2020届二轮复习常用数学方法——分离变量法学案（全国通用）

高考数学解题技巧（方法类）8．分离变量法一、题型与方法介绍分离变量法是高考数学中一种十分常用的方法，高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系．分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法．两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知．    解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题．分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循．以下定理均为已知的范围，求的范围：    定理1  不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大值）．    定理2  不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）．    定理3  方程有解的范围的值域（求解的值域）．解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域． 二、方法技巧与例题解析例1． 已知函数,且恒成立,求的取值范围．【解析】方法一 (利用二次函数):问题转化为不等式组恒成立． 在上的最大值与最小值，利用以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性，此方法比较复杂，此处略．方法二(分离变量法):问题转化为在上恒成立(除时注意符号) ．  由定理1得．以下过程略． 例2．已知函数若存在单调递增区间，求的取值范围．【分析】问题转化为在上有解,即在上有解．解：问题转化为在上有(存在)解    由定理1．2得．由，所以． 例3．已知函数的导函数为，．（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围．解：（1）          即对一切恒成立即对一切恒成立记，则在上恒成立，在上恒大于0，在上单调递增，  （2）即对一切恒成立若，则不满足 若，则对一切恒成立若，则对一切恒成立 ．综上所述：． 【巩固练习1】1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。     2、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。    3、已知函数,．若对任意的都有，求实数的取值范围．   4、设函数，其中常数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。   5、在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。   6、求使不等式恒成立的实数a的范围。   7、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。    8、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。          【巩固练习2】1、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。     2、若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。      3、若f(x)=在上有恒成立，求a的取值范围。     4、若方程有解，请求a的取值范围     5、已知是上的单调递增函数，则的取值范围是（     ）                      6、求使不等式恒成立的实数a的范围。     
【巩固练习1】答案1、解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时，  所以2、解：令，    所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。    3、解：即     若，则恒成立， 若，则，，综上所述：4、解：（1），又，由得：，由得，因此的单调增区间有与，的单调减区间有（2）时，恒成立时，恒成立。时，恒成立时，恒成立，5、解: ，，恒成立，，即恒成立，6、解：由于函，令，则由于的最大值取不到，即a取也满足条件，所以7、解：如果时，恒有意义，对恒成立．恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，，。8、分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即易求得。   【巩固练习2】答案1、解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，设则∴2、解：恒成立，即在上恒成立,只需，解得3、解：在上恒成立 在上恒成立4、解:令  (t>0)，则5、解：在上恒成立在上恒成立6、解：由于函，显然函数有最大值，。