此问题应分两步：①确定有零点；②确定唯一性．可先求出f′(x)的零点，然后利用导数证明单调性，进而确定唯一性．

(2)看到求a的取值范围，想到根据f(x)≥ax构造函数或分离参数求解．

[规范解答·评分标准]

(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，

g′(x)＝xcos x．············································2分

当x∈时，g′(x)＞0；当x∈时，

g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递增，

在上单调递减. ················4分

又g(0)＝0，g＞0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．

所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点.6分

(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0. ······················7分

由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)＞0；当x∈(x0，π)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，x0)单调递增，在(x0，π)单调递减. ···························································10分

又f(0)＝0，f(π)＝0，所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0.

又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，

故f(x)≥ax.

因此，a的取值范围是(－∞，0]. ·····························12分

[构建模板·三处关键]　解函数与导数综合问题的关键

关键1：会求函数的极值点，先利用方程f(x)＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；

关键2：证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；

关键3：不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．,　已知函数f(x)＝(x－1)ln x＋ax(a∈R)．

(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　(1)a＝0时，f(x)＝(x－1)ln x，f′(x)＝ln x＋(x－1)·＝ln x－＋1，设g(x)＝ln x－＋1，

则g′(x)＝＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，∴x∈(0,1)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，

x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，

∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

(2)由(x－1)ln x＋ax＞0，得－ax＜(x－1)ln x，而x＞0，

∴－a＜＝ln x－.

记h(x)＝ln x－，

则h′(x)＝－

＝，

设m(x)＝ln x＋x－1(x＞0)，

显然m(x)在(0，＋∞)上单调递增，而m(1)＝0，

∴x∈(0,1)时，m(x)＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减，

x∈(1，＋∞)时，m(x)＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增，

∴h(x)min＝h(1)＝0.

∴－a＜0，∴a＞0，即实数a的取值范围是(0，＋∞)．