2020届二轮复习简单的线性规划学案（全国通用）

简单的线性规划

【考纲要求】

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。

3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；

4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。

【知识网络】

【考点梳理】

不等式与不等关系394841 知识要点】

考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

要点诠释：

画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：

①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；

②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；

③确定要画不等式所表示的平面区域。

简称：“直线定界，特殊点定域”方法。

考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

要点诠释：

判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：

因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.

考点三：线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

要点诠释：

在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：

①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。

②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；

③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；

④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。

考点四：解线性规划问题总体步骤：

设变量→找约束条件，找目标函数

作图，找出可行域求出最优解

要点诠释：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：

 ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；

 ②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．

【典型例题】

类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

例1．画出3x+y-3<0所表示的平面区域.

【解析】

举一反三：

【变式1】下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）

Ａ．     Ｂ．     Ｃ．         Ｄ．

【答案】C

【变式2】表示的平面区域为（　　）

A                  B                  C                  D

【答案】B；原不等式可转化为或

【变式3】画出不等式表示的平面区域。

【解析】先画直线（画成虚线）.

取原点代入得,

∴原点不在表示的平面区域内，

不等式表示的区域如图：

例2．画出下列不等式组表示的平面区域。

（1）； （2）；   （3）.

【解析】

（1）                 （2）                      （3）

举一反三：

【变式1】用平面区域表示不等式

【解析】

【变式2】求不等式组的整数解。

【解析】如图所示，

作直线，，，

在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，

此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。

类型二：图解法解决简单的线性规划问题.

不等式与不等关系394841 基础练习一】

例3．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（  ）

A．12  B．10  C．8  D．2

【解析】由约束条件可知可行域如图：

平移知在处取得最大值

答案：B

举一反三：

【变式1】已知，求；

(1) 的最大值；

(2)的范围.

【解析】作出可行域如图,并求出顶点坐标.

(1) 将代入得最大值21;

(2) 表示可行域内一点到定点的斜率的2倍,

因为,

的范围是.

例4.(2018 重庆高考)若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则的值为(     )

A.-3           B.1              C.                D.3

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

若表示的平面区域为三角形，由得即

则在直线的下方，即则

则，

由解得即

由解得即

则三角形ABC的面积

即即解得或(舍去)故选B.

举一反三：

【变式】(2018 山东高考)已知满足约束条件，若的最大值为4，则(   )

 A.3            B.2          C.-2          D.-3

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)

则，

若过A时取得最大值为4，则2a=4,解得a=2.

此时，目标函数为即

平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大值为4，满足条件.

若过B时取得最大值为4，则a+1=4解得a=3

此时，目标函数为即

平移直线，当直线经过时，截距最大，此时最大值为6，不满足条件.故a=2，故选B.

类型三：实际应用问题中的线性规划问题.

例5.（2017  天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

【解析】（Ⅰ）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分。

（Ⅱ）解：设利润为万元，则目标函数z=2x+3y，所以由图可知，当直线z=2x+3y经过可行域中的点M时，z的值最大.解方程组得点M的坐标为M(20，24)，所以.

答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.

举一反三：

【变式1】某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：

已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？

【解析】

设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元

则，目标函数

作出可行域，如图所示，

作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，

此直线经过点M（20，24）

故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）。