2020届二轮复习离心率学案（全国通用）
展开培优点十八 离心率
1．离心率的值
例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，
从而，又因为，则直角三角形中，，
且，，所以，故选A．
2．离心率的取值范围
例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：，，
所以，即，故选B．
一、单选题
1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，
即，，故选D．
2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，
所以，，由于，即，代入上述韦达定理，
化简得，即，．故选A．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，
还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线
，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由双曲线的定义得，所以，
即，由题意得，所以，
又，所以，解得，从而离心率，故选D．
4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，，
则，，即，，
又：，，
据此有：，即，
则双曲线的离心率：．本题选择C选项．
5．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程
为：，
与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，
由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，
所以，结合，解得，
根据离心率公式可得．故选C．
6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，
因为，所以，，，，，，故选C．
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，
则此双曲线的离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由双曲线的定义知 ①；又， ②
联立①②解得，，
在中，由余弦定理，得，
要求的最大值，即求的最小值，
当时，解得，即的最大值为，故选B．
解法二：由双曲线的定义知 ①，又， ②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，
若，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义可得，，
又，可得，即为椭圆的短轴的端点，
，且，即有，即为，．故选D．
9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，则有，即有，
则双曲线的离心率的取值范围为，故选D．
10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
可得，，可得，，
由余弦定理可得，
即有，
由离心率公式可得，，即有，解得，故选C．
11．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线，即，
直线恒过定点，直线过圆的圆心，
，，的圆心为、两点中点，
设，，，
上下相减可得：，
化简可得，，
，，故选C．
12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，
，，，
由题意得，故，
故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D．
二、填空题
13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，
由于的斜率为，所以，且，所以是等边三角形，
所以，所以，，
所以，
所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．
14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，
满足，则离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义，
可得，，
，，，，，，故答案为．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．
【答案】
【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，
过作轴于，则易知，
由得，所以，，
所以，代入椭圆方程得，即，
又，所以，所以椭圆离心率为．
故答案为．
16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．
【答案】
【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，
设在第一象限，，当时，，
即，解得，
又因为，所以，
当时，，
即且，解得：，
综上或．
三、解答题
17．已知双曲线的的离心率为，则
（1）求双曲线的渐进线方程．
（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，得，，
∴，即，
∴所求双曲线的渐进线方程．
（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．
设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，
由，得（判别式），
∴，，
∵点在圆上，∴，∴．
18．已知椭圆的左焦点为，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于，两点．
①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；
②若，求面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）①见解析，②．
【解析】（1）由题设知，，，所以，，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．
设，，直线代入椭圆得，
所以，，由，知
，，
．
②当直线，分别与坐标轴重合时，易知．
当直线，斜率存在且不为0时，设，，
设，，直线代入椭圆得到，
所以，，同理，
，
令，则，
因为，所以，故，综上．
