2020届二轮复习形如向量AD=xACyAB条件的应用学案（全国通用）
展开微专题35 形如条件的应用
一、基础知识：
1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量，均存在唯一确定的，（其中），使得。其中称为平面向量的一组基底。
（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
（2）唯一性：若且，则
2、“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
3、中确定方法
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解
二、典型例题：
例1：在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
思路：若要求出的最值，则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图，所以，其中，下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系：且，所以，因为，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以
答案：A
例2：如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以
答案：C
例3：在平面内，已知，设，则等于（ ）
A. B. C. D.
思路：所求为，可以考虑对两边同时对同一向量作数量积，从而得到的方程，解出，例如两边同对作数量积，可得：，因为，，所以有，同理，两边对作数量积，可得：，即，所以，通过作图可得或，从而，代入可得：
答案：B
小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量
（2）本题也可通过判定，从而想到建立坐标系通过坐标解出，进而求出
例4：如图，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
思路：因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，
可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：
答案：
例5：已知，则与的夹角的余弦值为__________
思路：若要求与的夹角，可联想到，所以只需确定与，由一方面可以两边同时对作数量积得到，另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出，进而求出
解：
且
答案：
例6：如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为_______
思路一：由图像可得：，由此条件中可提供的模长及相互的夹角，若要求得，可考虑求出的值。则需要两个方程。对两边同时对作数量积，即，由，可得：
，再将两边对作数量积，则，即，所以，即
思路二：从图形中可想到建系，得到的坐标，从而利用坐标可求得的值：如图建系可得：，所以，从而可得，所以
答案：6
例7：已知在中，为的外心，，且，则___________
思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求，从而考虑利用计算数量积，如何利用这个条件呢？对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积，从而得到关于的实数方程。由于是外心，进而在上的投影为各边的中点，所以可用数量积的投影定义计算出，结合所求，可确定两边同时与作数量积即可。
解：由，可得：（*）
在上的投影向量为（为中点）
，同理：
所以（*）变形为：
小炼有话说：对于形如，若想得到关于的方程，可以考虑对同一向量作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。
例8：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_____.
思路：所求的最值，可考虑对等号两边对同一向量作数量积，从而转化为的等式：
即
即，从而可发现，所以只需求得的最大值，其中根据扇形的特点可知的终点为的中点，即，所以，只需最大即可。可知重合时，，所以的最大值为
答案：
例9：已知是外接圆的圆心，为的内角，若，则的值为 （ ）
A． B． C． D.
思路：本题所求与等式中的系数相关，是外心所以在上的投影为两边中点，考虑两边同时对 做数量积，再结合正弦定理变形等式即可
解：可得：
（*），因为是外心
（*）变形为
在中，设外接圆半径为，即 ，且
（*）变形为：
例10：已知的外接圆圆心为，且满足，且，，则（ ）
A. B. C. D.
思路：由外接圆的性质可知在上的投影为中点，所以考虑对两边同时对作数量积，从而得到系数的关系：，因为，所以有，再结合，解三元一次方程组即可得到：
答案：A
三、历年好题精选
1、如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为__________
答案：
2、（2016，郑州一测）已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．
3、（2015，北京）在中，点，满足．若，则 ； ．
4、（2015，新课标I）设为所在平面内一点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5、（安徽六校联考）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6、（2016，河南中原第一次联考）在直角梯形中，为边上一点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
7、如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于__________
9、在中，，若（是的外心），则的值为___________
10、在中，边，过作于，且，则________
11、如图，是圆的直径，是圆上的点，且 若，则（ ）
A. B. C. D.
12、如图，将的直角三角板和的直角三角板拼在一起组成平面四边形，其中的直角三角板的斜边与的直角三角板的所对的直角边重合，若，则分别等于（ ）
A. B. C. D.
13、如图，在中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
14、在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与不重合），若，则的取值范围是________
15、已知在中，，点为的外心，若，则有序实数对为（ ）
A. B. C. D.
习题答案：
1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以为轴建立坐标系。设正方形边长为单位长度，则
，点所在圆方程为，设
则，， ，由得：
，解得：
设
令，所以：
由可得：，结合分式的单调性可得当时，达到最小值，即
2、答案：
解析：设，，
∵，∴．
∴，∴，
∵∴，即
∴表示的可行域为平行四边形，如图：
由，得，由，得，
∴,
∵到直线的距离，
∴，
∴，∴，
∴，.
3、答案：
解析：，所以
4、答案：A
解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：
5、答案：D
解析：以为轴建立坐标系，设，则，，由可得：
，若存在最大值，则存在极值点
在有零点
令，因为
，解得：
6、解析：取的中点，连结，，则，所以，
＝，于是＝＝
7、答案：C
解析：由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线
圆的半径
设，由可得：
在圆内
设，则
，其中
由可知
，且
所以
8、答案：
解析：可依直角建立坐标系，则
设，则有，由图可得所在的区域为不等式组： 所求，利用线性规划可得：的最大值为，最优解在处取得
9、答案：
解析：由可得：
由是的外心可得：
，所以
10、答案：
解析：，由可得：，所以
即
另一方面，由三点共线可得：，所以解得： ，所以
11、答案：A
解析：以圆为单位圆建系，可得
由图可知，所以
，由可得：
从而
12、答案：D
解析：可如图以所在直线为轴建立坐标系，以为单位长度，则只需求出点坐标即可，由已知可得：
，联立方程可解得，所以可得：
13、答案：D
解析：连结，由“爪字型”图的模型可知，因为，代入可得：①，在中，由三点共线以及①可得：，所以，设，则，因为，所以可得的最小值在处取得，即
14、答案：
解析：设
15、答案：A
解析：
为的外心
由可得：
解得：，所以为
