2020届二轮复习数列求和及其综合应用学案（全国通用）

数列求和与综合应用

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；

2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式

3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；

4.能解决简单的实际问题.

【知识网络】

【考点梳理】

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.

有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.

有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.

数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.

【典型例题】

类型一：数列与函数的综合应用

例1.(2018 菏泽一模)已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式.

(2)若数列满足：，求数列的通项公式;

(3)令，求数列的前项和.

【解析】(1)当时，

当时，

知满足该式

数列的通项公式为

(2) ①

②

②-①得即

(3)

令①

则②

①-②得：

数列的前项和为

举一反三：

函数的极值和最值388566 典型例题三】

【变式1】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足

由得，显然矛盾，

即不存在实数使得数列是等比数列。

（Ⅱ）根据等比数列的定义：

即

又

所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.

【变式2】(2018 遵义校级模拟)设是公差大于零的等差数列，已知，

(1)求的通项公式.

(2)设是以函数的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列的前n项和.

【解析】(1)设数列的公差为d则：

解得或(舍去)

(2) 的最小正周期为

类型二：数列与不等式

例2. （2017  天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.

(Ⅰ)设，求证：是等差数列；

(Ⅱ)设 ，求证：

【解析】⑴

为定值．

∴为等差数列

⑵=

由已知

将代入（*）式得

∴，得证

举一反三：

【变式1】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，.

  (1)证明数列{an-n}是等比数列；

  (2)求数列{an}的前n项和Sn；

  (3)证明不等式，对任意皆成立.

解析： (1)证明：由已知， ∴

又a1-1=1，∴数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列

(2)解：由(1)可知an-n=4n-1，∴ an=4n-1+n

∴Sn=a1+a2+…+an=(40+1)+(41+2) +…+(4n-1+n)

     =

  (3)证明：对任意

-

              =

∵n≥1，∴ n-1≥0，3n+4>0

∴

即Sn+1≤4Sn

【变式2】已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解析：(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,

∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，

∴或，

(Ⅱ)若q=1，则

当n≥2时，

若

当n≥2时，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn>bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn<bn.

【变式3】设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

解析：（Ⅰ）依题意，，即，

由此得．

因此，所求通项公式为，．①

（Ⅱ）由①知，，

于是，当时，

，

，

当时，．

又．

综上，所求的的取值范围是．