2020届二轮复习极值点偏移第四招--含指数式的极值点偏移问题学案（全国通用）

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.

★（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.

法二：参变分离再构造差量函数

由已知得：，不难发现，，

故可整理得：

设，则

那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．*

设，构造代数式：

设，

则，故单调递增，有．

因此，对于任意的，．

由可知、不可能在的同一个单调区间上，

不妨设，则必有

令，则有

而，，在上单调递增，因此：

整理得：．

法三：参变分离再构造对称函数

由法二，得，构造，

利用单调性可证，此处略. *

法五：利用“对数平均”不等式

参变分离得：，由得，，

将上述等式两边取以为底的对数，得，

化简得：，

故

由对数平均不等式得：，

，

从而

     *

等价于：

由，故，证毕. *

★(2010天津理)已知函数 .如果，且.

证明：.

★设函数 ，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.

【解析】根据题意：，移项取对数得：

①

②

①-②得：，即：