2020届二轮复习离散型随机变量的方差学案（全国通用）

　离散型随机变量的方差
学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.

知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：
X
0
1
2
P




Y
0
1
2
P



思考1　试求E(X)，E(Y).
答案　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？
答案　不能，因为E(X)＝E(Y).
思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
答案　样本方差.
1.方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi；
(2)标准差为：.
2.方差与标准差的意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
3.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X).
知识点二　两点分布与二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)(其中p为成功概率)
np(1－p)


类型一　求离散型随机变量的方差、标准差
例1　已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P





(1)求方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).
解　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.
反思与感悟　对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.
跟踪训练1　(1)已知随机变量ξ的分布规律如下：
ξ
－1
0
1
P(ξ)
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则＝________.
(2)已知X的分布列为

X
－1
0
1
P



若η＝2X＋2，则D(η)的值为________.
答案　(1)　(2)
解析　(1)由题意知：
解得：
D(ξ)＝×2＋×2＋2＝，＝.
(2)E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝×2＋×2＋×2＝，故D(η)＝22×＝.
例2　某厂一批产品的合格率是98%，
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.
解　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，
所以由D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差≈0.44.
反思与感悟　解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率).
跟踪训练2　(1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
(2)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3ξ)等于(　　)
A.10 B.30 C.15 D.5
答案　(1)　(2)A
解析　(1)由题意知解得：p＝.
(2)由题意知ξ～B，
D(ξ)＝5××＝，
D(3ξ)＝9D(ξ)＝9×＝10.
类型三　方差的实际应用
例3　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
ξA
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2

ξB
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2

其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好).
解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)D(Y)，则自动包装机________的质量较好.(填“甲”或“乙”)
答案　乙
解析　在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.
4.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ).
解　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了.
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P



E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1；
D(ξ)＝(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.

1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.
2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的分布列；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).


一、选择题
1.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为(　　)
A.8 B.15 C.16 D.32
答案　C
2.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于(　　)
A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804
答案　C
解析　∵ξ～B(10,0.02)，
∴D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　)
A.E(X)＝0，D(X)＝1
B.E(X)＝，D(X)＝
C.E(X)＝0，D(X)＝
D.E(X)＝，D(X)＝1.
答案　A
解析　由题意知，随机变量X的分布列为
X
－1
1
P


∴E(X)＝(－1)×＋1×＝0，
D(X)＝×(－1－0)2＋×(1－0)2＝1.
4.已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P

a

若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于(　　)
A.0 B.2
C.1 D.
答案　A
解析　由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
5.已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)
A.6,2.4 B.2,2.4
C.2,5.6 D.6,5.6
答案　B
解析　若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)，D(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
6.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量ξ的方差为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知ξ～B，
故D(ξ)＝3××＝.
二、填空题
7.设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则X的标准差为________.
答案　
解析　依题意X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P







故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
8.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为________.
答案　60,96
解析　设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题意知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，
D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，
所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.
9.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1t乙)＝.
(3)a＝11或a＝18.